Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚19 Limite et continuit´ e (partie 2)
Exercice 175 (Recherche d’´equivalents) 1. Donner un ´equivalent≪simple≫ de
3x2−2 ln(x) + 5ex en +∞(resp. en 0+).
2. Soit la fonction
f: x7→ln
1−x 1 +x
sin(3x)
√x . (a) Pr´eciser le domaine de d´efinition def.
(b) Donner un ´equivalent≪simple≫ def(x) en 0+.
(c) Conclure quant `a la limite ´eventuelle def(x) quandxtend vers 0+. 3. Soit la fonction
g:x7→ 3x−2x
√4 +x−2. (a) Pr´eciser le domaine de d´efinition deg.
(b) Donner un ´equivalent≪simple≫ deg(x) en 0+.
(c) Conclure quant `a la limite ´eventuelle deg(x) quand xtend vers 0+.
Exercice 176 (Composition d’un ´equivalent par la droite)
1. Soient f et g deux fonctions d´efinies au voisinage d’un point ade R. Soit uune fonction d´efinie sur un voisinage d’un pointb deRet telle que :
u(x) →
x→ba.
Montrer que :
f(x) ∼
x→ag(x) ⇒ f(u(x)) ∼
x→bg(u(x)).
2. Justifier que :
arctan(x) ∼
x→0x.
3. ´Etudier la limite ´eventuelle de :
arctan(xsin(x)) cos(2x)−1 quand xtend vers 0.
Exercice 177 (´Etude de la continuit´e d’une fonction d´efinie par morceaux) 1. ´Etudier la continuit´e de la fonction
f: [0,+∞[→R; x7→
0 six= 0 e−1x
x si 0< x <1 0 six= 1
√x−1
√x−1 six >1.
1
2. Soita∈R. Donner une CNS surapour que la fonction
g: R→R; x7→
sin(x)
|x|a six6= 0 0 six= 0 soit continue surR.
Exercice 178 (Prolongement par continuit´e) 1. Soit la fonction
f: ]0,1[∪]1,+∞[→R; x7→ ln(x) x−1. (a) Montrer quef est prolongeable par continuit´e en 1.
(b) ´Ecrire le prolongement de f obtenu en la prolongeant par continuit´e en 1.
2. Peut-on prolonger par continuit´e la fonction
g: ]0,+∞[→R; x7→sin 1
x
en 0 ?
Exercice 179 (Fonction continue et strictement positive sur un segment)
1. Soit I un segment non vide de R. Soit f:I → R une fonction continue et strictement positive sur I.
Montrer qu’il existem >0 tel que pour toutx∈I: f(x)≥m et interpr´eter graphiquement cette propri´et´e.
2. Le r´esultat de la question 1 persiste-t-il si l’on suppose queIest un intervalle non vide deRqui n’est pas n´ecessairement un segment ?
Exercice 180 (Continuit´e, limites aux bornes et caract`ere born´e) 1. Soitf une fonction d´efinie surR, continue surRet telle que :
f(x) →
x→−∞0 et f(x) →
x→+∞0.
On se propose de montrer que f est born´ee.
(a) Montrer qu’il existeA >0 tel que pour toutx∈R:
|x| ≥A ⇒ |f(x)| ≤1.
(b) SoitB >0. Justifier qu’il existeM ∈R+ tel que pour toutx∈R:
|x| ≤B ⇒ |f(x)| ≤M.
(c) En d´eduire quef est born´ee.
2. Soit f une fonction d´efinie et continue sur [0,+∞[ et admettant une limite finie en +∞. Montrer quef est born´ee.
3. Proposer une g´en´eralisation du r´esultat d´emontr´e `a la question 1.
2
Exercice 181 (Une preuve du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires par dichotomie) 1. Soit (a, b)∈R2tel que a < b. Soitf une fonction d´efinie et continue sur [a, b] telle que :
f(a)<0 et f(b)>0.
On se propose de montrer que l’´equation
(E) : f(x) = 0 poss`ede alors une solution dans [a, b].
(a) Construire deux suites (an)n∈Net (bn)n∈N telles que : i. a0=aetb0=b;
ii. la suite (an)n∈Nest croissante et la suite (bn)n∈N est d´ecroissante ; iii. pour toutn∈N,bn+1−an+1= bn−an
2 ;
iv. pour tout n∈N,f(an) ≤0 etf(bn)≥0.
Indication : on construira ces deux suites par r´ecurrence et on pourra s’inspirer de la solution de l’exercice 25 de la feuille de TD n˚5 d’algorithmique.
(b) Montrer que les deux suites (an)n∈Net (bn)n∈Nconvergent vers une mˆeme limite l∈[a, b].
(c) Montrer quel est solution de (E).
(d) ´Ecrire un algorithme qui retourne une valeur approch´ee d’une solution de (E) sur [a, b] avec une erreur inf´erieure `a 10−6.
2. D´eduire de 1. une preuve du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
Exercice 182 (Existence de solution(s) pour des ´equations num´eriques) 1. Montrer que l’´equation
x6+x−1 = 0 poss`ede une solution sur [0,1].
2. Montrer que l’´equation
xcos2013(x) +xsin(x) + 1 = 0 poss`ede une solution sur R.
3. Soitfune fonction d´efinie et continue sur [0,+∞[. Montrer que sif(0)<0 et s’il existel∈]0,+∞[∪ {+∞}
tel que
f(x) →
x→+∞l alors l’´equation f(x) = 0 poss`ede une solution sur [0,+∞[.
Exercice 183 (Fonction de [0,1]dans [0,1]poss´edant un point fixe)
1. Soitf une fonction. On appelle point fixe def tout ´el´ementx0 deDf tel que : f(x0) =x0.
Interpr´eter graphiquement l’existence d’un point fixe pour la fonction f.
2. Soitf: [0,1]→[0,1] une fonction continue sur [0,1]. Montrer quef poss`ede un point fixe.
3. Soitf: [0,1]→[0,1] une fonction croissante. Montrer que f poss`ede un point fixe.
Indication : on pourra consid´erer la borne sup´erieure de l’ensemble {x ∈[0,1] ; f(x)≤ x} apr`es avoir justifi´e son existence.
4. Donner un exemple de fonctionf: [0,1]→[0,1] n’admettant pas de point fixe.
Exercice 184 (Un polynˆome `a coefficients r´eels, de degr´e impair, admet une racine r´eelle) Soitn∈Net soit (a0, a1, . . . , a2n, a2n+1)∈R2n+2 tel que a2n+16= 0. Montrer que le polynˆome
P =
2n+1
X
i=0
aiXi poss`ede une racine dansR.
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Exercice 185 (Positions relatives de deux courbes de fonctions continues)
SoitI un intervalle non vide deR. Soient f et g deux fonctions d´efinies et continues surI. On munit le plan d’un rep`ere et on consid`ere les courbesCf etCg qui repr´esentent respectivement les fonctionsf etg.
1. Montrer que s’il existe (α, β)∈I2tel que : (a) Cf est au-dessus deCg au point d’abscisseα; (b) Cf est en-dessous deCg au point d’abscisseβ; alors les courbesCf etCg sont s´ecantes.
2. On suppose que I est un intervalle ouvert et qu’il existe α∈I tel que Cf est au-dessus de Cg au point d’abscisseα. Montrer qu’alorsCf est au-dessus deCg sur un voisinage ouvert deα.
Exercice 186 (Continuit´e et caract`ere constant)
1. Soit I un intervalle non vide de R. Soit f une fonction d´efinie et continue sur I. On suppose que pour tout x∈I, f(x)∈ {−1,1}. Montrer quef est constante.
2. Proposer une g´en´eralisation du r´esultat d´emontr´e en 1.
3. Soit f une fonction d´efinie et continue sur Rtelle que la fonctionf|Q soit constante. Montrer que f est constante.
4. Soitf:R→Rune fonction telle que :
(∗) ∀x∈R, f(x) =f(2x).
(a) Montrer que sif est continue en 0, alorsf est constante.
(b) Peut-on construire des fonctions non constantes satisfaisant la propri´et´e (∗) ?
Exercice 187 (Continuit´e, ´equation fonctionnelle et fonctions lin´eaires) Soitf une fonction d´efinie surR, continue en 0 et telle que pour tout (x, y)∈R2 :
f(x+y) =f(x) +f(y).
On se propose de montrer quef est alors lin´eaire.
1. Montrer quef est continue surR.
2. On posea=f(1).Montrer que pour pour toutx∈R: (∗) f(x) =ax.
Indication : on pourra d’abord montrer que (∗)est vraie pour x∈N, puis pour x∈Z, puis pour x∈Q, avant d’´etablir le r´esultat pour x∈Rquelconque.
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