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S UITES ET CONVERGENCE
S UITES ET CONVERGENCE
Les limites de mon langage signient les limites de mon propre monde.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus
1 T
HÉORÈMES DE COMPARAISONParfois, lorsqu'on ne parvient pas à calculer la limite directement, il peut être utile de comparer la suite à une suite plus simple à étudier.
Soient (un) et(vn) deux suites de réels.
Siun>vn et si lim
n→+∞vn= +∞ alors lim
n→+∞un= +∞. Théorème 1 (Théorème de comparaison).
Utiliser la dénition de limite innie et les hypothèses du théorème.
Un schéma sera une aide précieuse pour cette (courte) démonstration...
Preuve
En fait, l'hypothèse un > vn peut être remplacée par un > vn à partir d'un certain rang N . Cela sut.
De manière analogue, en adaptant la démonstration du théorème précédent, on peut énoncer :
LYCÉEBLAISEPASCAL
1
S.DELOBEL M.LUITAUD
Soient (un) et(vn) deux suites de réels.
Si à partir d'un certain rangun6vn et si lim
n→+∞vn=−∞ alors lim
n→+∞un=−∞. Théorème 2 (Théorème de comparaison).
Et, quand on cherche à démontrer qu'une suite tend vers une limite l nie, on peut essayer d'appliquer le théorème1 suivant :
Soient (un),(vn) et(wn) trois suites réelles.
Si à partir d'un certain rang on a vn 6un6wn et si (vn) et(wn) convergent vers la même limite nie lalors :
1. la suite(un) converge ; 2. sa limite est l.
Théorème 3 (Théorème des gendarmes).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n
O
(vn) (wn)
(un)
Exercice 1
Déterminer la limite éventuelle de chacune des suites dénies ci-dessous : 1. un=n+ cos(n) (n∈N); 2. xn= sin(n)n (n∈N∗).
Exercice 2
Soit (un) la suite dénie pourn>1 parun= 1 + 1
√2 +· · ·+ 1
√n. 1. Démontrer que, pour tout entier kcompris entre 1 et non a 1
√ k > 1
√n. 2. En déduire que pour tout n>1 on aun>√
n, et déterminer la limite de la suite(un).
1. que nous admettrons.
2 C
AS DES SUITES MONOTONESQuand on n'arrive pas à déterminer la limite d'une suite par les théorèmes généraux, et que l'on n'arrive pas non plus à la comparer à une suite simple, les théorèmes suivants peuvent encore venir à notre secours pour prouver la convergence.
Si une suite est croissante et majorée alors elle converge.
Théorème 4.
Si une suite est décroissante et minorée alors elle converge.
Théorème 5.
On admet ces théorèmes, dont la démonstration nécessite des notions qui dépassent le cadre du programme de Terminale.
Ces théorèmes sont des théorèmes d'existence : ils arment que la suite converge, mais ne donnent pas la limite2. C'est mieux que rien...
Voici un exemple original en exercice : Exercice 3
Considérons la suite(un)dénie pourn∈N∗ de la manière suivante :
un est le nombre décimal dont la partie entière vaut 0 et dont la partie décimale est la concaté- nation des npremiers nombres premiers.
Prouver que(un) converge3.
u1 = 0,2 u2 = 0,23 u3 = 0,235 u4 = 0,2357 u5 = 0,235711
etc....
.
Le théorème 4 dit ce qui arrive dans le cas où la suite est croissante et majorée. Et que se passe-t-il si la suite est croissante mais non majorée ?
Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞. Proposition 6.
1. Écrire la dénition de (un)croissante . 2. Écrire la dénition4de (un)non majorée . 3. Écrire la dénition de (un)tend vers+∞. 4. Démontrer la proposition en utilisant ces dénitions.
Preuve
2. Le majorant trouvé n'est pas nécessairement la limite. D'ailleurs, si une suite réelle possède un majorant, elle en possède une innité d'autres. . .
3. Sa limite est un réel mystérieux mis en lumière par le mathématicien Paul Erdös (mathématicien hongrois, né le 26 mars 1913 à Budapest, et mort le 20 septembre 1996 à Varsovie en Pologne).
Il existe un énoncé analogue pour les suites décroissantes non minorées.
Voici un résultat intéressant lorsqu'une suite est croissante et que l'on connaît sa limite :
Si une suite est croissante et converge vers un nombre réell, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux à l. C'est-à-dire :
si (un) est croissante et si lim
n→+∞un=l, alors pour toutn on aun6l. Théorème 7.
Un schéma vous éclairera tout au long de la démonstration.
1. Nous allons raisonner par l'absurde : on commence donc par écrire Supposons qu'il existe un rangN tel que... .
2. Notonsε= uN−l 2 .
a. Pourquoi a-t-onε >0?
b. Montrer que, pour toutn>N,unest à l'extérieur de l'intervallei
l−ε;l+ε h. 3. Conclure.
Preuve
Exercice 4
Il existe une propriété analogue pour les suites décroissantes : énoncez-là.
3 C
AS PAR TICULIER IMPOR TANT:
LES SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉ-
TRIQUES
3.1 Suites arithmétiques
Soit (un) une suite arithmétique de raisonr et de premier termeu0. Sir >0 alors la suite diverge : lim
n→+∞un= +∞.
Sir= 0 alors la suite est constante égale àu0 et donc : lim
n→+∞un=u0. Sir <0 alors la suite diverge : lim
n→+∞un=−∞. Proposition 8 (Suites arithmétiques).
Puisque(un)une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0alors pour toutn∈N,un=u0+nr et il est très facile ensuite de conclure selon querest positif, négatif, ou nul. . .
Preuve
4. C'est simplement la négation de (un)majorée , mais attention en l'énonçant...
3.2 Suites géométriques Soit q∈R.
Siq >1, alors lim
n→+∞qn= +∞. Lemme 9.
La preuve repose en grande partie sur l'inégalité de Bernoulli : pour tout réelx>0et toutn∈N, on a (1 +x)n>1 +nx.
1. Démontrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli.
2. Écrire q sous la forme q = 1 +x avec x > 0 (pourquoi peut-on l'écrire ainsi ?), puis appliquer l'inégalité de Bernoulli.
3. Conclure.
Preuve
En conséquence, on dispose de la proposition suivante :
Si−1< q <1alors lim
n→+∞qn= 0. Proposition 10.
Siq= 0, c'est trivial...
Siq6= 0, et comme−1< q <1, on peut écrire0<|q|<1, et le nombre q0 = 1
|q| vérie q0 >1. On peut alors lui appliquer le théorème9...
La n de la démonstration est laissée à la plume du lecteur consciencieux.
Preuve
Dans le cas charnière q = 1, la suite qn est constante égale à 1, donc tend trivialement vers 1.
Siq6−1 alors la suiteqn n'a pas de limite.
En résumé :
n→+∞lim qn=
+∞ si q >1
1 si q= 1
0 si −1< q <1 n'existe pas si q6−1 Théorème 11.
Pour une suite géométrique, on sait que pour tout n, on aun=u0×qn.
On utilise donc le théorème précédent en tenant compte du signe deu0pour déterminer la limite éventuelle de (un) .
Méthode 12 (Limite d'une suite géométrique).
Exercice 5
1. La suite de terme général un= 5 √ 2n
est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
2. La suite de terme généralvn= 3× 1
2 n
est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
3. La suite de terme général wn= 5 (−2)n est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
Exercice 6
Un fumeur, après avoir lu une série de statistiques erayantes5 sur les risques de cancer, pro- blèmes cardiovasculaires liés au tabac, décide d'arrêter de fumer ; toujours d'après des statis- tiques, on estime les probabilités suivantes :
si cette personne n'a pas fumé un jour, alors la probabilité pour qu'elle ne fume pas le jour suivant est 3
10;
si cette personne a fumé un jour, alors la probabilité pour qu'elle ne fume pas le jour suivant est 9
10.
Pour n ∈ N∗, on note Jn l'événement la personne a fumé le n-ième jour , et on note pn la probabilité de l'événementJn.
1. À l'aide d'un arbre de probabilités, exprimer pn+1 en fonction de pn. 2. Montrer que la suite (un) dénie par un=pn− 7
16 est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
3. En déduire une expression deun, puis depnen fonction de n. 4. Quelle est la limite de pn?
Exercice 7
Soit (un) la suite dénie pour toutn∈Nparun=
n
X
p=0
2 7
p
. La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
Exercice 8
La suite (Sn) est dénie pour tout entiern>1par :
Sn=
n
X
k=1
1 2k.
1. Réécrire l'expression de Sn in extenso (c'est-à-dire sans le symbole somme ).
2. Que suggère le dessin ci-contre concernant la limite éven- tuelle de la somme Sn?
3. Démontrez votre conjecture.
1 2 1
4 1 8
1 16
5. http://www.planetoscope.com/mortalite/403-mortalite---deces-dus-au-tabac-dans-le-monde.
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