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Série 4 d’exercices limites et continuité Exercice N° 1 Calculer les limites suivantes:

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Academic year: 2022

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Série 4 d’exercices limites et continuité

Exercice N° 1

Calculer les limites suivantes:

2 1 2

lim 2

1 2

x

x x

x x

 

  ;

2 1

2 3

limx 1

x x

x

 

;xlim

x2 3x 2x

   ;

2 2

1 3

lim 1

x

x x

x x



 

  ; xlim

x2 3x x

  

2

lim 3

x x x x

   ; xlim

x2 3x 3x 1

    ; 2

3

2 6

limx 9 x x

;

2

7 3 limx 2 2

x x

 

  ;

0

cos 1 lim

x

x x

Exercice N° 2

Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la fonction f :

1) cos

1

: x

f x x

 

en  . 2) f x: sin 3

x

 

 

 

en  .

3) sin

 

: x

f xx en 0 .

4)

2

2

cos 1 1

: 2 1

f x x

x x

 

 

en 1. Exercice N° 3

On considère la fonction f définie sur

0;

par : f x

 

x2 x

sinx .

1) Montrer que, pour tout réel positif x ;

 

2sin

2 f x x

x x

  2) Montrer que, pour tout réel positif x ; f x

 

2

x . 3) En déduire la limite de f en .

Exercice N° 4

On considère la fonction f définie sur IR par :

 

1

2 cos

f xx

. 1) Montrer que, pour tout réel x ; 1

 

1

3 f x 2) En déduire les limites suivantes :

 

lim 1

2 cos

xxx ;

 

2 1

lim 2 cos

x

x x



et

 

0 2

lim 1

2 cos

x xx .

Exercice N° 5

Soit la fonction f x: 3x2sin .x

1) a) Montrer que, pour tout réel x ; 3x 2 f x

 

3x2 .

(2)

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b) En déduire : lim

 

x f x

 et lim

 

x f x

 .

2) Soit la fonction g définie sur IR par :

 

0

1 0 5

x si x f x

si x

 



 



a) Montrer que g est continue sue IR . b) Montrer que, pour 2;

x 3 

  ;

 

3 2 3 2

x x

xg xx

  . En déduire : lim

 

x g x

 et lim

 

x g x

 . Exercice N° 6

Soit

 

1 1 0

0

x si x

f x x

a si x

  

 

 

où a est un réel . 1) Déterminer le domaine de définition de f.

2) Pour quelles valeurs de a, f est continue en 0.

3) Préciser, suivant les valeurs de a, le domaine de continuité de f.

4) Calculer : lim

 

x f x

 ; lim

  

1

x xf x x

   et lim

 

x xf x

 .

Exercice N° 7

Soit la fonction : 2 3 6 f x x

x x

   1) Déterminer l’ensemble de définition de f.

2) Montrer que f est prolongeable par continuité en 3 et déterminer son prolongement.

Exercice N° 8

Soit la fonction f x: x2 x 1 1) Déterminer Df .

2) Montrer que, pour tout réel x de Df ,

 

1 2 3

2 4

f xx

   

 

3) Montrer que la droite D d’équation 1

yx2 est une asymptote à la courbe de f en +∞.

4) Etudier la position de la courbe de f et de la droite D.

5) Etudier la nature de la branche infinie de la courbe de f en -∞.

Exercice N° 9

On considère la fonction 1

: 1

f x x

x

 

1) Montrer que f est strictement croissante sur chacun des intervalles [0;1[ et]1;[ . 2) Déterminer f([0,1[) et f(]1;[ .)

3) Montrer que l’équation :

x1

x 1 admet dans 3; 2 2

 

 

  une unique solution. 4) Déterminer une valeur approchée de d’amplitude 10 -1.

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