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Continuit ´e de fonctions
C H A P I T R E
La fonction de Thomae est une fonction d´efinie par le math´ematicien allemend Carl Thomae en 1875, il s’agit d’une fonction d´efinie surR, conti- nue en tout point d’une partie denseR\Qmais ´egalement discontinue sur une autre Q.
Continuit´ e d’une fonction
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1 1 Notion de continuit´e
La notion de continuit´e d’une fonctionfa pour objet de traduire math´ematiquement le fait que sa courbe repr´esentative peut se tracer sanstrou, sanslever le crayon.
Dire que f est continue en un r´eel ade l’intervalle ouvert I signifie quef admet une limite enaet que
x→alimf(x) =f(a).
Une fonction est dite continue sur un intervalle ouvertIsi elle continue en touta deI.
D´efinition 1
On admet les r´esultats suivants : admise
• Les fonctions polynˆomes sont contiunes surRet la fonctionx7→√
xest continue sur [0; +∞[.
• Une fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles o`u elle est d´efinie.
• Siuetvsont continues surI, alorsu+v,u×vetun(nentier naturel non nul) sont continues surI. La fonction u
v est continue sur les intervalles o`u elle est d´efinie.
Propri´et´e 1
1 2 Quelques exemples
1. Soitg la fonction d´efinie surRparg :x7→
( sinx
x six6= 0 1 six= 0 On peut conjecturer que la fonction f est continue en 0.
y
x
Pour la d´emonstration on admet les in´egalit´es suivantes : pour toutxde [−π; 0] on a 06sin(x)−x6x3
6 et pour toutxde [0;π] on a −x3
6 6sin(x)−x60.
3 Chapitre 3. Continuit´e de fonctions A l’aide du th´` eor`eme des gendarmes on d´emontre que
lim
x→0−
sinx x = lim
x→0+
sinx x = lim
x→0
sinx
x =g(0) = 1, la fonction est donc continue en 0.
2. Tarif postal
Le tarif, exprim´e en euros, pd’envoi du courrier en France M´etropolitaine est fonction du poids, exprim´e en gramme , est le suivant :
p(x) =
0,57 six620 0,95 si 20< x650 1,40 si 50< x6100 2,30 si 100< x6250 3,10 si 250< x6500
On repr´esente graphiquement cette fonction est on constate qu’elle n’est pas continue en 20, 50, 100 et 250.
1 3 Lien entre d´erivabilit´e et continuit´e
admis
Si une fonctionf est d´erivable sur l’intervalleI, alorsf est continue enI.
Propri´et´e 2
Remarque.
La r´eciproque est fausse, une fonction continue en un r´eela deI n’est pas forc´ement d´erivable ena. Par exemple les fonctions valeur absolue et racine carr´ee sont continues en 0 mais non d´erivables en 0.
Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires
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dit des valeurs interm´ediaires
Soitf une fonction continue sur un intervalleI, aet bdeux r´eels deI. Pour tout r´eelk conmpris entref(a) et f(b), il existe au moins un r´eelc compris entreaet btel que f(c) =k.
Th´eor`eme 1
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Autrement dit l’´equationf(x) =kadmet au moins une solution.
Remarque.Ce th´eor`eme est un th´eor`eme d’existence il affirme l’existence d’une so- lution, mais il ne donne pas de solution. Des m´ethodes num´eriques et algorithmique permettront de donner des valeurs approch´ees des solutions.
dit de la bijection
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b].
Pour tout r´eel kconmpris entref(a) etf(b), il existe une unique solution αdans l’intervalle [a;b] `a l’´equationf(x) =k.
Th´eor`eme 2
Remarque.On convient que les fl`eches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuit´e et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle consid´er´e.
Exemple. Soit f une fonction d´efinie sur [−3; 5] dont les variations sond donn´ees ci-dessous, on s’int´eresse aux nombres de solutions de l’´equationf(x) = 0 :
x
f
− 3 4
0
− 2
5 5
D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires l’´equation f(x) = 0 admet deux solu- tionsαet β avecα∈[−3; 0] et β∈[0; 5]
