LIMITES DE SUITES EXERCICES CORRIGES

(1)

LIMITES DE SUITES EXERCICES CORRIGES

Exercice n°1.

Déterminer la limite (éventuelle) des suites

( )

^uⁿ ci-dessous :

1) 1

1 2

n n

u = + ²⁾ 1 1 3

n

un

n

= +  

  ³⁾

5 1

7 3 4

n

un  

= + − 

  ⁴⁾^uⁿ ^{= × −}³

( )

² ⁿ

5) u_n = −5ⁿ 4ⁿ 6)

3 2 8 1

n n

+

−

⁷⁾

3

1 = +

u_n n 8)

1 2

= +

n

u_n n 9)

n n u_n n

− +

= − 1

2 3

² 2

Exercice n°2.

Montrez que la suite

( )

^uⁿ satisfait la relation (R), puis vous en déduirez la limite de cette suite.

a)

1 cos

= +

n

u_n n (R):

1 1

≤ +

u_n n b) u_n

= sin( 2

n

) +

n (R): u_n

≥

n

− 1

c)

² 1

) 1 (

+

−

= +

n u n

n

n (R):

1 ² 1 +

≤ +

n

u_n n d)

2 ) 1 (

) 1 (

+

− +

= −

_nⁿ

n

u n (R):

3 − 1

≥

n u_n

Exercice n°3.

On considère une suite

( )

un définie sur ℕ par :

0

1

6

1 2

n 3 n

u

u ₊ u

=



 = +

 ^{. On pose}v_n = −u_n 3.

1) a) Montrer que la suite

( )

vn est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v₀ b) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.

c) En déduire lim _n

n v

→+∞ et lim _n

n u

→+∞

2) Pour tout n∈ℕ, on pose S_n = + +v₀ v₁ ...+v_n. Déterminer lim _n

n S

→+∞

Exercice n°4.

Soit la suite

( )

uⁿ n_∈_ℕ définie par u

u_n u_n n

0 1

1

2 1

=

= + −



 ₊ pour tout entier naturel n Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n≤u_n. Qu'en déduit-on ? Exercice n°5.

Soit la suite

( )

^uⁿ définie par u₀ =0 et ₁ 1 ² 2 12

n n

u ₊ = u + 1) a) Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

b) Quel semble être la limite de

( )

^uⁿ ^?

2) Montrer que la suite

( )

^vⁿ définie par v_n =u_n²−4 est géométrique.

En déduire la limite de la suite

( )

^vⁿ puis celle de la suite

( )

^uⁿ

Exercice n°6.

Soit la suite

( )

uⁿ n_∈ℕ définie par ⁰

1

0

n 2 n

u

u ₊ u

 =

 = +



1) Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout n , 0≤u_n <2 2) On considère la suite

( )

vn n_∈_ℕ définie pour tout n par v_n = −2 u_n

a) Quel est le signe de vn ?

b) Montrer que, pour tout entier n, v v

n n +¹ ≤ 1

2, puis à l'aide d'un raisonnement par récurrence que v_n

n

≤

 

 1 −

2

1

c) En déduire la limite de la suite

( )

^vⁿ puis celle de la suite

( )

^uⁿ

PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Expérimentales BIOF

(2)

Page 2/15 Exercice n°7.

Soit

( )

^uⁿ la suite numérique définie sur ℕ par ⁰

1

0 3 4

n n

u

u ₊ u



=



= +



1) a) Montrer que

( )

un est majorée par 4.

b) Montrer que

( )

^uⁿ est strictement croissante

c) En déduire que

( )

un converge et déterminer sa limite.

2) a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a : 1

( )

4 1 4

n 2 n

u ₊ u

− ≤ −

b) Retrouver le résultat du 1.c)

c) Etudier la convergence de la suite

( )

^vⁿ définie sur ℕ par ^vⁿ

⁼

ⁿ²

( ⁴ ⁻

^uⁿ

)

Exercice n°8.

On considère la suite u définie pour tout n∈ℕ par ⁰

1

0

2 3

n n

u

u ₊ u

 =

 = +



1) Montrer que pour tout entier n∈ℕ, 0≤u_n ≤3 2) Montrer que la suite u est strictement croissante.

3) Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.

Exercice n°9.

Soit la suite

( )

^uⁿ définie par u₀ =1 et ₁ 3 2 2

n n

n

u u

+ u

= +

+ ^.

1) Donner une valeur approchée à 10⁻³ près des quatre premiers termes de la suite

( )

^uⁿ

2) Montrer par récurrence que pour tout entier n, si 0<u_n <2 3) Résoudre l’inéquation − + + ≥x² x 2 0

4) Exprimer u_n₊₁−u_n en fonction de u_n . Déduire de ce qui précède que u_n₊₁− ≥u_n 0 pour tout entier n. Quel est le sens de variation de la suite

( )

^uⁿ ^?

5) Montrer que pour tout n, ₁ 1

2 2

n 2 n

u ₊ − < u − . 6) En déduire que pour tout n, 1 ₀

2 2

2

n

un   u

− <  −

  ^.

7) Que peut-on en conclure sur la convergence de la suite

( )

un ? Exercice n°10.

Soit

θ

un réel tel que 0

2

θ π

≤ ≤

La suite

( )

^uⁿ est définie par : u₀ =2 cos

θ

et u_n₊₁ = 2+u_n pour tout entier naturel n

1) Calculer les trois premiers termes de la suite en fonction de

θ

(On rappelle que, pour tout réel x , on a : cos 2x=2 cos2 x−1)

2) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n , on a 2 cos

n 2n

u ₌ ^

θ

^

 

  3) Soit

( )

^vⁿ la suite définie, pour tout entier naturel n , par

n 2n

v ₌

θ

Déterminer la limite de la suite

( )

^vⁿ

4) En déduire que

( )

un est convergente ; quelle est sa limite ?

http://xriadiat.e-monsite.com limite de suites

(3)

Exercice n°11.

Soit

( )

uⁿ n_∈ℕ la suite définie par son premier terme u₀

> 0

et la relation : ∀ ∈n ℕ , ₁

1 3

n

2

n

u u

+ u

 

=



+



 

1) Démontrer que ∀ ∈n ℕ, u_n >

0

. Pour quelle valeur de u₀ la suite est-elle stationnaire ? 2) On pose u₀ =

1

.

a) Démontrer les relations suivantes : ∀ ∈n ℕ , ⁿ ¹ ³ ₂¹

(

ⁿ ³

)

²

n

u u

+ − = u − et ∀ ∈n ℕ , ⁿ ¹ ³ ₂¹

(

ⁿ ³

)

²

n

u u

+ + = u +

b) Démontrer que

( )

un n est une suite strictement décroissante pour n≥1 c) En déduire qu’elle est convergente et calculer sa limite.

3) On définit la suite

( )

vⁿ n_∈ℕ par la relation : ∀ ∈n ℕ , ₁

3 3

n n

n

v u

+ u

= − +

a) Calculer v_n₊₁ en fonction de v_n. En déduire l’expression de v_n₊₁ en fonction de v₁ et de n.

b) Calculer la limite de

( )

vⁿ n_∈_ℕ et retrouver la limite de

( )

uⁿ n

Exercice n°12.

On définit deux suites u et v par u₀ =1, v₀ =12 et pour tout entier naturel n :

( )

1

1 2

3

1 3

4

n n n

u u v

v u v

+

 = +



 ₌ ₊



1) On appelle w la suite définie pour tout entier naturel n par w_n = −v_n u_n

a) Montrer que w est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la raison b) Déterminer la limite de la suite w

2) a) Montrer que la suite u est croissante b) Montrer que la suite v est décroissante

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, u₀ ≤u_n ≤ ≤v_n v₀

3) Montrer que les deux suites u et v convergent et ont la même limite que l’on appellera l 4) On appelle t la suite définie pour tout entier naturel n par t_n =3u_n +8v_n

a) Montrer que t est une suite constante. Déterminer cette constante b) Déterminer alors la valeur de l

Exercice n°13.

On considère un carré F₁ de côté de longueur 1. Au milieu de chaque côté, à l'extérieur de F₁, on place un carré de côté 1/3, dont on supprime le côté en contact avec la figure initiale. On obtient ainsi une figure F₂.

F1

On procède de même avec F₂. On obtient ainsi une nouvelle figure F₃. En réitérant le procédé, on construit une suite (F_n) de figures. On note p_n le périmètre de F_n.

1) Tracer F₃.

2) Exprimer en fonction de n:

a) c_n, le nombre de côtés de F_n.

b) l_n, la longueur de chaque côté de F_n.

(4)

c) p_n, le périmètre de F_n. 3) La suite

(

p_n

)

converge-t-elle?

On note A_n l'aire de F_n.

4) Exprimer A_n₊₁ en fonction de A_n. 5) En déduire A_n en fonction de n.

6) Montrer que (A_n) converge et calculer sa limite.

7) Quelles réflexions vous inspire ce problème?

(5)

LIMITES DE SUITES CORRECTION

Exercice n°1

1) Puisque 2>1,

lim 2

ⁿ

n→+∞

= +∞

^donclim ¹ 0

2ⁿ

n→+∞ = et par suite

lim

_n

1

n u

→+∞

=

2) Puisque 1

1 1

− < <3 , 1

lim 0

3

n n→+∞

  =

   et puisque 1

lim 0

n^→+∞n= , on conclut que

lim

_n

0

n u

→+∞

=

3) Puisque 1

1 1

− < − <4 , 1

lim 0

4

n n→+∞

 

− =

 

  ^donc

5 1

lim 0

3 4

n n→+∞

 

− =

 

  et par suite

lim

_n

7

n u

→+∞

=

4) Puisque − < −2 1, la suite définie sur ℕ par ^vⁿ ^{= −}

( )

² ⁿ n’admet pas de limite, donc

( )

un non plus

5) On factorise : Pour tout n∈ℕ,

4 4

5 4 5 1 5 1

5 5

n n

n n n n

n n

u

 

   

= − =



−



=



−

   

Puisque

4 1 1

− < < 5

,

4 lim 0

5

n n→+∞

 

=

   ^donc

lim 1 4 1 5

n n→+∞

−

  

=

  et puisque

lim 5

ⁿ

n→+∞

= +∞

, on en déduit que

lim

_n

n u

→+∞

= +∞

6) On factorise : Pour tout n

∈

ℕ,

2 2

3 1 1

3 2 3 3 3

1 1

8 1 8

8 1 1 8 8

n

n n n n

n n

n n n

u

 

+ +

 

+

   

= = =

 

−



−

  

−

 

Puisque 3>1,

lim 3

ⁿ

n→+∞

= +∞

^donc

2 lim 0

3

ⁿ

n→+∞

=

^puis

2 lim 1 1

3

ⁿ

n→+∞

+ =

. Puisque 8>1,

lim 8

ⁿ

n→+∞

= +∞

^donc

1 lim 0

8

ⁿ

n→+∞

=

^puis

lim 1 1 1

8

ⁿ

n→+∞

− =

. Ainsi,

1 2

3 1

lim 1

1 1

1 8

n n

n

→+∞

+ = =

−

. Enfin, puisque

3 1 1

− < < 8

,

3 lim 0

8

n n→+∞

 

=

  

Par produit, on conclut donc que

lim

_n

0

n u

→+∞

=

7)

lim 3

n n

→+∞

+ = +∞

donc par quotient,

1 lim 0

3

n^→+∞n

=

+

, c’est-à-dire

lim

_n

0

n u

→+∞

=

8) On factorise : Pour tout n

∈

ℕ, 2 2 2

1 1

1 1 1

n

n n

u n

n n n

= = =

+  +  +

 

Puisque 1

lim 0

n^→+∞n= , on a 1 lim 1 1

n^→+∞ + =n , donc par quotient,

lim

_n

2

n u

→+∞

=

9) On factorise : Pour tout n∈ℕ,

2

2 2 2

3 2 3 2

2 2

2 3 2

1 1

1 1 1

n

n n

n n n n n n

u n

n n n

   

− + − +

   

− +    

= = =

−  −  −

 

Puisque 1

lim 0

n^→+∞n= ^{, et} 1₂

lim 0

n^→+∞n = , on conclut que 3 2₂

lim 2 2

n^→+∞ − +n n = ^et 1

lim 1 1

n^→+∞n− = − Ainsi,

2

3 2 2

lim 2

1 1

n

n n n

→+∞

= − + = −

−

, et par produit, on conclut que

lim

_n

n u

→+∞

= −∞

(6)

Page 6/15 Exercice n°2

1) Pour tout n∈ℕ, − ≤1 cosn≤1, donc 1 cos 1 1 n

n n n

− ≤ ≤

+ , c’est-à-dire 1 1

un

n n

− ≤ ≤ . Puisque 1

lim 0

n^→+∞− =n et lim 1 0

n^→+∞n = , le théorème d’encadrement « des gendarmes », nous permet de conclure que lim _n 0

n u

→+∞ =

On pouvait également encadrer la valeur absolue de u_n : Pour tout n∈ℕ,

0 ≤ cos

n

≤ 1

^donc ⁰ ¹

n 1

u n

≤ ≤

+ ^et

puisque 1

lim 0

n^→+∞n ⁼ , on en déduit, toujours grâce au même théorème, que

lim

_n

0

n u

→+∞

=

donc lim _n 0

n u

→+∞ = 2) Pour tout n∈ℕ, sin 2n≥ −1, donc n+sin 2n≥ −n 1 Puisque lim 1

n n

→+∞ − = +∞, le théorème de minoration nous permet de conclure que lim _n

n u

→+∞ = +∞

3) Pour tout n∈ℕ, ^{− ≤ −}¹

( )

¹ ⁿ ^≤¹^{, donc} ⁿ^{− ≤ + −}¹ ⁿ

( )

¹ ⁿ ^{≤ +}ⁿ ¹^donc

( )

2 2 2

1 1 1

n n

n n n

− ≤ + − ≤ +

+ + +

, c’est-à-dire

2 2

1 1

1

ⁿ

1

n n

n u n

− ≤ ≤ +

+ +

. Puisque ₂

1

₂

1 lim lim lim 0

1

n n n

n n

n n n

→+∞

− =

→+∞

=

→+∞

=

+

^et ² ²

1 1

lim lim lim 0

1

n n n

n n

n n n

→+∞

+ =

→+∞

=

→+∞

=

+

, le théorème

d’encadrement « des gendarmes », nous permet de conclure que

lim

_n

0

n u

→+∞

=

On pouvait également encadrer la valeur absolue de u_n : Pour tout n

∈

ℕ,

⁰ ^{≤ + −}

ⁿ

( ) ¹

ⁿ

^{≤ +}

ⁿ

¹

^donc

( )

2 2

1 1

0 1 1

n n n

n n

+ − +

≤ ≤

+ +

c’est-à-dire ₂

1

0

ⁿ

1

u n n

≤ ≤ +

+

et puisque ₂

1

₂

1 lim lim lim 0

1

n n n

n n

n n n

→+∞

+ =

→+∞

=

→+∞

=

+

, on en déduit,

toujours grâce au même théorème, que

lim

_n

0

n u

→+∞

=

donc

lim

_n

0

n u

→+∞

=

4) Pour tout n

∈

ℕ,

^{− ≤ −} ¹ ( ) ¹

ⁿ

^≤ ¹

^{, donc}ⁿ

^{+ −} ( ) ¹

ⁿ

^{≥ −}

ⁿ

¹

. De plus

¹ ^{≤ −} ( ) ¹

ⁿ

^{+ ≤} ² ³

^donc

( )

1 1

1≥ 1 ⁿ 2≥3

− + ^{. En}

multipliant entre elles les inégalités

( )

1 1

1≥ 1 ⁿ 2≥3

− + ^et ⁿ^{+ −}

( )

¹ ⁿ ^{≥ −}ⁿ ¹ entre quantités positives, on obtient la relation R):

3

−1

≥ n

u_n . Puisque 1

lim 3

n

→+∞ − = +∞, par application du théorème de minoration, on conclut lim _n

n u

→+∞ = +∞

Exercice n°3

1) a) Pour tout n_∈ℕ, ¹ ¹ ³ ¹ ^{2 3} ¹ ¹ ¹

(

³

)

¹

3 3 3 3

n n n n n n

v ₊ =u ₊ − = u + − = u − = u − = v La suite

( )

^vⁿ est donc géométrique de raison 1

q=3 et de premier terme v₀ = − = − =u₀ 3 6 3 3 b) Pour tout n∈ℕ,

1 0

1 1

3 3 3

n n

n

vn v q

    −

= × = ×  = 

    ^{. Comme}^vⁿ ^{= −}^uⁿ ³^{, on aura}

1 1

3 3

3

n

n n

u v

  −

= + =   +

  c) Puisque 1

1 1

− < <3 ,

1 1

lim 0

3

n n

−

→+∞

  =

   c’est-à-dire

lim

_n

0

n v

→+∞

=

. Grâce à l’égalité u_n = +v_n 3, on déduit

lim

_n

3

n u

→+∞

=

2) Pour tout n∈ℕ, si on note S_n = + +v₀ v₁ ...+v_n, alors

1 1

1 0

1 1

9 1

3 3

3 1

1 2 2 3

1 3 3

n n

n

Sn v

+ +

+

   

−

  

−

      

= × = × =



−

  

   

 

−

Puisque 1

1 1

− < <3 ^{, on a} 1

lim 0

3

n n→+∞

  =

   ^donc

lim 1 1 1

3

n n→+∞

   

− =

   

   

 

et par suite 9

lim ⁿ 2

n S

→+∞ =

(7)

Exercice n°4

Notons Q_n la propriété « n

≤

u_n » et montrons que la propriétéQ_n est vraie pour tout n∈ℕ Initialisation :

L’hypothèse u₀ = >

1 0

assure que la propriété Q₀ est vraie Hérédité

Supposons maintenant la propriété Q_p vraie pour un certain entier p∈ℕ, à savoir p≤u_p. On déduit alors de cette inégalité 2p+ − ≤1 p 2u_p + −1 p, c’est-à-dire p+ ≤1 u_p₊₁, qui est la propriété Q_p₊₁.

On a donc Q_p ⇒Q_p₊₁, ce qui achève la phase d’hérédité.

La propriété est donc vraie pour tout n∈ℕ. Puisque lim

x n

→+∞ = +∞, on conclut, par minoration, que lim _n

x u

→+∞ = +∞

Exercice n°5

1) Il est évident que pour tout n∈ℕ, u_n >0. On calcule successivement u₀ =0,

2 2

1 0

1 1 1 1

12 0 12 12 2 3 3 1, 73

2 2 2 2

u = u + = + = = × = ≈

( )

²

2

2 1

1 1 1

12 3 12 15 1, 93

2 2 2

u = u + = + = ≈ ,

2 2

3 2

1 1 1 1 63 1

12 15 12 63 1, 98

2 2 2 2 4 4

u u  

= + =   + = = ≈

 

2 2

4 3

1 1 1 1 255 1

12 63 12 255 1, 996

2 2 4 2 16 8

u u  

= + =   + = = ≈

 

b) Il semble que la suite

( )

^uⁿ tende vers 2 2) Pour tout n∈ℕ, on calcule :

( ) ( )

2

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

4 12 4 12 4 3 4 1 4

2 4 4 4 4 4

n n n n n n n n

v ₊ u ₊  u  u u u u v

= − = +  − = + − = + − = − = − =

 

La suite

( )

^vⁿ est donc géométrique de raison 1 4^.

Puisque 1

1 1

− < <4 , on a 1

lim 0

4

n n→+∞

  =

   ^donclim _n 0

n v

→+∞ = . De l’égalité v_n =u_n²−4 on tire u_n = ± v_n+4 Mais puisque pour tout n∈ℕ, u_n >0, on a u_n = v_n+4, et puisque lim _n 0

n v

→+∞ = , on déduit

lim

_n

4 2

n u

→+∞

= =

Exercice n°6

Notons Q_n la propriété « n≤u_n » et montrons que la propriétéQ_n est vraie pour tout n∈ℕ Initialisation :

L’hypothèse u₀ =0, c’est-à-dire 0≤u₀ <2 assure que la propriété Q₀ est vraie Hérédité

Supposons maintenant la propriété Q_p vraie pour un certain entier p∈ℕ, à savoir 0≤u_p <2. On déduit alors de cette inégalité 0 2+ ≤u_p+ < +2 2 2, puis, par stricte croissance de la fonction racine, 2≤ u_p + <2 4 c’est-à-dire

0≤u_p₊1<2, qui est la propriété Q_p₊₁. On a donc Q_p⇒Q_p₊₁, ce qui achève la phase d’hérédité.

La propriété est donc vraie pour tout n∈ℕ.

(8)

Page 8/15 2) a) Pour tout entier n∈ℕ,

0 ≤

u_n

< ⇔ > 2

v_n

0

b) Pour tout entier n

∈

ℕ, on calcule :

( )( )

1 1

2 2 2 2

2 2 2

2 2

n n

n n n

n

u u

v u u

+ + u

− + + +

= − = − + =

+ +

(multiplication par la quantité conjuguée)

( )

² ²

(

²

)

² ⁴

(

²

)

²

2 2 2 2 2 2 2 2

n n n n

u u u v

u u u u

− + − + −

= = = =

+ + + + + + + +

Et puisque pour tout entier n∈ℕ, 0≤u_n, alors 2+ 2+u_n ≥2 et ainsi 1 1 2 2 u_n ≤2

+ + ^.

Par multiplication par v_n >0, on conclut ₁ 1 1

2 2 2 2 2

n

n n n

n n

v v v v

u u

+ = = × ≤ ×

+ + + + ^.

Puisque v_n >0, l’inégalité ₁ 1

n n 2

v₊ ≤ ×v est équivalente à ¹ 1 2

n n

v v

+ ≤ Notons Q_n la propriété « v_n

n

≤

 

 1 −

2

1

»

Initialisation : L’hypothèse u₀ = ⇔ =0 v₀ 2, et le calcul

0 1 1

1 1

2 2 2

− −

   

= =

   

    ^assurent

0 1 0

1 v 2

  −

≤ 

  cest-à-dire que la propriété Q₀ est vraie.

Hérédité : Supposons maintenant la propriété Q_p vraie pour un certain entier p∈ℕ, à savoir

1 1

2

p

vp

  −

≤ 

  ^. On utilise alors l’inégalité ¹ 1

2

p p

v v

+ ≤ , qui nous permet d’écrire :

1

hypothèse de récurrence

1 1

2 2

1 1

2 2

p

p p

p

p p

v v v

v

+

− +

≤ ⇔ ≤

⇔ ≤ ×  

 

1

1 2

p

vp₊  

⇔ ≤ 

  , qui est la propriété Q_p₊₁. On a donc Q_p ⇒Q_p₊₁, ce qui achève la phase d’hérédité.

La propriété est donc vraie pour tout n∈ℕ. c) Puisque v_n >0, on a donc

1 1

0 2

n

vn

  −

< ≤ 

  , et puisque

1 1

lim 0

2

n n

−

→+∞

  =

   , le théorème des gendarmes permet de conclure que lim _n 0

n v

→+∞ = , donc que lim _n 2

n u

→+∞ = Exercice n°7

1) a) Démontrons par récurrence que pour tout n∈ℕ, 0≤u_n <4. Notons Q_n la propriété « 0≤u_n <4 »

La propriété Q₀ est vraie d’après les données de l’énoncé. Supposons la propriété Q_p vraie pour un certain entier p∈ℕ fixé, c’est-à-dire 0≤u_p <4. On a alors 3 0 4× + ≤ × + < × +3 u_p 4 3 4 4 , c’est-à-dire 4≤3u_p + <4 16^puis

1

4 3 4 16

p

p u

u

+

≤ + <

(par stricte croissance de la fonction racine). On se retrouve donc avec 0≤u_p₊₁<4, qui est la propriété Q_p₊₁, ce qui achève la phase d’hérédité et la démonstration par récurrence.

b) Montrons que pour tout n∈ℕ, u_n <u_n₊₁. Notons Q_n la propriété « u_n <u_n₊₁ »

On calcule u₁= 3u₀+ =4 3 0 4× + = 4 =2, et ainsi, puisque u₀ <u₁, la propriété Q₁ est vraie

(9)

Supposons la propriété Q_p vraie pour un certain entier p∈ℕ fixé, c’est-à-dire u_p <u_p₊₁

On a alors 3u_p+ <4 3u_p₊₁+4 puis par stricte croissance de la fonction racine, 3u_p+ <4 3u_p₊₁+4, c’est-à-dire

1 2

p p

u ₊ <u ₊ , qui est la propriété Q_p₊₁, ce qui achève la phase d’hérédité et la démonstration par récurrence.

c) La suite

( )

^uⁿ est strictement croissante et majorée (par 4). Elle est donc convergente.

Notons L la limite lim _n

n u

→+∞ . On a alors lim _n ₁

n u ₊ L

→+∞ = , donc L vérifie l’égalité L

= 3

L

+ 4

On résout l’équation ²

3 4 3

4 0

L L

= +

⇒L L

− =

en calculant son discriminant.

On trouve L = -1 ou L=4

Comme pour tout n∈ℕ, u_n ≥

0

, la limite de

( )

^uⁿ ne peut être que 4. Ainsi,

lim

_n

4

n u

→+∞

=

2) a) Pour tout n∈ℕ, on calcule :

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( ) ⁽ ⁾ ⁽ ( ⁾ )

2 2

1

4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 3 4

4 4 4 4 4 3 4 4 4 3 4

16 3 4 12 3 3 4 3

4 3 4

4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 3 4

n n n

n n

n n n n n n

n n n

n n n n n n n

u u u

u u

u u u u u u

u u u

u u u u u u u

+ − + − + + + − +

− = = =

− − − + + − + +

− + − −

= = = =

+ +

− + + − + + − + +

Puisque pour tout n∈ℕ, u_n ≥

0

, on aura

3

u_n+ ≥

4 4

donc

4

+

3

u_n+ ≥

4 6

donc

1 1 4 3

u_n

4

≤

6

+ + ^{et en}

multipliant par 3,

3 3

4 3

u_n

4

≤

6

+ + ^{, donc}

3 1

4 3

u_n

4

≤

2

+ +

Puisque pour tout n∈ℕ, u_n < ⇔ − >

4 4

u_n

0

, l’inégalité 4 ¹ 1

4 2

n n

u u

− + ≤

− est équivalente à ⁴ ¹ ¹

(

⁴

)

n 2 n

u ₊ u

− ≤ −

b) Démontrons maintenant par récurrence que pour tout n∈ℕ, ⁴ ¹

(

⁴ ⁰

)

2

n

un   u

− ≤  −

  Notons Q_n la propriété « ⁴ ¹

(

⁴ ⁰

)

2

n

un   u

− ≤  −

  ^»

La propriété Q₀ est vraie car ¹ ⁰

(

⁴ ⁰

)

⁴ ⁰

2 u u

  − = −

  

Supposons la propriété Q_p vraie pour un certain entier p∈ℕ fixé, c’est-à-dire ⁴ ¹

(

⁴ ⁰

)

2

p

up   u

− ≤  −

  En multipliant par 1

2 les deux membres de l’inégalité, on obtient ¹₂

(

⁴⁻^u^p

)

^≤^{ }^{ }_{ }¹₂ ^p⁺¹

⁽

⁴⁻^u⁰

⁾

, et puisque

( )

1

4 1 4

p 2 p

u ₊ u

− ≤ − , on obtient ⁴ ¹ ¹ ¹

(

⁴ ⁰

)

2

p

up u

+ +

− ≤   −

  , qui est la propriété Q_p₊₁, ce qui achève la phase d’hérédité et la démonstration par récurrence.

Puisque pour tout n∈ℕ, ⁰ ⁴ ¹

(

⁴ ⁰

)

⁰ ⁴ ⁴ ¹

2 2

n n

u   u u  

< − ≤  − ⇔ < − ≤ × 

    , et puisque 1

lim 0

2

n n→+∞

  =

   , on applique le théorème d’encadrement (dit « des gendarmes ») pour conclure que

lim 4

_n

0 lim

_n

4

n u n u

→+∞

− = ⇔

→+∞

=

. On retrouve bien le résultat du 1) c)

c) Puisque pour tout n∈ℕ, 1

0 4 4

2

n

un  

< − ≤ × 

  , on obtient ⁰ ²

(

⁴

)

⁴ ²

n 2n

n u n

< − ≤ . Puisque

4 2

lim 0

2ⁿ

n

→+∞ = (par croissance comparée), on applique le théorème d’encadrement (dit « des gendarmes ») pour conclure que

( )

lim

2

4

_n

0 lim

_n

0

n n u n v

→+∞

− = ⇔

→+∞

=

.

(10)

Page 10/15 Exercice n°8

1) Notons P(n) la propriété «

0 ≤

u_n

≤ 3

» et démontrons par récurrence sur n que P(n) est vraie pour tout n∈ℕ Initialisation : La propriété est vraie pour n=0 puisque u₀ =

0

⇒

0

_≤u₀_≤

3

Hérédité : Supposons la propriété P(n) vraie pour un entier n, c’est-à-dire

0

≤u_n ≤

3

. On écrit alors successivement :

0 3

2 0 3 2 3 2 3 3

n

u

≤ ≤

⇒ _{× + ≤} _{+ ≤ × +}

c’est-à-dire

3

≤

2

u_n + ≤

3 9

, et en utilisant la croissance de la fonction racine carrée sur

[ ^0; ^+∞ [

, on obtient

3

≤

2

u_n + ≤

3 9

, c’est-à-dire

3 ≤

u_n₊₁

≤ 3

^donc

0

≤u_n₊1≤

3

, ce qui prouve que la propriété P(n+1) est vraie.

En conclusion, la propriété P(n) est vraie pour tout n∈ℕ, c’est-à-dire : Pour tout n∈ℕ,

0

≤u_n ≤

3

2) Notons P(n) la propriété « u_n ≤u_n₊₁ » et démontrons par récurrence sur n que P(n) est vraie pour tout n∈ℕ Initialisation :

La propriété est vraie pour n=0 puisque u₁ =

2

u₀+ =

3 3

⇒u₀ _≤u₁ Hérédité :

Supposons la propriété P(n) vraie pour un entier n, c’est-à-dire u_n ≤u_n₊₁^. On écrit alors successivement :

1

2 3 2

1

3

n n

u u

+

≤

⇒ _{× + ≤} ₊ ^,

et utilisant la croissance de la fonction racine carrée sur

[ ^0; ^+∞ [

, on obtient

2

× + ≤u_n

3 2

u_n₊₁+

3

, c’est-à-dire

1 2

n n

u ₊ ≤u ₊ , ce qui prouve que la propriété P(n+1) est vraie.

En conclusion, la propriété P(n) est vraie pour tout n∈ℕ, c’est-à-dire : La suite u est strictement croissante.

3) Puisque u est strictement croissante et majorée, elle converge vers une limite l.

Puisque pour tout entier n, ^uⁿ+¹

=

^{f u}

( )

ⁿ ^avec ^{f x}^: → ²^x+³, qui est continue sur

[ ^0; ^+∞ [

, la limite l vérifie

( )

l

=

f l . On résout l’équation l= 2l+ ⇔ − − =3 l² 2l 3 0 et l>0, en calculant le discriminant de l’équation. On obtient ^{∆ = −}

( )

² ²^{− × × − =}^{4 1}

( )

³ ¹⁶⁼⁴², donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes. ₁ 2 16

2 1

l = − = − ^et

2

2 16 2 3

l = + = . La condition l>0 (et par ailleurs le fait que pour tout entier n∈ℕ, u_n ≥0) entraîne le fait que : la limite de la suite u est 3.

Exercice n°9

1) On calcule successivement u₀ =1^, 1 ⁰ 0

3 2 3 1 2 5

2 1 2 3

u u u

+ × +

= = =

+ + ^,

1 2

1

3 5 2

3 2 3 7 21

5 11

2 11

3 2 3

u u u

+ × +

= = = =

+ +

et

2 3

2

21 85

3 2

3 2 11 11 85 11 85

21 43

2 11 43 43

11 2 11

u u u

× +

= + = = = × =

+ +

2) Notons Q_n la propriété « 0<u_n <2 ». La propriété Q₀ est vraie d’après les hypothèse de l’énoncé.

Supposons la propriété Q_p vraie pour un certain entier p∈ℕ, à savoir 0<u_p <2.

Alors

( )

1

3 2 2 2

3 2 2

2 2

2 2 2

p p

p

p p p

u u

u ⁺ u u u

+ − +

+ −

− = − = =

+ + + ^{. Puisque}0<u_p <2, on peut en déduire que u_p₊₁− <2 0, donc que u_p₊₁ <2. D’autre part u_p₊₁ >0 car u_p >0.

Ainsi, on trouve la propriété Q_p₊₁, ce qui achève la phase d’hérédité et la démonstration par récurrence

LIMITES DE SUITES EXERCICES CORRIGES