TS -Lycée Desfontaines Chap.1: Limites
Méthodes pour lever des indéterminations
Quand les théorèmes généraux (comparaison et règles opératoires) sur les limites ne permettent pas de conclure, on dit que l’on a affaire à une forme indéterminée. Pour "lever l’indétermination", on peut avoir recours alors à l’une des deux méthodes suivantes.
Cas général
Méthode 1 : UTILISER LE TERME PREPONDERANT
Cette méthode peut être envisagée pour lever des indéterminations du type(+∞) + (−∞)ou∞ ×0.
•Repérer dans l’expression (ou, dans le cas d’une fraction, au numérateur et au dénominateur) le terme prépondé- rant, c’est à dire le terme qui tend le plus vite vers+∞ou−∞( par exemple,x2 est prépondérant sur√xquandx tend vers+∞).
•Factoriser ce terme (puis, dans le cas d’une fraction, simplifier).
•Etudier les limites de chaque facteur.
•Conclure si les règles opératoires sur les limites le permettent.
Cette méthode est fondamentale et servira tout au long de l’année.
Cette méthode est généralement utilisée pour la recherche de limites en l’infini.
Exemple 1 : Calculons lim
x→+∞(x−√ x).
On a lim
x→+∞x= +∞et lim
x→+∞−√
x=−∞donc d’après les règles opératoires, nous sommes dans un cas de forme indéterminée.
Appliquons alors la méthode précédente pour lever l’indétermination.
•Le terme prépondérant estx.
• ∀x >0, x−√
x=x(1−
√x
x ) =x(1− 1
√x).
• lim
x→+∞
√1
x= 0donc lim
x→+∞(1− 1
√x) = 1d’où lim
x→+∞(x−√
x) = lim
x→+∞x= +∞.
Application :Déterminer les limites suivantes : 1) lim
x→+∞
x−√x
x+ 3 2) lim
x→+∞(x2−3x√x) 3) lim
x→+∞
x2−3x√x+ 7x+ 3 3x√x+ 1000
Méthode 2 : Utiliser la quantitée conjuguée
Cette méthode peut être envisagée pour lever des indéterminations portant sur des expressions avec des racines carrées, lorsque la méthode 1 n’aboutit pas .
On rappelle que la quantitée conjuguée de l’expressiona+√
b esta−√
b( et réciproquement ) .
•Repérer dans la formule une expression du typea+√
boua−√
bdont la limite est indéterminée .
•Multiplier et diviser la fonction par la quantité conjuguée de cette expression .
•Simplifier les expressions obtenues ( grâce notamment à l’identité remarquable(u−v)(u+v) =u2−v2) .
•Conclure si les théorèmes opératoires sur les limites le permettent .
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Exemple 2 : Calculons lim
x→+∞(√
x+ 1−√ x).
On a lim
x→+∞
√x+ 1 = +∞et lim
x→+∞−√
x=−∞donc d’après les règles opératoires, nous sommes dans un cas de forme indéterminée ((+∞) + (−∞)).
REFLEXE : On tente d’appliquer alors la méthode 1 (UTILISATION DU TERME PREPONDERANT) pour lever l’indétermination.
•Le terme prépondérant est√ x+ 1.
• ∀x >0,√
x+ 1−√ x=√
x+ 1(1−
√x
√x+ 1) =√
x+ 1(1−√ x× 1
√x+ 1).
•Or lim
x→+∞
√ 1
x+ 1= 0et lim
x→+∞
√x= +∞donc la limite de√ x× 1
√x+ 1 en+∞est indéterminée (∞ ×0).
La méthode 1 n’aboutissant pas , appliquons la méthode 2 (utilisation de l’expression conjuguée).
•On multiplie numérateur et dénominateur par la quantitée conjuguée de l’expression étudiée, c’est à dire par√
x+ 1 +√ x.
√x+ 1−√ x= (√
x+ 1−√ x)(√
x+ 1 +√
√ x)
x+ 1 +√
x =(√
x+ 1)2−(√ x)2
√x+ 1 +√
x = (x+ 1)−x
√x+ 1 +√
x = 1
√x+ 1 +√ x .
•Or lim
x→+∞
√x+ 1 = +∞et lim
x→+∞
√x= +∞ donc lim
x→+∞(√
x+ 1 +√
x) = +∞
D’où lim
x→+∞(√
x+ 1−√
x) = lim
x→+∞
√ 1
x+ 1 +√ x= 0.
Application :Déterminer la limite suivante : lim
x→4
√x−2 x−4
Cas particulier d’un polynôme
Cas particulier d’une fonction rationnelle
Consulter notre site internet (révisions de première)
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