Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1

Terminales option maths expertes − 2020 / 21 G 3 - exe

Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1

On donne quatre points A , B , C et D d’affixes respectives

z A = - 1 + 2 i , z B = 4 + 3 i , z C = 3 i et z D = 4 − 3 i .

1) Déterminer la nature des triangles ACD et BCD .

2) Démontrer que les quatre points A , B , C et D sont cocycliques (c'est-à-dire situés sur un même cercle) et préciser le centre et le rayon du cercle en question.

Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2

On considère trois nombres complexes définis par z 1 = 3 + i

4 , z 2 = z 1 − i et z 3 = z 1 − i

de points images M 1 , M 2 et M 3 dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé d’unité graphique 4cm.

1) Déterminer la forme algébrique de z 2 et de z 3 .

2) Calculer | ^{z 3 − z 1} | ^et | ^{z 3 − z 2} | ⁺ | ^{z 2 − z 1} | . Que peut-on en déduire pour les points M 1 , M 2 et M 3 ? 3) Montrer que le triangle M 1 OM 2 est rectangle.

Exercice 3 Exercice 3 Exercice 3 Exercice 3

Déterminer, en utilisant la forme algébrique de z , l’ensemble des points M d’affixe z tels que | | ^{z = z + Ò z .}

Exercice 4 Exercice 4 Exercice 4 Exercice 4

Soit P( z ) = z ³ − 4 z ² + 8 z − 8.

1) Trouver les réels a , b et c tels que P( z ) = ( z − 2)( az ² + bz + c ). Résoudre alors l’équation P( z ) = 0.

2) Dans le plan complexe on considère le point A dont l’affixe est la solution réelle de l’équation P( z ) = 0, et les points B et C dont les affixes sont les solutions conjuguées, l’affixe de B ayant une partie imaginaire positive.

Placer A.

Calculer les modules de z B et de z C et en déduire le placement exact de B et C.

3) Montrer que le quadrilatère OBAC est un losange et déterminer la nature du triangle AOB.

4) On considère le symétrique D du point B par rapport à O.

Déterminer l’affixe de D et démontrer de deux manières que le triangle ABD est rectangle en A : une avec calculs et une sans calcul.

5) Déterminer et construire l’ensemble B des points M du plan tels que | | ^{z − 2 = 2.}

6) Déterminer et construire l’ensemble D des points M du plan, d’affixes z tels que | | ^{z =} | | ^{z − 2 .}

Exercice 5 Exercice 5 Exercice 5 Exercice 5

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O ; Å u , Å v ) on désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et - 1.

Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z ≠ 1 associe le point M ′ d’affixe z ′ = 1 − z

Ò z ⁻ 1 .

1) Soit C le point d’affixe z C = - 2 + i .

a) Calculer l’affixe du point C ′, image du point C par la transformation f . b) Placer les points C et C ′ sur le repère fourni.

c) Montrer que C ′ appartient au cercle B de centre O et de rayon 1.

d) Montrer que les points A , C et C ′ sont alignés.

2) Déterminer, puis représenter sur la figure, l’ensemble ∆ des points qui ont le point A pour image par f . 3) Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M ′ appartient au cercle B .

4) Montrer que, pour tout nombre complexe z ≠1, la nombre complexe z ′ − 1

z ⁻ 1 est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A , M et M ′ ? 5) On a placé un point D sur la figure. Construire son image D ′.

On laissera apparents les traits de construction.

Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; Å u , Å v ). A et B sont les points d’affixes respectives z A = −2 et z B = 4 i .

1) Résoudre dans C l’équation : (1 − 2 i ) z + 3 i = 8(1 − i ).

2) Soit C le point d’affixe z C = 6 + i .

a) Calculer les longueurs AB, AC et BC (obligatoirement à l’aide de modules).

En déduire la nature du triangle ABC.

b) Déterminer les affixes des vecteurs BA Ä et BC Ä et retrouver différemment le résultat de la question 2a.

c) Déterminer l’affixe z D du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un rectangle.

3) On considère le trinôme P défini par P( z ) = z ² − 4 z + 8.

a) Résoudre l’équation P( z ) = 0. On notera z E et z F les deux solutions.

b) E et F sont les points d’affixes respectives z E et z F .

Montrer que B, E et F sont sur un même cercle de centre A.

4) A tout complexe z ^' −2, on associe le complexe z ’ défini par : z ’ = z ⁻ 4 i z ⁺ 2 . a) Déterminer l’ensemble E ₁ des points M d’affixe z tels que | | ^{z ′ = 1.}

b) On pose z = x + iy ( x et y étant réels). Exprimer Re( z ’) et Im( z ’) en fonction de x et y . c) Déterminer l’ensemble E ₂ des points M d’affixe z tels que z ’ soit réel.

d) Déterminer l’ensemble E ₃ des points M d’affixe z tels que z ’ soit imaginaire pur.

Exercice 7 Exercice 7 Exercice 7 Exercice 7

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; Å u , Å v ).

1) Soit P le polynôme défini pour tout complexe z par : P ( z ) = z ^{3 +} z ^{2 −} 2 a) Montrer que - 1 + i est une racine du polynôme P .

b) Déterminer trois réels a , b et c tels que P ( z ) = ( z ⁻ 1)( az ^{2 +} bz ⁺ c ).

c) En déduire la résolution dans l’ensemble C des nombres complexes de l’équation P ( z ) = 0.

2) Dans la suite de l’exercice on note A , B , C , D et K les points du plan complexe d’affixes respectives : z A = -1+ i ; z B = -1− i ; z C = 2 i ; z D = 2−2 i et z K = 1

a) Placer les points A , B , C , D et K sur une figure que l’on complètera tout au long de l’exercice.

b) Montrer que le triangle ACD est rectangle en A . c) Montrer que les points A , O et D sont alignés.

d) Montrer que A , B , C et D sont situés sur un même cercle B dont un précisera le centre et le rayon.

e) Déterminer par le calcul l’affixe du point E tel que ACED soit un parallélogramme.

f) Quelle est en fait la nature exacte de ACED ? Justifier soigneusement la réponse.

g) Déterminer l’affixe du symétrique F de B par rapport à K .

h) Déterminer la nature du quadrilatère CFDB . Justifier soigneusement la réponse.

3) a) Déterminer et représenter l’ensemble E des points M d’affixe z tels que | ^{z −2 i} | ^{= 2 ;}

b) Déterminer et représenter l’ensemble F des points M d’affixe z tels que | ^{z −2 i} | ⁼ | ^{z +1− i} | ^;

c) l’ensemble G des points M d’affixe z tels que z ^Ò z −2 z −2 Ò z −4 = 0. On pourra poser z = x + iy …