Continuité et limites 4

Continuité et limites

4^ème math B.H.Hammouda Fethi

A-I°/ Continuité et limites en un réel :

Théorème 1 :

 Toute fonction polynôme est continue en tout réel de .

 Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition .

 La fonction cos et la fonction sin sont continues en tout réels de . Théorème 2:

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et aI :

 Si f est continue en a alors f, f , et fⁿ ^{n *} sont continues en a .

 Si f est continue en a et f a 0 alors ¹

f et ¹_n

f ^{n *} sont continues en a .

 Si f et g sont continues en a alors ^{f g} et f *g sont continues en a .

 Si f et g sont continues en a et g a 0 alors ^f

g sont continues en a .

 Si f est positive sur I et continue en a alors f est continue en a . Exercice :

Soit : ² ₂^{4 3} 9

x x

f x x

 

  calculer lim₃  

x f x



La fonction g définie sur   3 par :  

  3, 3

1 3

3

f x si x

g x

si x

  



  



. s’appelle un prolongement par continuité de f en 3.

Exercice :

Soit f la fonction définie sur * par ^{f x}  ^{x2 1 cosx}

x

   , montrer que f est prolongeable par continuité en 0 et déterminer son prolongement .

Théorème 3 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf en ^aI.

Si f admet une limite finie  quand xa alors la fonction g définie sur I par ^{g x} ^



Est continue en a et s’appelle un prolongement par continuité de f en a.

Théorème4 :

Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est continue en ^aI ssi lim   lim    

x a_ f x x a_ f x f a

    .

Exercice : Soit

 

2 2

1 1

1

2 1 1 1 0

1

:

x si x x

x x

si x et f

x

f x





  



 

 . Calculer  

lim1 x

 f x

 et  

lim1 x

 f x

 ,en déduire si f est continue en 1.

II° / Continuité sur un intervalle :

Théorème1 :

 Une fonction est continue sur un intervalle ouvert I si elle est continue en tout réel de I .

 Une fonction est continue sur un intervalle  ^{a b,} si elle est continue sur  ^{a b,} ,à droite en a et à gauche en b .

De façon analogue , on définit la continuité de f sur les intervalles  ^{a b, ,} ^{a b, ,}a,et ,a. Exercice :

Soit f la fonction définie sur  ^{0, par} _{ }^{ }0 ^{1 cos}1 ^{2  0, ,} 2

f x x si x

x f

 

 





 .Montrer que f est continue sur  ^{0, .}

III°/Opérations sur les limites :

Lim f Lim g Limf +g Lim f Lim g Lim f *g Lim f Lim g Lim f/g

L L’ L+L’ L L’ L*L’ L L’0 _L/L’

L    L’ 0   L’ 0 

 _L’   L’ 0   L’ 0 

      L  0

      L  0

   L0 ₀ Règles des signes

Remarque :

Si on obtient des résultat de la formes ⁰ 0 , ^

, *0 ou    ^{  } ce sont des formes indéterminées ,on ne peut pas conclure directement .

Exercice : Activité page 8.

B°/Branches infinies :

Rappel :

La fonction f Interprétation graphique lim  

x a

 f x

   ou lim  

x a

 f x

  

lim  

x a_ f x

   ou lim  

x a_ f x

  

La droite D : xa est asymptote à f

lim  

x f x L

  ou lim  

x f x L

  La droite D : ^yL est asymptote à _f

_x^lim_^{f x}  ^{ ax b} ^0 ou _x^lim_^{f x}  ^{ ax b} ^0 La droite D : ^{yax b} est asymptote à f

Etude des branches infinies : Si on a lim  

x f x

   alors on calcule _lim  

x

f x

 x . *** Si _lim   ₀

x

f x

 x  alors _f admet une branche infinie parabolique de direction  ^{xx' .}

*** Si _lim  

x

f x

 x   alors f admet une branche infinie parabolique de direction yy'

*** Si lim   *

x

f x a

 x   alors on calcule ^lim_x^{f x} ^ax alors :

* Si ^lim_x^{f x} ^ax^b la droite D : ^y^{ax b} est asymptote à f .

* Si ^lim_x^{f x} ^ax^{ } alors _f admet une branche infinie parabolique de direction yax.

Exercice :

1) Soit la fonction définie sur par f x  x² x 1 .

Etudier la nature des branches infinies de f au voisinage de et  . 2) Soit la fonction définie sur ^{ 1,} ^{par f x} ^{2x x1.}

a) Etudier les variation de f.

b) Etudier la nature des branches infinies de f au voisinage de et tracerf .

C°/Continuité et limite des fonctions composées :

Définition :

Soit U une fonction définie sur un ensemble I et V une fonction définie sur un ensemble J tel que

 

U I J.

La fonction ^{V U} définie sur I par ^{V U x} ^{V U x}   est appelé fonction composée de U et V . Exemples :

** La fonction : cos ²₂ 1 f x x

x

 

 est la composer de deux fonctions définies sur par

2

: 2

1 U x x

x

 

 et V x: cosx.

** La fonction : ^{sin2 sin} 1 sin

x x

f x x

 

 est la composer de deux fonctions U x: sinx définie sur et la fonction : ²

1 x x

V x x

 

 définie sur \ 1  . Théorème1 :

Soit U une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a et V une fonction définie sur J , contenant U a .

 Si U est continue en a et V est continue en U a , alors la fonction ^{V U} est continue en a .

 Si U est continue sur un ensemble I et V est continue sur alors ^{V U} est continue sur I . Exercice :

Etudier la continuité de f sur I :

: sin 2 1

f x x  x ^{I } . : cos ² 3 f x x

x

 

    ^{I }^3,^.

D°/Limite d’une fonction composée :

Théorème :

Soit U et V deux fonctions . soient a , b et c des réels ou  ou 

Si lim  

x aU x b

  et lim  

x bV x c

  alors ^lim_xa^{V U x}  ^c.

Exercice :

Calculer les limites suivantes :

 ²

0 2

1 cos limx

x

 x

 ,

lim tan1

2

x x





 

 

  , lim 1 cos¹

x x

 x

  

 

  .

Etudier la continuité de f en a : _{ }

  _{  }

sin 1

0, \ 1 1 11

:

x si x x

f x f

  







  et a1.

E°/ Limites et ordres :

Théorème de comparaison :

Soit a un réel fini ou infini , l et l’ deux réels.

* Si lim  

x a f x

   et f x g x  alors lim  

x ag x

   .

* Si lim  

x a f x

   et ^{f x} ^{g x}  alors lim  

x ag x

   .

* Si ^{f x} ^{ l g x}  et lim   0

x ag x

  alors lim  

x a f x l

  .

* Si lim  

x a f x l

  = lim  

x ag x

 et f x   h x g x  alors lim  

x ah x l

  . * Si lim   '

x ag x l

  , lim  

x a f x l

  et ^{f x} ^{g x}  alors ll'. Exercice :

Montrer que pour tout réel positif x on a : ^{1 cosx 1}

x x x

    en déduire lim ^cos

x

x

 x

 .

F°/ Image d’un intervalle par une fonction continue :

Théorème :(rappel)

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle . Théorème :

L’image d’un intervalle fermé bornée  ^{a b,} par une fonction continue est un intervalle fermé bornée^{m M,}  où m est le minimum de f sur  ^{a b,} et M est le maximum de f sur  ^{a b, .}

Exemple :

Soit f x: x² déterminer ^f ^1,1 ^.

Remarques :

L’intervalle I f est strict croissante sur I alors ^{f I} ^ f est strict décroissante sur alors ^{f I} ^

 ^{a b,} f a   , f b  f b   , f a   ^{a b,}  , lim  

x b

f a _ f x



 

 

  lim    ,

x b

f x f a



 

 

 

 ^{a b,} lim  , lim  

x a x b

f x f x

 

 

 

 

  lim  , lim  

x b x a

f x f x

 

 

 

 

 

,a lim    ,

x f x f a



 

   , lim  

x

f a f x



 

 

^a, lim  , lim  

x a x

f x f x

 



 

 

  lim  , lim  

x x a

f x _ f x

 

 

 

 

^{ ,}  lim  , lim  

x f x x f x

 

 

  lim  , lim  

x f x x f x

 

 

 

G°/ Théorème des valeurs intermédiaires :

Théorème :

Si f est une fonction continue sur  a b, alors pour tout réel k compris entre ^{f a}  et ^{f b}  il existe au moins un réel c a b, tel que f c k c.à.d l’équation f x k possède au moins une solution ^c ^{a b,}

En particulier Si f est continue sur  ^{a b, et} f a   f b 0 alors ils existe au mois un réel

 ,

c a b tel que f c 0 c.à.d l’équation f x 0 possède au moins une solution . Remarques :

Si en plus f est strictement monotone alors cette solution est unique .