Chapitre 3
Limites de fonctions
3.1 Généralités :
3.1.1 Limite finie
f est une fonction définie sur un intervalle I sur lequel la variablexpeut être rendue infiniment proche du réel a.
Définition 1 Dire que f admet pour limite le réel l quand x tend versasignifie que l’écart f(x)−l peut être rendu infiniment proche de 0 (c’est-à-diref(x)infiniment proche du réell) pour des valeurs de xproches de a.
Théorème 1 d’unicité
Sif admet pour limite le réell quand x tend vers a, alors cette limite estunique. On note lim
x→af(x) =l
3.1.2 Limite infinie
Définition 2 Dire que f admet pour limite +∞quand x tend vers a signifie que le réel f(x) peut être rendu supérieur à tout nombre réelM, (c’est-à-diref(x)peut être rendu infiniment grand pour des valeurs dexproches de a).
On note lim
x→af(x) = +∞
Définition 3 Dire que f admet pour limite −∞ quand x tend vers a signifie que−f admet pour limite +∞
quand x tend versa. On note lim
x→af(x) =−∞
1
3.2 Opérations sur les limites
3.2.1 Tableau récapitulatif :
Lorsque l’on calcule une limite, il convient d’étudier la forme de l’expression def : produit, sommme, quotient.
f l6= 0 l l6= 0 ±∞ +∞ ±∞ 0
g l06= 0 0 ±∞ 0 +∞ l06= 0 ±∞
f −g l−l0 l ∓∞ ±∞ ind ±∞ ∓∞
f ×g l×l0 0 ∞∗ ind +∞ ∞∗ ind
f g
l
l0 ∞∗ 0 ∞∗ Ind ∞∗ 0
∗: +ou−appliquer la règle des signes.
3.2.2 Comparaison
• Fonctions puissances :
x→+∞lim (x)α= 0siα <0
x→+∞lim (x)α= +∞0siα >0
• Fonctions quotients de polynômes (fractions rationnelles) :
La limite en±∞d’une fraction rationelle est égale à la limite en±∞du quotient du monône de plus haut degré du numérateur par le monône de plus haut degré du dénominateur
• Fonction exponentielle : pour toutα∈Ron a lim
x→+∞((x)αex) = +∞
pour toutα∈Ron a lim
x→+∞ (x)αe−x
= 0
• Fonction logarithme : pour toutα >0on a lim
x→0(x)αln(x) = 0 pour toutα >0on a lim
x→+∞
ln(x) (x)α = 0
3.3 Asymptotes
3.3.1 Asymptotes verticales
Définition 4 Si une fonctionf admet une limite infinie ena,a∈R(ou ena+, ou ena−) la droite d’équation x=aest une asymptote verticale à la courbe représentative def.
Exemple : Soitf :x7−→ 1
x−2 définie sur]2; +∞[. On a lim
x→2+f(x) = +∞donc la droite d’équationx= 2 est asymptote à la courbe représentative def.
3.3.2 Asymptotes "Obliques"
Définition 5 Une droite d’équationy=ax+best asymptote à la représentation graphique d’une fonctionf si
x→+∞lim (f(x)−ax−b) = 0 ou lim
x→−∞(f(x)−ax−b) = 0
2
Exemple :Soitf :x7−→x−2 + 1
x+ 1 définie surR− {−1}.
La droite d’équationy=x−2est asymptote àCf car lim
x→∞(f(x)−x+ 2) = lim
x→∞
1 x+ 1 = 0.
La droite d’équationx= 1est un asymptote verticale de Cf car
x→−1lim−
f(x) =−∞et lim
x→−1+f(x) = +∞
1
1
3
