Variations ET LIMITES DE SUITES – Feuille d’exercices
Besoin d’un point sur le cours ? Les Formats Cours t’attendent sur www.mathsentete.fr ou sur Les corrigés des exercices seront à retrouver sur le Padlet 1ère https://padlet.com/mathsentete Variations de suites :
Exercice 1 : pour chaque suite ci-dessous, calculer les premiers termes à la main, conjecturer le sens de variations, puis démontrer la conjecture en étudiant le signe de 𝑢"#$− 𝑢".
1. (𝑢") est la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢"= "
+,.
2. (𝑢") est la suite définie pour tout entier naturel non-nul 𝑛 par 𝑢"= 𝑛 +$
". Exercice 2 : les suites ci-dessous sont définies par une relation du type 𝑢"= 𝑓(𝑛).
Dans chaque cas, préciser 𝑓, étudier ses variations sur [0; +∞[ et en déduire les variations de la suite.
a) 𝑢"= 5 −"
+ b) 𝑢"= 2𝑛5− 7𝑛 − 2 c) 𝑢" = $
5"#$
Exercice 3 : on admet que les suites ci-dessous ont tous leurs termes strictement positifs.
En comparant le quotient 77,89
, à 1, étudier le sens de variations des suites.
1. Pour tout entier 𝑛 avec 𝑛 ≥ 1, 𝑢"=+<",. 2. Pour tout entier 𝑛 avec 𝑛 ≥ 1, = 𝑢$ = 1
𝑢"#$=>7,
"
Exercice 4 : étudier les variations des suites ci-dessous :
a) (𝑢") est arithmétique de raison 2 et de 1er terme 𝑢? = −3.
b) (𝑣") est définie par 𝑣?= 2 et, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣,"#$= 𝑣"− 5.
c) (𝑤") est définie, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, par 𝑤"= 3 × 2"
d) (𝑡") est géométrique de raison 0,5 et de 1er terme 𝑡?= −2
Exercice 5 : étudier les variations des suites suivantes dont on donne le terme général :
𝑢"= (−1)"× 𝑛 ; 𝑣"=5"#<"I5 ; 𝑤" = 𝑛5− 2𝑛 ; =𝑧? = 1
𝑧"#$=$
5𝑧"+ 1 ; T"= 0,9".
Exercice 6 : on considère la suite (𝑢") définie par M𝑢? = 1
𝑢"#$= 𝑢"+ 2𝑛 + 3 pour tout entier naturel 𝑛.
Étudier les variations de la suite (𝑢").
Exercice 7 : étudier les variations des suites suivantes :
(𝑢") est définie par 𝑢?= 2 et pour tout n naturel : 𝑢"#$= 𝑢"−(7$
,)N
(𝑣") est définie pour tout n naturel : 𝑣"= 𝑛5
Limites de suites :
Exercice 8 : à l’aide de la calculatrice, conjecturer si les suites dont on donne le terme général admettent ou non une limite. La préciser dans ce cas.
𝑢"= (−1)"× 𝑛 ; 𝑣"= "I5
5"#< ;
𝑤"= 𝑛5− 2𝑛 ; =𝑧?= 1
𝑧"#$=$5𝑧"+ 1 ; T"= 0,9".
Exercice 9 : conjecturer (si elle existe) la limite des suites représentées ci-dessous :
Exercice 10 : on modélise la population d’un village de la façon suivante.
§ Au début de l’étude, le village compte 900 habitants.
§ Chaque année, 20% de la population de l’année précédente part et en même temps, 200 nouvelles personnes viennent s’installer.
On modélise la population du village à l’aide d’une suite (𝑢").
On prend 𝑢?= 900.
𝑢" désigne la population du village 𝑛 années après le début de l’étude.
1. Calculer 𝑢$ et 𝑢5.
2. Quelle est la relation qui existe entre 𝑢"#$ et 𝑢", pour tout 𝑛 de ℕ ? 3. Quel semble être le comportement de la population de ce village ?
4. Reprendre l’étude précédente lorsque la population initiale est de 10 000 personnes. Que remarquez-vous ?
Exercice 11 :
1. Tester l’algorithme suivant sur Python :
2. Que donne l’algorithme pour les valeurs de a suivantes ?
Valeur de a 2 10 50 600 50 000 1 000 000 000 n =
3. Exprimer la suite utilisée dans cet algorithme.
4. Quel est le rôle de cet algorithme ?
Exercices bilan :
Exercice A : Exemple d’étude de suite
Soit la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par = 𝑢?= 0
𝑢"#$=5I7$
,
. 1. Calculer sous forme fractionnaire les valeurs de 𝑢$, 𝑢5 et 𝑢+. 2. On admet maintenant que, pour tout entier 𝑛 : 𝑢"= "
"#$
a. Vérifier que pour tout entier 𝑛, on a bien : 𝑢"#$= $
5I7,
b. Démontrer que la suite (𝑢") est strictement croissante.
c. La suite (𝑢") semble-t-elle converger ? Si oui, vers quelle limite ? d. Trouver le plus petit rang 𝑛 pour lequel on a : 𝑢"≥ 0,995.
Exercice B : Suites et 2nd degré
Étudier la monotonie des suites suivantes :
a) (𝑢") définie pour tout entier naturel non-nul 𝑛 par 𝑢"= 𝑛 +$
". Indication : on étudiera le signe de 𝑢"#$− 𝑢" pour tout 𝑛 entier non-nul.
b) (𝑣") définie pour tout 𝑛 entier naturel par : 𝑣"= 2𝑛5− 7𝑛 − 2
Indication : on étudiera les variations de la fonction 𝑓 telle que 𝑢"= 𝑓(𝑛).
Exercice C :Star Wars… la suite !
Le bouclier déflecteur de l’Etoile Noire est composé de couches successives d’un plasma thermomagnétique.
En traversant une de ces couches, un laser perd 23% de son intensité.
On note l’intensité d’un laser ayant traversé couches du bouclier.
Partie A :
Le canon laser Taim & Bak KX9 d’un X-Wing Starfighter a une intensité W/sr (
1) 1) Que valent et ?
2) a) Exprimer en fonction de . b) Quelle est la nature de la suite ?
On précisera son 1
erterme et sa raison.
3) a) Exprimer en fonction de .
b) En déduire l’intensité du rayon après avoir traversé couches du bouclier.
On arrondira le résultat à l’unité.
4) Si le nombre de couches était infini, vers quel nombre l’intensité du rayon tendrait-elle ? Expliquer.
Partie B :
