L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚9 Limites et continuit´ e
Exercice 136
1. ´Etudier la limite ´eventuelle dex−ln(x) quandxtend vers 0+ (resp. +∞).
2. ´Etudier la limite ´eventuelle deex−3xquandxtend vers−∞(resp. +∞).
3. ´Etudier la limite ´eventuelle de x2+ ln(x)
x quandxtend vers 0+ (resp. +∞).
4. ´Etudier la limite ´eventuelle de ln(1−4x)
2x quandxtend vers 0.
5. ´Etudier la limite ´eventuelle de sin(x2)
x quandxtend vers 0.
6. ´Etudier la limite ´eventuelle de ln(ex+ 1)
√x quandxtend vers +∞.
7. ´Etudier la limite ´eventuelle de cos(2x)−1
sin(x2) quandxtend vers 0.
8. ´Etudier la limite ´eventuelle de cos(ex2)
2x quandxtend vers +∞.
Exercice 137 : Soitn∈N∗ et soit aun nombre r´eel. ´Etudier la limite ´eventuelle de (a+h)n−an
h lorsque htend vers 0.
Exercice 138 : Soitf la fonction d´efinie par :
f : R\ {5} → R
x 7→ 3x2−7x+ 2 x−5 .
1. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes de son ensemble de d´efinition.
2. Que peut-on d´eduire de la question 1 quant `a la courbeCf qui repr´esentef dans un rep`ere du plan ? 3. ´Etudier l’existence d’une asymptote ´eventuelle en +∞, `a l’aide de la m´ethode du cours.
4. D´eterminer (a, b, c)∈R3 tels que :
3X2−7X+ 2 = (aX+b)(X−5) +c (division euclidienne de 3X2−7X+ 2 parX−5) puis red´emontrer le r´esultat obtenu `a la question 3.
Exercice 139 : Soit
f:x7→p
x2−7x+ 12.
1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.
2. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes de son ensemble de d´efinition.
3. ´Etudier l’existence d’une asymptote ´eventuelle en +∞(resp. en−∞), `a l’aide de la m´ethode du cours.
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Exercice 140 : Soitf la fonction d´efinie par :
f : R → R x 7→ ex−e−x
ex+e−x. 1. Justifier que la fonctionf est bien d´efinie.
2. ´Etudier la parit´e de la fonctionf. 3. ´Etudier le signe de la fonctionf.
4. ´Etudier le comportement asymptotique def en +∞.
5. En d´eduire le comportement asymptotique def en−∞.
6. Que peut-on d´eduire des questions 3, 4 et 5 quant `a la courbeCf qui repr´esentef dans un rep`ere du plan ?
Exercice 141 : Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→ln(1−3x).
1. D´eterminer le domaine de d´efinition def. 2. ´Etudier le signe de la fonctionf.
3. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes de son ensemble de d´efinition.
4. Que peut-on d´eduire des questions 2 et 3 quant `a la courbeCf qui repr´esentef dans un rep`ere du plan ?
F Exercice 142 : Soitf la fonction d´efinie par :
f : R∗ → R x 7→ sin(2x)
x . 1. ´Etudier les limites ´eventuelles def en−∞et en +∞.
2. Montrer que l’on peut prolonger f par continuit´e en 0. On ´ecrira la fonction fe d´efinie sur R, obtenue en prolongeantf par continuit´e.
Exercice 143 : Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→ xln(x) x−1 . 1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.
2. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes de son ensemble de d´efinition.
3. Que peut-on d´eduire de la question 2 quant `a la courbeCf qui repr´esentef dans un rep`ere du plan ?
4. D´eduire que la question 2 que l’on peut prolongerf par continuit´e `aR+. On ´ecrira la fonctionfed´efinie surR+, obtenue en prolongeantf par continuit´e.
Exercice 144
1. D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction : f:x7→
√1 +x−√ 1−x
x .
2. O`u et comment peut-on la prolonger par continuit´e ?
Exercice 145
1. Soita∈R+∗. ´Etudier la limite ´eventuelle de
√x−√ a
x−a lorsquextend versa.
2. Soita∈R. ´Etudier la limite ´eventuelle de ex−ea
x−a lorsquextend versa.
3. Soita∈R+∗. ´Etudier la limite ´eventuelle de ln(x)−ln(a)
x−a lorsque xtend versa.
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