Feuille d’exercices n˚10 Limites et continuit´ e

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚10 Limites et continuit´ e

Exercice 146 : Soitf la fonction d´efinie par :

f: R→R, x7→p

x²+ 1−1.

1. Montrer que :

∀x∈R

√ 1

x²+ 1 + 1 ≤1 2. 2. En utilisant une quantit´e conjugu´ee, d´eduire de 1. que :

∀x∈R |f(x)|< x². 3. En d´eduire que :

∀ε∈R^+× ∃α∈R^+× ∀x∈R |x|< α=⇒ |f(x)|< ε.

Que peut-on en conclure ?

Exercice 147 : Calculer les limites, si elles existent, de chacune des fonctions suivantes en−∞, 0 et +∞.

a)x7→ 3x²−1

x² b)x7→x+ 1

x² c)x7→cos(x) d)x7→ 2x−1

√x

Exercice 148 : Etudier les limites ´´ eventuelles de : a) 1

x−1 − 2

x²−1 lorsque xtend vers 1 ; b)

p|x²−1|

x−1 lorsquextend vers 1 (respectivement−∞, +∞) ; c)

r 1 + 1

x− r1

x lorsquextend vers 0⁺; d) 4x³−2x²+x

3x²+ 2x lorsquextend vers 0 (respectivement +∞) ; e) x−2

√2−x lorsquextend vers 2⁻;

f) 2 sin(x)−1

4 cos²(x)−3 lorsquextend vers π 6 ; g)

√1 +x−1

x lorsquextend vers 0.

Exercice 149 : Soit a un nombre r´eel. ´Etudier la limite ´eventuelle de (a+x)³−a³

x lorsque x tend vers 0 (respectivement−∞).

1

F Exercice 150 : Soitnun entier naturel non nul fix´e.

1. Justifier que :

∀x∈R xⁿ−1 = (x−1)

n−1

X

k=0

x^k.

Indication : on pourra scinder l’´etude en deux parties suivant la valeur dexet utiliser un r´esultat du cours sur les suites g´eom´etriques.

2. ´Etudier la limite ´eventuelle de 1

x−1 − 1

xⁿ−1 en 1.

Exercice 151 : En utilisant les limites usuelles :

x→0lim sin(x)

x = 1 et lim

x→0

1−cos(x) x² = 1

2

´

etudier les limites ´eventuelles de :

a) sin(3x)

sin(5x) lorsquextend vers 0 ; b) xsinπ

x

lorsquextend vers +∞;

c) cos(3x)−1

sin(x²) lorsquextend vers 0 ; d) tan(x)−sin(x)

sin³x 2

lorsquextend vers 0.

Exercice 152 : En utilisant les limites usuelles :

x→0lim

ln(1 +x)

x = 1 et lim

x→0

e^x−1 x = 1

´

etudier les limites ´eventuelles de :

a) ln(1 + 3x)

x lorsquextend vers 0 ; b) e^x2−1

x lorsquextend vers 0 ; c) e^5x−1

x² lorsquextend vers 0 ;

F Exercice 153 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R, x 7→e^x sin(x).

1. Montrer quef n’est ni major´ee, ni minor´ee sur R.

2. La fonctionf admet-elle une limite finie ou infinie en−∞(respectivement en +∞) ? Indication : On pourra introduire des suitesbien choisies pour r´epondre `a ces deux questions.

Exercice 154 : Pour chacune des fonctionsf_i (i∈J1,9K) ci-dessous, d´eterminer son ensemble de d´efinitionE_i,

´

etudier les limites ´eventuelles aux bornes deEiet rechercher les ´eventuelles asymptotes `a la courbe repr´esentant

2

fi dans un rep`ere du plan.

f1: x7→x− 1

x² f2:x7→x²+ 1

x f3:x7→ x+ 1

x−1 f4: x7→ x²+ 1

x²−4 f5:x7→x+√

x²+x+ 1 f6:x7→√

1−x²−1

f₇: x7→ x²

√x²+ 1 f₈:x7→ x²ln(x)

1 +x f₉:x7→2x+e^−x

2

Exercice 155 : Etudier les limites ´´ eventuelles de :

a) e^x−e^−x lorsquextend vers − ∞(respectivement +∞) ; b) ln(x)

√x lorsquextend vers 0⁺ (respectivement +∞) ; c) ln(e^x+ 1) lorsquextend vers − ∞(respectivement +∞) ; d) x e^x

3^x lorsquextend vers +∞; e) x2^x lorsque xtend vers +∞;

f) (2x+ 1)e^x lorsquextend vers − ∞(respectivement +∞) ; g) xe^−x lorsquextend vers − ∞(respectivement +∞) ; h) x²e^−x−x lorsque xtend vers − ∞(respectivement +∞) ; i) 3e^2x+ 1

e^2x−1 lorsquextend vers − ∞(respectivement +∞).

Exercice 156 Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R, x7→2x+ 1 + 3 sin(x).

1. Montrer que :

∀x∈R 2x−2≤f(x)≤2x+ 4.

2. En d´eduire le comportement asymptotique def en−∞(respectivement en +∞).

Exercice 157 Soitf la fonction d´efinie par :

f: R→R, x7→





 sin(x)

x six∈R^× 0 six= 0.

1. ´Etudier la continuit´e def surR. 2. D´emontrer que :

∀x∈R^+× −1

x≤f(x)≤ 1 x. 3. En d´eduire le comportement asymptotique def en +∞.

4. En utilisant une composition de limites faisant intervenir la fonction f et la fonction affine x 7→ −x, d´eduire du r´esultat pr´ec´edent le comportement asymptotique def en−∞.

3

F Exercice 158 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R, x7→x+ 2 sin(x).

1. Montrer que :

∀x∈R f(x)≥x−2.

2. En d´eduire le comportement asymptotique def en +∞.

3. Soitn∈N⁺. Ordonner les trois nombres :

x_n = 2nπ ; y_n= 2nπ+π

2 ; z_n= 2(n+ 1)π puis les trois nombres :

f(xn) ; f(yn) ; f(zn)

et en d´eduire quef n’est croissante sur aucun intervalle du type ]A,+∞[ (A∈R).

Exercice 159 : D´eterminer, dans chacun des cas ci-dessous, si la fonction f peut-elle ˆetre prolong´ee par continuit´e enx0? Si oui, pr´eciser le prolongement obtenu.

1. f: ]0,+∞[→R, x7→ ln(1 +x)

2x x0= 0

2. f: i 0,π

2

h→R, x7→ tan(x)

2x x₀= 0

3. f: ]0,+∞[→R, x7→ 1−cos(5x)

2x² x0= 0

4. f: [−1,3[→R, x7→ 2−√ x+ 1

x−3 x₀= 3 5. f:R^×→R, x7→ sin(x)

x² x0= 0 6. f:R^×→R, x7→ 1 + 3x

x²+x x0= 0

Exercice 160 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R, x7→Max(2x²−x+ 1, x+ 1).

1. ´Etudier le signe de 2x²−x+ 1−(x+ 1) pour toutx∈Ret interpr´eter graphiquement le r´esultat.

2. En d´eduire une expression def(x) sans symbole Max, par morceaux.

3. ´Etudier la continuit´e de la fonctionf surR.

Exercice 161

1. D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction : f:x7→

√1 +x−√ 1−x

x .

2. O`u et comment peut-on la prolonger par continuit´e ?

F Exercice 162 : Etudier les limites ´´ eventuelles de chacune des fonctions suivantes en 0 : a) x7→ e^5x−e^3x

x ;

b) x7→ x

e^sin(x)−1 ; c) x7→ a^x−1

x (a >0) ; d) x7→ 8^x−5^x

x .

4