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Série 4 d’exercices limites et continuité
Exercice N° 1
Calculer les limites suivantes:
2 1 2
lim 2
1 2
x
x x
x x
;
2 1
2 3
limx 1
x x
x
;xlim
x2 3x 2x
;
2 2
1 3
lim 1
x
x x
x x
; xlim
x2 3x x
2
lim 3
x x x x
; xlim
x2 3x 3x 1
; 2
3
2 6
limx 9 x x
;
2
7 3 limx 2 2
x x
;
0
cos 1 lim
x
x x
Exercice N° 2
Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la fonction f :
1) cos
1
: x
f x x
en . 2) f x: sin 3
x
en .
3) sin
: x
f x x en 0 .
4)
2
2
cos 1 1
: 2 1
f x x
x x
en 1. Exercice N° 3
On considère la fonction f définie sur
0;
par : f x
x2 x
sinx .1) Montrer que, pour tout réel positif x ;
2sin2 f x x
x x
2) Montrer que, pour tout réel positif x ; f x
2 x . 3) En déduire la limite de f en .
Exercice N° 4
On considère la fonction f définie sur IR par :
12 cos
f x x
. 1) Montrer que, pour tout réel x ; 1
13 f x 2) En déduire les limites suivantes :
lim 1
2 cos
xx x ;
2 1
lim 2 cos
x
x x
et
0 2
lim 1
2 cos
x x x .
Exercice N° 5
Soit la fonction f x: 3x2sin .x
1) a) Montrer que, pour tout réel x ; 3x 2 f x
3x2 .www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896
b) En déduire : lim
x f x
et lim
x f x
.
2) Soit la fonction g définie sur IR par :
01 0 5
x si x f x
si x
a) Montrer que g est continue sue IR . b) Montrer que, pour 2;
x 3
;
3 2 3 2
x x
x g x x
. En déduire : lim
x g x
et lim
x g x
. Exercice N° 6
Soit
1 1 0
0
x si x
f x x
a si x
où a est un réel . 1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Pour quelles valeurs de a, f est continue en 0.
3) Préciser, suivant les valeurs de a, le domaine de continuité de f.
4) Calculer : lim
x f x
; lim
1
x xf x x
et lim
x xf x
.
Exercice N° 7
Soit la fonction : 2 3 6 f x x
x x
1) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2) Montrer que f est prolongeable par continuité en 3 et déterminer son prolongement.
Exercice N° 8
Soit la fonction f x: x2 x 1 1) Déterminer Df .
2) Montrer que, pour tout réel x de Df ,
1 2 3
2 4
f x x
3) Montrer que la droite D d’équation 1
yx2 est une asymptote à la courbe de f en +∞.
4) Etudier la position de la courbe de f et de la droite D.
5) Etudier la nature de la branche infinie de la courbe de f en -∞.
Exercice N° 9
On considère la fonction 1
: 1
f x x
x
1) Montrer que f est strictement croissante sur chacun des intervalles [0;1[ et]1;[ . 2) Déterminer f([0,1[) et f(]1;[ .)
3) Montrer que l’équation :
x1
x 1 admet dans 3; 2 2
une unique solution. 4) Déterminer une valeur approchée de d’amplitude 10 -1.