2 Bornes sup´ erieure et inf´ erieure d’un sous-ensemble de R

(1)

Master 1 Enseignement Math´ematiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

ANALYSE 2

Fiche de Mathématiques 2- Suites de réels, fonctions numériques.

1 Propri´ et´ es de R li´ ees ` a la relation d’ordre

Théorème 1.1 Pour qu’une suite(xn)n de nombres réels ait une limite, il faut et il suffit que cette suite soit de Cauchy ; cette limitexest unique. Et si on axn≥0pour tout n∈N(ou même seulement pournassez grand), on ax≥0.

1.1 Ensembles adjacents

D´efinition 1.1 Nous dirons que deux sous-ensemblesA, B deRsont adjacents si 1. pour touta∈Aet toutb∈B, on aa≤b,

2. quel que soitεr´eel positif, il existea∈A etb∈B tels queb−a < ε.

Théorème 1.2 Si A, B sont deux ensembles adjacents dans R, il existe un nombre réelc et un seul, satisfaisant

`

aa≤c≤b pour touta∈A et toutb∈B.

1.2 Intervalles emboˆıt´ es. Axiome de Cantor

Proposition 1.1 SoitIn= [an, bn]une suite décroissante d’intervalles deR(c’est-à-dire telle queIn+1⊂In pour toutn∈N) dont la longueur bn−an tend vers zéro. Alors ces intervalles ont un seul point commun c qui est la limite commune des suites(a_n)_n et(b_n)_n.

On obtient un énoncé équivalent à la proposition précédente en considérant les suites (a_n)_n et (b_n)_n.

Proposition 1.2 Soit(a_n)_n une suite croissante et(b_n)_nune suite décroissante de nombres réels, vérifianta_n ≤b_n pour toutn∈Net telles que la suite (b_n−a_n)_n tende vers zéro. Alors ces suites (dites adjacentes) ont une limite commune c.

Exemple 1.1 La suite (an)n des valeurs décimales approchées par défaut d’ordrend’un nombre réelxet la suite associéebn =an+ 10⁻ⁿ (valeurs décimales approchées par excès) sont des suites adjacentes qui convergent versx.

Exercice 1 Soit x un r´eel dans [0,1]. Montrer, sans utiliser la fonction ln, que les suites u = (un)_n∈N et v= (vn)n∈Nd´efinies par :

∀n≥1,un= 1 + x

n n

, vn= 1 +x

n n+1

sont convergentes.

Correction:

• Pour x= 0, ces suites stationnent sur 1.

• On peut d´emontrer queuest croissante pourx >0 (et major´ee pourx∈]0,2[). Pourn≥1, on a : un+1=

1 + x

n+ 1 n+1

= 1 +x

n

ⁿ⁺¹1 + _n+1^x 1 +_n^x

ⁿ⁺¹

= 1 + x

n ⁿ⁺¹

n²+n(1 +x) n²+n(1 +x) +x

ⁿ⁺¹

= 1 + x

n n+1

1− x

n²+n(1 +x) +x ⁿ⁺¹

avec x

n²+n(1 +x) +x <1 pour tout réel x >0. On peut donc utiliser l’inégalité de Bernoulli pour écrire que :

1− x

n²+n(1 +x) +x n+1

>1− (n+ 1)x

n²+n(1 +x) +x= 1− x

n+x= n

n+x= 1 1 +_n^x (on a n²+n(1 +x) +x= (n+ 1)(n+x)) et doncu_n+1 >

1 + x n

ⁿ

=u_n, ce qui signifie que, pour x >0, (u_n)_n≥1 est croissante.

(2)

• Pour n≥1 on a : v_n =

1 + x n

ⁿ⁺¹

=

1 + x n+ 1

n+1 1 +_n^x 1 + _n+1^x

!ⁿ⁺¹

=

1 + x n+ 1

n+1n²+n(1 +x) +x n²+n(1 +x)

ⁿ⁺¹

=

1 + x n+ 1

ⁿ⁺¹

1 + x

n²+n(1 +x) ⁿ⁺¹

et en utilisant l’inégalité de Bernoulli (ou plus simplement la formule du binôme de Newton) pourx >0, on obtient :

1 + x

n²+n(1 +x) n+1

>1 + (n+ 1)x

n²+n(1 +x) >1 + x n+ 1

(c’est équivalent à (n+1)²x > x(n²+n(1+x)) encore équivalent à (n+1)²> n²+n(1+x) ou àn(1−x)+1>0 qui est vérifié pourx≤1) et donc

vn >

1 + x

n+ 1 ⁿ⁺²

=vn+1, ce qui signifie que (vn)_n≥1 est d´ecroissante pourx∈]0,1].

• Enfin, pourn≥1, on a :v_n−u_n=u_nx

n ≥0 et donc comme u_n ≤v_n ≤v₁ (v est d´ecroissante), cela donne 0≤vn−un≤ xv₁

n et lim

n→+∞(vn−un) = 0.

Ces deux suites sont donc adjacentes et en cons´equence convergentes.

Exercice 2 Montrer que les suitesu= (un)_n∈Netv= (vn)_n∈N d´efinies par : u_n=

n

X

k=0

1

k!,v_n=u_n+ 1 n!

convergent vers la mˆeme limite irrationnellee.

Correction:

Il est clair queuest croissante et pourn≥1, on a : v_n+1−v_n= 1

(n+ 1)!+ 1

(n+ 1)! − 1

n! =− n−1 (n+ 1)! ≤0 donc (vn)n≥1 est d´ecroissante. De plus, avec lim

n→+∞(vn−un) = lim

n→+∞

1 n!

= 0, on déduit que ces suites sont adjacentes. Elles convergent donc vers la même limite. On sait de plus que la limite ede uest irrationnelle. Les encadrementsun ≤e≤vm nous permettent de donner des valeurs approchées de epar défaut et par excès. Par exemple, pour n = m = 10, on obtient : u₁₀ ∼ 2,7183 ≤ e ≤ v₁₀ ∼ 2,7183 avec une majoration de l’erreur d’approximation donnée par :

0≤e−u₁₀≤v₁₀−u₁₀= 1

10! ∼2,755.10⁻⁷. On peut aussi utiliser la suitev= (vn)_n≥1 d´efinie parvn =un+ 1

n.n! (les suites uet v sont encore adjacentes) et on a en fait :

0≤e−u₁₀≤v₁₀−u₁₀= 1

10.10! ∼2,755.10⁻⁸. Exercice 3 Soient 0< a < bet (un)_n∈_N, (vn)_n∈_Nd´efinies par :

u0 = a

v0 = b ,∀n∈N,







un+1 = 2

1 u_n+_v¹

n

(moyenne harmonique) vn+1 = un+vn

2 (moyenne arithm´etique) Montrer que ces suites sont adjacentes de limite√

ab (moyenne g´eom´etrique). Pourb= 1 on a des approximations de√

a.

Correction:

On v´erifie facilement par r´ecurrence queun >0 etvn>0 pour toutn∈N. Pourn∈N, on a :vn+1−vn= u_n−v_n avecu0−v0=a−b <0. Or, pourn≥1, on a 2

u_n−v_n= 2u_n−1v_n−1 un−1+vn−1

−u_n−1+v_n−1

2 =−(u_n−1−v_n−1)² 2(un−1+vn−1) ≤0.

(3)

Il en r´esulte que (vn)_n∈_Nest d´ecroissante. Avecun+1−un = 2unvn

u_n+v_n −un =un(vn−un)

u_n+v_n , on d´eduit que (un)_n∈_N est croissante. Enfin avecu_n >0 on a :

0≤v_n+1−u_n+1= (u_n−v_n)²

2(un+vn) ≤v_n−u_n 2 et par r´ecurrence :

0≤vn−un ≤b−a

2ⁿ →

n→+∞0.

Les suites (un)_n∈_N et (vn)_n∈_N sont donc adjacentes et en cons´equence convergent vers une mˆeme limite λ ≥0.

D’autre part, avecun+1vn+1=unvn, on d´eduit queunvn =u0v0 pour toutnet λ²=u0v0. Donc, :

n→+∞lim un = lim

n→+∞vn =√ u0v0=

√ ab.

Exercice 4 Soient 0< a < bet (u_n)_n∈_Net (v_n)_n∈_Nd´efinies par : u0 = a

v₀ = b ,∀n∈N,

( u_n+1 = √

u_nv_n (moyenne g´eom´etrique) v_n+1 = un+vn

2 (moyenne arithm´etique) .

Montrer que ces suites sont adjacentes de même limite. Cette limite est appelée moyenne arithmético-géométrique deaet deb.

Correction:

On vérifie facilement, par récurrence, queun >0 etvn >0 pour toutn∈N. On rappelle que pour tous réelsu, v positifs on a √

uv≤ u+v

2 (cons´equence de (√ v−√

u)²≥0). Avec l’inégalité précédente, on déduit queun≤vn

pour toutn∈N. Avecu≤√

uv ≤v et u≤ u+v

2 ≤v pour u >0 et v >0, on d´eduit que un ≤un+1 =√ unvn

etvn+1= un+vn

2 ≤vn pour toutn∈N. La suite (un)_n∈_N est donc croissante et (vn)_n∈_N est d´ecroissante . Enfin avec :

0≤v_n+1−u_n+1≤v_n+1−u_n=vn−un

2 ,

on d´eduit par r´ecurrence surn≥0 que 0≤v_n−u_n ≤b−a

2ⁿ et lim

n→+∞(v_n−u_n) = 0. Les suites (u_n)_n∈_Net (v_n)_n∈_N sont donc adjacentes et en cons´equence convergent vers une mˆeme limite` >0. On peut montrer que cette limite est`= π

2.E(a, b) oùE(a, b) est l’intégrale elliptique définie par : E(a, b) =

Z +∞

0

dt

p(t²+a²)(t²+b²).

2 Bornes sup´ erieure et inf´ erieure d’un sous-ensemble de R

Définition 2.1 SoitE un ensemble totalement ordonné. Une partieX deE est dite majorée (resp. minorée) s’il existe au moins un élément m deE tel que pour tout x∈X, on ait x≤m (resp.x≥m) et l’ensemble X est dit borné s’il est à la fois majoré et minoré

Définition 2.2 SoitX une partie majorée de l’ensemble totalement ordonné E. Si l’ensemble des majorants de X (non vide par hypothèse) admet un plus petit élément M (nécessairement unique), on dit que M est la borne supérieure de X et on écrit M = sup(X) ou M = sup{x/x∈ X}. De même, la borne inférieure m d’un sous- ensemble minoré X de E est le plus grand minorant de X (lorsqu’il existe) et on écrit m = inf(X) ou m = inf{x/x∈X}.

Rappelons que toute partie finie non vide deE, admet pour borne sup´erieure (resp. inf´erieure) le plus grand (resp.

le plus petit) de ses ´el´ements.

Théorème 2.1 (Théorème de la borne supérieure)

Toute partie non vide et majorée deRadmet une borne supérieure ; toute partie non vide et minorée deR admet une borne inférieure.

Théorème 2.2 Caractérisation des bornes supérieure et inférieure

SoitX une partie deR. Pour que le nombre r´eelM soit la borne sup´erieure deX, il faut et il suffit que

(4)

1. toutx∈X v´erifiex≤M

2. pour toutε >0, il existex∈X v´erifiantx > M−ε.

Pour que le nombre réelmsoit la borne inférieure deX (X ⊂R), il faut et il suffit que 3. toutx∈X vérifiex≥m

4. pour toutε >0, il existex∈X v´erifiantx < m+ε.

Définition 2.3 Une partieX deRest bornée s’il existe un nombrek vérifiant|x| ≤k pour toutx∈X.

Propriété 2.1 Toute partie bornée non vide X deRadmet une borne supérieureM et une borne inférieuremet l’intervalle [m, M]est le plus petit intervalle fermé contenantX.

On notera que les bornes (supérieure ou inférieure) d’un ensemble X n’appartiennent pas nécessairement à X (cependant, tout ensemble fini contient ses bornes).

Théorème 2.3 Si X admet une borne inférieure (resp. supérieure), cette dernière est unique.

Exemple 2.1 SiX = [0,1[, alors 0 est le plus petit élément (et donc la borne inférieure) et 1 est la borne supérieure deX, mais cette borne supérieure n’est pas dans X, il n’y a donc pas de plus grand élément.

Exemple 2.2 X = [0,+∞[ n’a ni plus grand élément ni borne supérieure.

Dans le cas où X est une partie finie deR, ses éléments peuvent être rangés dans l’ordre croissant et l’existence des bornes inférieure et supérieure est assurée sans référence au théorème précédent, ces bornes étant des éléments de X. Dans ce cas de figure, on dit que inf(X) (resp. sup(X)) est le plus petit (resp. plus grand) élément de X, on le note aussi min(X) (resp. max(X)). On rappelle que la valeur absolue d’un réel x est définie par :

|x| = max{−x, x} =

x si x≥0

−x si x <0 et la majoration |x| ≤ α est équivalente à −α ≤ x ≤ α ou encore à x∈[−α, α]. Plus généralement, les équivalences suivantes sont bien utiles :

|x−x0| ≤α⇔ −α≤x−x0≤α⇔x∈[x0−α, x0+α]

ou encore :

|x−x0|< α⇔ −α < x−x0< x⇔x∈]x0−α, x0+α[.

Une conséquence importante du théorème de la borne supérieure est la propriété d’Archimède qui suit.

Théorème 2.4 L’ensemble Rdes nombres réels est archimédien, c’est-à-dire que :

∀a∈R^?+,∀b∈R+,∃n∈N^?, na > b.

De ce théorème on déduit le résultat important suivant sur l’existence de la partie entière d’un réel.

Théorème 2.5 Pour tout réelxil existe un unique entier relatifntel que : n≤x < n+ 1.

Exercice 5 Montrer que pour tous r´eelsaetb, on a :







max(a, b) = a+b

2 +|b−a|

2 min(a, b) = a+b

2 −|b−a|

2 .

On peut retenir ces égalités en remarquant que min(a, b) est la borne inférieure de l’intervalle d’extrémitésa, b, et max(a, b) la borne supérieure et a+b

2 le milieu de cet intervalle.

Correction:

Il suffit de v´erifier les relations lorsquea > betb > a.

Exercice 6 Montrer que le sous-ensembleX ={x∈Q/x²<2} deQn’a pas de borne sup´erieure dansQ. Correction:

• On montre tout d’abord queX ne possède pas de plus grand élément. Raisonnons par l’absurde et supposons queXpossède un plus grand élémenty. Par définition,y²<2. Il existe donc un entierntel que 2−y²>10⁻ⁿ. On posez=y+ 10⁻ⁿ⁻¹doncz∈Q. Commey <2,

(5)

z²=y²+ 2y10⁻ⁿ⁻¹+ 10⁻²ⁿ⁻²< y²+ 2y10⁻ⁿ⁻¹+ 10⁻ⁿ⁻¹< y²+ 5×10⁻ⁿ⁻¹< y²+ 10⁻ⁿ <2.

• On montre ensuite queX ne possède pas de borne supérieure. On procède toujours par l’absurde. Supposons queX possède une borne supérieurey∈Q. CommeX ne possède pas de plus grand élément,y²>2. Il existe un entierntel quey²−2>10⁻ⁿ. On posez=y−10⁻ⁿ⁻¹. On remarque quey <2. On a alors

z²=y²−2y.10⁻ⁿ⁻¹+ 10⁻²ⁿ⁻²> y²−2y.10⁻ⁿ⁻¹> y²−4.10⁻ⁿ⁻¹> y²−10⁻ⁿ >2.

Donc z est un majorant de X et z < y, ce qui est une contradiction. On conclut que X n’a pas de borne sup´erieure.

Exercice 7 SiA etB sont deux parties non vides deR, on d´efinit l’ensemble : A+B={x+y/x∈Aet y∈B}.

Montrer que siAet B sont major´es, il en est alors de mˆeme deA+B et : sup(A+B) = sup(A) + sup(B).

Correction:

NotonsM = sup(A) etM⁰= sup(B). Pour toutz=x+yavec (x, y)∈A×B, on a : z=x+y≤M+M⁰.

L’ensembleA+B est donc non vide majoré et en conséquence admet une borne supérieure M⁰⁰≤M+M⁰. Pour tout réel ε >0, on peut trouver x∈A et y ∈ B tels queM − ε

2 < x≤M et M⁰− ε

2 < y ≤M⁰, ce qui donne z=x+y∈A+B tel que :

M+M⁰−ε < z≤M +M⁰. Le r´eelM +M⁰ est donc la borne sup´erieure deA+B.

Exercice 8 SoientAet B deux parties non vides et born´ees deR. Montrer que :







sup(A∪B) = max(sup(A),sup(B)) inf(A∪B) = min(inf(A),inf(B))

A⊂B ⇒ inf(B)≤inf(A) et sup(A)≤sup(B) . Correction:

• Supposons queA⊂B. Pour toutx∈A, on ax∈B et inf(B)≤x≤sup(B), ce qui entraˆıne, par définition des bornes inférieure et supérieure, inf(B)≤inf(A) et sup(A)≤sup(B).

• Supposons que sup(A) ≤ sup(B). Si x ∈ A∪B, on a soit x∈ A et x≤ sup(A) ≤sup(B), soit x ∈B et x≤sup(B), il en r´esulte que sup(A∪B)≤sup(B). Pourε >0 donn´e, on peut trouverx∈B ⊂A∪B tel que sup(B)−ε < x≤sup(B). On a donc sup(A∪B) = sup(B).

• On montre de mani`ere analogue que inf(A∪B) = min(inf(A),inf(B)).

Exercice 9 Déterminer, si elles existent, les bornes inférieure et supérieure des ensembles suivants : A = {2⁻ⁿ/n∈N}

B = [0,1[∩Q

C =

(−1)ⁿ+1

n/n∈N^? . Correction:

• On a 2⁰= 1∈A et 2⁻ⁿ≤1 pour toutn∈N. Il en résulte que 1 est le plus grand élément (et donc la borne supérieure) de A. Tous les éléments deA étant strictement positifs, 0 est un minorant de X. Comme pour tout réelε >0, on peut trouver un entier naturel ntel que 0<2⁻ⁿ < ε(c’est équivalent à n >log₂

1 ε

), on déduit que 0 est la borne inférieure deX mais pas le plus petit élément.

• L’ensembleB étant contenu dans [0,1] est borné. Comme 0∈B et minore B, on a 0 = min(B). L’ensemble B est majoré par 1 et pour tout réelε >0, on peut trouver un entiern≥1 tel que 1−ε <1− 1

n <1 avec 1− 1

n ∈B, il en résulte que 1 = sup(B) etB n’a pas de plus grand élément car 1∈/ B.

• En s´eparant les entiers pairs des entiers impairs, on aC=C1∪C2 avec : C1=

1 + 1

2p/p∈N^?

,C2=

−1 + 1

2p+ 1/p∈N

et comme pour l’ensemble A, on v´erifie que inf(C₁) = 1 ∈/ C₁, sup(C₁) = 3

2 ∈ C₁, inf(C₂) = −1 ∈/ C₂, sup(C₂) = 0∈C₁ soit :

(6)

sup(C) = max(sup(C1),sup(C2)) = 3

2 ∈Cet inf(C) = min(inf(C1),inf(C2)) =−1∈/C.

Exercice 10 Soit X une partie non vide et majorée de R. Montrer que si M = sup(X) ∈/ X, il existe alors pour tout réel ε >0 une infinité d’éléments de X dans l’intervalle ]M −ε, M[.

Correction:

On se donne ε >0. Par définition de la borne supérieure M, il existe x0 ∈ X tel queM −ε < x0 < M (on a x0< M du fait que M /∈X). Toujours par définition deM, on peut trouverx1∈X tel que x0< x1< M. Et par récurrence on construit une suite strictement croissante (xn)_n∈Ndans l’intervalle ]M−ε, M[. En effet,x0etx1ont

été trouvés et supposant trouvésx0 < x1 < . . . < xn dans ]M−ε, M[∩X, on peut trouver xn+1 dans X tel que xn < xn+1< M.

3 Suites monotones

Proposition 3.1 Soient (xn)n et (yn)n deux suites convergentes de nombres réels, vérifiant pour n assez grand, l’inégalitéxn≤yn. Alors on a :

n→+∞lim xn≤ lim

n→+∞yn.

On insiste sur le fait que l’inégalité stricte xn < yn n’entraˆıne pas l’inégalité stricte lim

n→+∞xn < lim

n→+∞yn. Seules les inégalités larges se conservent par passage à la limite.

Remarque 3.1 La convergence et la limite d’une suite ne sont pas alt´er´ees lorsqu’on modifie de fa¸con quelconque un nombre fini de termes de la suite.

Lemme 3.1 Soient(xn)n et(yn)n deux suites de nombres réels convergeant vers le même nombre réelz. Si(zn)n

est une suite de nombres réels vérifiant, pournassez grand, l’inégalitéxn ≤zn ≤yn alors la suite (zn)n converge versz.

Théorème 3.1 DansR, toute suite croissante et majorée a une limite finie. Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞.

Dans R, toute suite décroissante et minorée a une limite finie. Toute suite décroissante et non minorée tend vers

−∞.

Exercice 11 Montrer que si (un)_n∈Nest une suite croissante, il en est de même de la suite (vn)_n∈Ndes moyennes de Césaro définie parv_n= 1

n+ 1

n

X

k=0

u_k. Correction:

On avn+1=n+ 1

n+ 2vn+ un+1

n+ 2 et donc : v_n+1−v_n= 1

n+ 2(u_n+1−v_n) = 1

n+ 2 u_n+1− 1 n+ 1

n

X

k=0

u_k

!

= 1

(n+ 2)(n+ 1) (n+ 1)u_n+1−

n

X

k=0

u_k

!

= 1

(n+ 2)(n+ 1)

n

X

k=0

(u_n+1−u_k)

!

≥0.

Exercice 12 Etudier, sans utiliser la fonction ln, la suite´ u = (√ⁿ

λ)_n≥1 o`u λ est un nombre r´eel strictement positif.

Correction: Avec √ⁿ

1 = 1 et ⁿ r1

λ = 1

√n

λ, il suffit de montrer le r´esultat pour λ > 1. Dans ce cas, la suite (√ⁿ

λ)_n∈N^? est strictement d´ecroissante (ⁿ⁺¹√

λ < √ⁿ

λ´equivaut `a λ < λⁿ⁺¹ⁿ =λ√ⁿ

λencore ´equivalent `a √ⁿ

λ > 1) et minor´ee par 1, elle converge donc vers un r´eel l ≥1. Si l >1, pourγ ∈]1, l[ il existe un entier n₀ tel que √ⁿ

λ > γ pour tout n≥n₀, ce qui entraˆıne λ > γⁿ pour toutn≥n₀ qui est incompatible avec lim

n→+∞γⁿ = +∞. On a doncl= 1.

Exercice 13 Montrer que la suiteu= (u_n)_n∈_N d´efinie par la relation de r´ecurrence,u₀= 0 etu_n+1 =√ u_n+ 1 est convergente vers le nombre d’orl=1 +√

5

2 .

Correction:

On v´erifie facilement par r´ecurrence que 1≤u_n ≤2 pour toutn≥1. En effet, pour n = 1, on a 1 =u₁ <2 et

(7)

en supposant acquis le r´esultat au rang n ≥1, on a 1 <√

2 ≤ u_n+1 ≤ √

3 < 2. Et avec u_n+1 un

=

√1 +u_n un

> 1 (toujours démontré par récurrence), on déduit que uest croissante majorée, donc convergente versl ∈[1,2]. De u_n+1=√

u_n+ 1, on d´eduit quel=√

l+ 1, soitl²−l−1 = 0 avec 1≤l≤2, ce qui équivaut àl= 1 +√ 5 2 . Exercice 14 Soitxun réel dans ]0,2[. Montrer, sans utiliser la fonction ln que la suite (u_n)_n≥1 définie par :

∀n≥1,un= 1 + x

n ⁿ

est convergente.

Correction: Pourn≥1, on a :

un+1=

1 + x n+ 1

n+1

= 1 + x

n

ⁿ⁺¹1 +_n+1^x 1 + ^x_n

ⁿ⁺¹

= 1 + x

n

ⁿ⁺¹ n²+n(1 +x) n²+n(1 +x) +x

ⁿ⁺¹

= 1 +x

n n+1

1− x

n²+n(1 +x) +x ⁿ⁺¹

avec x

n²+n(1 +x) +x<1 pour tout réelx >0. On peut donc utiliser l’inégalité de Bernoulli pour écrire que :

1− x

n²+n(1 +x) +x n+1

>1− (n+ 1)x

n²+n(1 +x) +x= 1− x

n+x= n

n+x = 1 1 + ^x_n (on an²+n(1 +x) +x= (n+ 1)(n+x)) et doncu_n+1>

1 + x n

ⁿ

=u_n, ce qui signifie que, pourx >0, (u_n)_n≥1 est croissante. D’autre part, en utilisant la formule du binˆome, on a pourn≥2 :

un=

n

X

k=0

C_n^kx^k

n^k = 1 +x+

n

X

k=2

n(n−1). . .(n−k+ 1) k!

x^k n^k

avec

k! =

k

Y

j=2

j≥2^k−1 et n(n−1). . .(n−k+ 1)

n^k =

k−1

Y

j=0

n−j n ≤1 pour toutkcompris entre 2 etn, ce qui donne pourx∈]0,2[ :

un≤1 +x+

n

X

k=2

x^k

2^k−1 = 1 +x+x² 2

n−2

X

k=0

x^k−2

2^k−2 ≤1 +x+x² 2

1−^x₂n−1ⁿ⁻¹

1−^x₂ ≤1 +x+ x² 2−x.

La suite (un)_n≥1est donc majorée et en conséquence convergente puisque croissante. Sa limite est exp(x) et pour x= 1, la majoration précédente donnee= exp(1)≤3.

Exercice 15

1. Montrer que la suiteu= (un)_n∈N d´efinie par un =

n

X

k=1

1

k −ln(n) pour tout n≥1 est d´ecroissante minor´ee.

Sa limite est la constante d’Euler, not´ee γ.

2. Montrer que lim

n→+∞

2n

X

k=n+1

1

k = ln(2).

Correction:

1. Pour n≥1, on a :

un+1−un= 1 n+ 1−ln

n+ 1 n

= Z n+1

n

1 n+ 1 −1

t

dt= Z n+1

n

t−(n+ 1) (n+ 1)t dt <0, c’est-`a-dire que uest d´ecroissante. La fonctiont7→ 1

t est d´ecroissante surR^?+, donc :

∀k≥1, Z k+1

k

dt t ≤

Z k+1 k

dt k = 1

k, et pour toutn≥2, on a :

(8)

n

X

k=1

1 k ≥

n

X

k=1

Z k+1 k

dt t =

Z n+1 1

dt

t = ln(n+ 1), soit un≥ln(n+ 1)−ln(n) = ln

1 + 1

n

>0.

2. Avec les notations pr´ec´edentes, on a pour toutn≥1,

2n

X

k=n+1

1 k =

2n

X

k=1

1 k −

n

X

k=1

1

k =u2n+ ln(2n)−(un+ ln(n)) =u2n−un+ ln(2) et la convergence de la suiteupermet alors de conclure.

Exercice 16 Soit xun nombre irrationnel. Montrer que si p_n

qn

n∈N

est une suite de nombres rationnels qui converge versxo`u pour toutn∈N,p_n est un entier relatif etq_n un entier naturel non nul, alors lim

n→+∞q_n = +∞

et lim

n→+∞pn= +∞, si x >0, lim

n→+∞pn=−∞, six <0.

Correction:

Dire que la suite (qn)_n∈_Nne converge pas vers l’infini signifie qu’il existe un réelα >0 tel que pour tout entiern∈N, il existe un entierkn> ntel que 0< qk_n≤α. On peut alors extraire de (qn)_n∈_Nune sous-suite (q_ϕ(n))_n∈_Nà valeurs dans [0, α] comme suit : pourn= 0, il existeϕ(0)>0 tel que 0< q_ϕ(0)≤αet en supposant construits les entiers ϕ(0)< ϕ(1)< . . . < ϕ(n) tels que 0< q_ϕ(k)≤αpour toutkcompris entre 0 etn, on peut trouverϕ(n+ 1)> ϕ(n) tel que 0< q_ϕ(n+1)≤α. De cette suite bornée on peut alors extraire une sous-suite (q_φ(n))_n∈N qui converge vers un entier q≥1, mais alors avec p_φ(n) = p_φ(n)

q_φ(n)q_φ(n), on déduit que la suite (p_φ(n))_n∈_N est également convergente et sa limite p =xq est également un entier, ce qui est en contradiction avec x irrationnel. Avecpn = qn

pn

qn

et

n→+∞lim pn

q_n =x6= 0, on d´eduit que lim

n→+∞pn =±∞, le signe ´etant celui de x.

4 Plus grande et plus petite limite

Théorème 4.1 A chaque suite` (xn)n de nombres réels on peut associer un élément unique L de R satisfaisant aux conditions suivantes :

1. Quel que soitλ < L, l’ensemble Eλ desn∈N qui v´erifient xn> λ est infini.

2. Quel que soitλ > L, l’ensemble Eλ desn∈N qui v´erifient xn> λ est fini.

Cet élément L est appelé la plus grande limite ou limite supérieure de la suite (xn)n. On le désigne par L =

n→∞lim sup(xn)oulim sup(xn).

On ´etablirait de mˆeme :

Théorème 4.2 A chaque suite` (xn)n de nombres réels on peut associer un élément unique`deRsatisfaisant aux conditions suivantes :

1. Quel que soitλ > `, l’ensemble Fλ desn∈Nqui v´erifient xn < λest infini.

2. Quel que soitλ < `, l’ensemble F_λ desn∈Nqui v´erifient x_n < λest fini.

Cet élémentèst appelé la plus petite limite ou limite inférieure de la suite(x_n)_n. On le désigne par`= lim

n→∞inf(x_n) oulim inf(x_n).

On a ´evidemment lim inf(−x_n) = lim sup(x_n).

Proposition 4.1 Soit(x_n)_n une suite de nombres réels et soit L= lim sup(x_n),`= lim inf(x_n). Alors 1. On aL= +∞(resp. `=−∞) si (et seulement si) la suite (x_n)_n est non majorée (resp. non minorée).

2. On aL=`=−∞si (et seulement si) la suite(x_n)_n tend vers −∞.

3. On aL=`= +∞ si (et seulement si) la suite(x_n)_n tend vers +∞.

Dans tous les cas on aL≥`.

Proposition 4.2 Pour qu’une suite (x_n)_n de nombres réels soit convergente dansR, il faut et il suffit que sa plus grande limite Lsoit égale à sa plus petite limite`, et on a alors L=`= lim

n→∞x_n. Proposition 4.3 Si la suite(x_n)_n contient une sous-suite convergente (y_n)_n, on a :

(9)

n→∞lim inf(xn)≤ lim

n→∞yn≤ lim

n→∞sup(xn).

Proposition 4.4 On a les in´egalit´es suivantes : 1. lim sup(xn+yn)≤lim sup(xn) + lim sup(yn), 2. lim inf(x_n) + lim sup(y_n)≤lim sup(x_n+y_n), et en supposantx_n≥0,y_n≥0,

3. lim sup(x_ny_n)≤lim sup(x_n).lim sup(y_n), 4. lim inf(x_n).lim sup(y_n)≤lim sup(x_ny_n).

Si la suite (x_n)_n converge vers x, on a lim inf(x_n) = lim sup(x_n) =xet les inégalités précédentes se transforment en égalités. On obtient ainsi :

Proposition 4.5 Si la suite(xn)n tend vers xdansR, on a, pour toute suite(yn)n, 1. lim sup(x_n+y_n) =x+ lim sup(y_n)

et en supposanty_n≥0 quel que soitn : 2. lim sup(x_ny_n) =xlim sup(y_n).

Exemple 4.1 Si (an)n et (bn)n sont deux suites de nombres positifs tels que lim

n→∞

√n

an=a, lim

n→∞

pn

bn=b, on a

n→∞lim suppⁿ

anbn =ab.

Exercice 17 Montrer que la suiteu= (un)n∈Nd´efinie parun=

n

X

k=0

1

k! est born´ee.

Correction:

Aveck!≥2^k−1pour tout entierk≥1, on d´eduit que pour toutn >1 on a : 0< un =

n

X

k=0

1

k! ≤1 + 1 + 1 2+ 1

2²+. . .+ 1

2ⁿ⁻¹ ≤1 + 1 1−¹₂ = 3.

Exercice 18 Montrer que la suiteu= (un)_n∈Nd´efinie parun=

n

X

k=1

1

k−ln(n) pour toutn≥1 est born´ee.

Correction: La fonctiont7→ 1

t ´etant d´ecroissante surR^?+, on a :

∀k≥1, 1 k+ 1 =

Z k+1 k

dt k+ 1 ≤

Z k+1 k

dt t ≤

Z k+1 k

dt t ≤

Z k+1 k

dt k = 1

k

et donc pourn≥2 on a :

∀k≥1,

n

X

k=1

1 k+ 1 ≤

n

X

k=1

Z k+1 k

dt t =

Z n+1 1

dt

t = ln(n+ 1)≤

n

X

k=1

1 k, soit :

u_n+ 1

n+ 1−1 + ln(n)≤ln(n+ 1)≤u_n+ ln(n) ou encore :

0<ln

1 + 1 n

≤u_n≤

1 + 1 n

− 1

n+ 1 + 1<1 + ln(2).

Exercice 19 Montrer que, pour tout r´eel α >1, la suite (u_n)_n∈_Nd´efinie par :

∀n≥1, u_n=

n

X

k=1

1 k^α

est born´ee.

Correction:

Il est clair queuest minor´ee par 0. La fonctiont7→ 1

t^α ´etant d´ecroissante surR^?+, on a :

(10)

∀k≥2, Z k

k−1

dt t^α ≥

Z k k−1

dt k^α = 1

k^α

et donc pour toutn≥2, on a : u_n= 1 +

n

X

k=2

1 k^α ≤1 +

n

X

k=2

Z k k−1

dt t^α = 1 +

Z n 1

dt

t^α = 1 + 1 α−1

1− 1

n^α−1

≤ α α−1. Exercice 20 On d´esigne par (u_n)_n≥1 et (v_n)_n≥1 les suites d´efinies par :

un= Z

√n

0

cos(t²)dt,vn = Z

√n

1

cos(t²)dt et on se propose de montrer que ces deux suites sont born´ees.

1. Montrer que pour tout r´eelα >1 et tout entiern≥1, on a : Z n

1

dx x^α ≤ 1

α−1. 2. Montrer que pour tout r´eelα >1 la suite (wn)_n≥1d´efinie par :

w_n= Z n

1

sinx x^α dx est born´ee.

3. Montrer que :

vn= 1 2

Z n 1

cosx

√x dx.

4. En utilisant une intégration par parties et le résultat de la question 2. pour une valeur particulière de α, montrer que la suite (v_n)_n≥1 est bornée.

5. En d´eduire que la suite (u_n)_n≥1 est born´ee.

Correction: 1. On a :

Z n 1

dx x^α = 1

α−1

1− 1 n^α−1

≤ 1 α−1. 2. On a :

|wn| ≤ Z n

1

|sin(x)|

x^α dx≤ Z n

1

dx x^α ≤ 1

α−1. 3. Le changement de variablex=t² donnedx= 2tdt= 2√

xdtet : vn=1

2 Z n

1

cos(x)

√x dx 4. Une int´egration par parties donne en posant :

( u=^√¹_x, u⁰=−¹₂_x^√¹_x v⁰= cos(x), v= sin(x) Ainsi,

2v_n =

sin(x)

√x ⁿ

1

+1 2

Z n 1

sin(x) x√

x dx= sin(n)

√n −sin(1) +1 2

Z n 1

sin(x) x√

x

avec

sin(n)|

√n

≤ 1

√n ≤1 et Z n

1

sin(x) x√

x dx

n≥1

bornée. Il en résulte que la suite (vn)_n≥1 est bornée.

5. R´esulte de un= Z 1

0

cos(t²)dt+vn.

Exercice 21 (Cet exercice nous fournit une démonstration relativement simple de la densité deQdansR.) Montrer que pour tout réel x, la suite (un)_n∈N^? définie par :

un= 1 n²

n

X

k=1

E(kx)

(11)

(oùE(.) désigne la partie entière) converge vers x 2. Correction:

Pour tout entierkcompris entre 1 etn, on a :

E(kx)≤kx < E(kx) + 1⇔0≤kx−E(kx)<1 et :

0≤

n

X

k=1

kx−

n

X

k=1

E(kx)< n⇔0≤ n(n+ 1)

2 x−

n

X

k=1

E(kx)< n

ce qui donne 0≤ n+ 1

2n x−un< 1

n et lim

n→+∞un= x 2.

Exercice 22 En utilisant la d´efinition, montrer que la suiteu= ((−1)ⁿ)n∈N est divergente.

Correction:

Si cette suite converge vers un réel`, la suite|u|= (|(−1)ⁿ|)n∈Nqui est constante égale à 1 va converger vers|`|et nécessairement`=±1. En écrivant que pourε= 1, il existe un entier n₀tel que :

∀n≥n₀, |(−1)ⁿ−`|<1.

et en prenantn≥n₀ tel que la parité de nimplique que (−1)ⁿ soit de signe contraire à celui de `, on aboutit à 2<1 qui est impossible. La suiteuest donc divergente.

Exercice 23 Soit (un)_n∈N une suite `a valeurs dans Z. Montrer que (un)_n∈N converge si, et seulement si, elle est stationnaire.

Correction:

Soit (un)_n∈N une suite `a valeurs dansZconvergente vers `∈R. Il existe un entiern0 tel que :

∀n≥n0 |un−un₀| ≤ |un−`|+|`−un₀|<1 2

ce qui implique que : ∀n≥ n0, un = un₀ puisque les un sont entiers. La suite (un)n∈N est donc stationnaire et

`∈Z.

La r´eciproque est ´evidente.

Exercice 24 Montrer que si lim

n→+∞(u_n) =`alors lim

n→+∞(u_n+1−u_n) = 0. La r´eciproque est-elle vraie ? Correction:

Si lim

n→+∞un=`, on peut alors trouver, pour tout r´eel ε >0, un entiern0tel que :

∀n > n0, |un+1−un| ≤ |un+1−`|+|`−un|< ε, ce qui signifie que lim

n→+∞(un+1−un) = 0. Plus g´en´eralement, on a lim

n→+∞(un+p−un) = 0 pour tout entierp≥1.

La r´eciproque est fausse comme le montre l’exemple de la suite u= (√

n)_n∈_N. Cette suite est divergente puisque non born´ee et pourn≥1 on a :

√n+ 1−√

n= 1

√n+ 1 +√

n →

n→+∞0.

On peut aussi considérer, plus généralement, la suiteu= (n^α)n∈Navecα∈]0,1[. Cette suite est divergente puisque non bornée et pourn≥1. On peut écrire à l’aide du théorème des accroissements finis :

(n+ 1)^α−n^α=αξ_n^α−1 avecξ_n compris entrenetn+ 1. Commeαξ_n^α−1= α

ξn^1−α

≤ α

n^1−α on a 0<(n+ 1)^α−n^α≤ α n^1−α →

n→+∞0.

Exercice 25 Soitu= (un)_n∈_N une suite r´eelle.

1. Montrer que s’il existe un r´eelλ∈[0,1[ tel que|u_n+1| ≤λ|u_n|`a partir d’un certain rangn₀alors lim

n→+∞u_n = 0.

2. Montrer que s’il existe un indicen0 tel que un₀ 6= 0 et s’il existe un r´eelλ > 1 tel que|un+1| ≥λ|un| pour tout n≥n0, alorsudiverge.

3. Montrer que siun6= 0 `a partir d’un certain rangn0 et lim

n→+∞

un+1

un

=λ∈[0,1[, alors lim

n→+∞un= 0.

4. Montrer que siu_n6= 0 `a partir d’un certain rangn₀ et lim

n→+∞

u_n+1 un

=λ >1, alors udiverge.

(12)

5. Trouver (u_n)_n∈_Ntelle que u_n6= 0 pour toutn∈N, lim

n→+∞

u_n+1 un

= 1 et lim

n→+∞u_n= +∞.

6. Trouver (un)_n∈_Ntelle que un6= 0 pour toutn∈N, lim

n→+∞

un+1

u_n = 1 et lim

n→+∞un= 0.

7. Trouver (un)_n∈Ntelle que un6= 0 pour toutn∈N, lim

n→+∞

un+1

u_n = 1 et lim

n→+∞un= 10.

Correction:

1. Siλ= 0 alorsuest stationnaire sur 0 `a partir du rangn0+ 1.

On suppose donc que λ ∈]0,1[. Montrons par r´ecurrence sur n ≥ n0 que |un| ≤ un₀λⁿ⁻ⁿ⁻⁰. C’est vrai pour n=n0. Supposons que pour une valeurn ≥n0 on ait|un| ≤un0λⁿ⁻ⁿ⁰, comme |un+1| ≤ λ|un|, on a

|u_n+1| ≤u_n₀λⁿ⁺¹⁻ⁿ⁰ et la récurrence est établie. Pourλ∈]0,1[ la suite géométrique de terme général u_n₀ λⁿ⁰λⁿ converge vers 0, et comme cette suite majore la suite positive (|u_n|)_n∈_Non peut affirmer que cette dernière converge aussi vers 0 et il en est de même de (u_n)_n∈_N.

2. Siu_n₀ 6= 0, on vérifie par récurrence queu_n6= 0 pourn≥n₀. En appliquant le résultat précédent à la suite 1

|un|

n≥n0

on d´eduit que lim

n→+∞

1

|un|

= 0, ce qui ´equivaut `a lim

n→+∞(|u_n|) = +∞etudiverge.

3. Si lim

n→+∞

1

|un|

=λ, on a :

∀ε >0,∃n0∈N,∀n∈N, n > n₀⇒λ−ε <

u_n+1 un

< λ+ε.

Dans le cas où λ∈[0,1[, on peut choisirεassez petit pour queρ=λ+εsoit strictement inférieur à 1 et on a alors |un+1| ≤ρ|un|pour toutn≥n0 avecρ∈]0,1[, ce qui implique lim

n→+∞un = 0.

4. Le résultat précédent appliqué à la suitevdéfinie parvn = 1

|u_n| pournassez grand, nous dit que lim

n→+∞vn = 0 donc lim

n→+∞|un|= +∞et (un)n∈N diverge.

5. On considère la suite de terme généralu_n=n+ 1.

6. Il suffit de prendreun= 1 n+ 1.

7. On considère la suite de terme généralun= 10 + 1 n+ 1. Exercice 26 Soitu= (un)_n∈_N une suite rélle ou complexe.

1. Montrer que s’il existe un r´eel λ∈[0,1[ tel que pⁿ

|un| ≤λ`a partir d’un certain rang n0alors lim

n→+∞un = 0.

2. Montrer que s’il existe un r´eelλ >1 tel que pⁿ

|un| ≥λ`a partir d’un certain rangn₀alorsudiverge.

3. Montrer que si lim

n→+∞

pn

|un|=λ∈[0,1[, alors lim

n→+∞un= 0.

4. Montrer que si lim

n→+∞

pn

|u_n|=λ >1 alorsudiverge.

5. Trouver (un)n∈Ntelle que lim

n→+∞

pn

|un|= 1 et lim

n→+∞un= +∞.

6. Trouver (un)_n∈_Ntelle que lim

n→+∞

pn

|un|= 1 et lim

n→+∞un= 0.

7. Trouver (un)n∈Ntelle que lim

n→+∞

pn

|un|= 1 et lim

n→+∞un= 10.

Correction:

1. R´esulte de 0≤ |un|λⁿ pourn≥n₀ avec lim

n→+∞λⁿ= 0 (λ∈[0,1[).

2. R´esulte de |u_n| ≥λⁿ pour n≥n₀avec lim

n→+∞λⁿ= +∞(λ >1).

3. Si lim

n→+∞

pn

|un|=λ, on a :

∀ >0,∃n0∈N,∀n∈N, n > n0⇒λ−ε < pⁿ

|un|< λ+ε.

Dans le cas où λ∈[0,1[, on peut choisirεassez petit pour queρ=λ+εsoit strictement inférieur à 1 et on a alors pⁿ

|un| ≤ρpour toutn≥n0 avecρ∈[0,1[, ce qui implique lim

n→+∞un= 0.

4. Le résultat précédent appliqué à la suitev définie parv_n= 1

|un| pourn assez grand (pourε >0 assez petit et n≥n0, on a pⁿ

|un|> λ−ε >0 etun 6= 0) nous dit que lim

n→+∞vn= 0 donc lim

n→+∞|un|= +∞et (un)n∈N

diverge.

(13)

5. On considère la suite de terme généralun=n.

6. Il suffit de prendreun= 1 n+ 1.

7. On consid`ere la suite d´efinie paru_n= 10 e

1 + 1

n n

pour n≥1.

5 Valeurs d’adh´ erence. Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass

Définition 5.1 La suite (x_n)_n converge vers x si, quel que soit ε > 0, on a x_n ∈]x−ε, x+ε[ pour presque toutevaleur de n, c’est-à-dire pour toutn∈N, excepté au plus pour un ensemble fini de valeurs.

En rempla¸cant les mots presque toute valeur par uneinfinité de valeurs, on obtient une condition plus faible, conduisant à une notion plus générale que celle de limite, celle de valeur d’adhérence.

Définition 5.2 On dit que la suite(xn)n admet le nombre réelxpour valeur d’adhérence si, quel que soit ε >0, il existe une infinité de valeurs den vérifiant l’inégalité|xn−x|< ε.

Exemple 5.1

1. La suite (x_n = (−1)ⁿ)_n admet +1 et −1 pour valeurs d’adhérence. Il en est de même de la suite (x_n = (−1)ⁿ+εn)n oùεn désigne une suite quelconque convergeant vers zéro.

2. Plus généralement, siα∈Q(soitα=p/q avecp, qpremiers entre eux) la suite (xn= sinnαπ)n admet pour valeurs d’adhérence lesqnombres sinkπ/q(k= 0,1, . . . , q−1). Siαest irrationnel, on démontre que la suite (sinnαπ)n admet pour valeurs d’adhérence tous les points de l’intervalle [−1,+1].

Lorsqu’on utilise ce langage, il faut bien prendre conscience que les termes de la suite (xn)n sont les couples (n, xn) et il faut ´eviter de confondre le terme (n, xn) avec le point xn.

Définition 5.3 On dit que la suite(x_n)_n admet+∞(resp.−∞) pour valeur d’adhérence si elle est non majorée (resp. non minorée).

Théorème 5.1 Pour qu’un élément x deRsoit une valeur d’adhérence de la suite (xn)n, il faut et il suffit qu’il existe une suite(yn)n extraite de(xn)n qui converge versxdansR.

Proposition 5.1 La plus grande (resp. plus petite) limite d’une suite est sa plus grande (resp. plus petite) valeur d’adh´erence.

Th´eor`eme 5.2 Bolzano-Weierstrass.

De toute suite born´ee de nombres r´eels, on peut extraire une suite convergente.

Exercice 27 Montrer que la suiteu= (n⁽⁻¹⁾ⁿ)_n∈Nadmet 0 comme unique valeur d’adh´erence et est divergente.

Correction: De lim

n→+∞u2n+1= lim

n→+∞

1

2n+ 1 = 0, on d´eduit que 0 est une valeur d’adh´erence deu.

Si `= lim

n→+∞u_ϕ(n)est une valeur d’adh´erence non nulle deu, o`uϕ:N→Nest strictement croissante, on a alors

` >0 (puisqueun >0 pour tout n) et :

|ln(`)|= lim

n→+∞|ln(uϕ(n))|= lim

n→+∞|(−1)^ϕ(n)ln(ϕ(n))|= lim

n→+∞ln(ϕ(n)) = +∞,

ce qui est impossible. Donc 0 est l’unique valeur d’adh´erence deu. Et cette suite est divergente puisque non major´ee (u2n = 2n).

Exercice 28 On se propose de montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite u = (cos(n))_n∈N est [−1,1].

Rappel: On dit qu’un sous-groupe additifHde (R,+) est discret si pour tout compactKdeRl’intersectionH∩K est finie.

1. Montrer que les sous-groupes additifs deRdiscrets sont de la forme : Zα={pα|p∈Z}o`uαest un r´eel.

2. Montrer que les sous-groupes additifs deRsont denses ou discrets.

3. Soienta, bdeux r´eels non nuls. Montrer que le groupe additifG=Za+Zb={pa+qb|(p, q)∈Z²}est discret [resp. dense] si, et seulement si a

b est rationnel [resp. irrationnel].

(14)

4. On note Γ ={z∈C/|z|= 1}le cercle unit´e dans le plan complexe.

(a) Montrer que{exp(in)|n∈Z}est dense dans Γ.

(b) Montrer que l’ensemble{cos(n)|n∈N} est dense dans [−1,1], ce qui signifie que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suiteu= (cos(n))_n∈_Nest [−1,1].

Correction:

1. Il est clair que tout sous-groupe de (R,+) de la formeZαest discret. En effet pour α= 0 c’est clair et pour α 6= 0 tout compact K de R est contenu dans un intervalle [a, b] avec a < b et il n’y a qu’un nombre fini d’entiers pv´erifianta≤pα≤b.

Réciproquement si H est un sous-groupe discret de (R,+) non réduit à {0}, il existe alors un réel a dans H∩R^?+(06=a∈H ⇒ −a∈H) et ]0, a]∩H est fini non vide, il admet donc un plus petit élémentα >0. De α∈H on déduit queZα⊂H. De plus, pour toutx∈Hil existe un entier relatifktel que 0≤x−kα < α≤a (k=Ex

α

) et avecx−kα∈H∩R+on d´eduit du caract`ere minimal deαquex−kα= 0, soitx=kα∈Zα.

On a donc en d´efinitiveH =Zα.

2. SiH un sous-groupe additif de Rnon réduit à{0} alorsK=H∩R^?+6=∅et cet ensemble est minoré par 0, il admet donc une borne inférieureα. On distingue deux cas :

– Si α >0 alorsα∈K. En effet dans le cas contraire, par définition de la borne inférieure, on peut trouver x∈K tel queα < x <2α(on suppose queα /∈H). Pour la même raison, on peut trouvery ∈K tel que α < y < x. On a alors 0< x−y < αavecx−y∈H∩R^?+, ce qui est contradictoire avec la définition de la borne inférieureα. Avec la structure de groupe additif deH, on déduit alors queH =Zα. En effet, Zα⊂ du fait que αappartient au groupeH et pour toutxdansH, il existe kdansZ tel que 0≤x−kα < α, doncx−kα= 0 etx∈Zα, c’est-à-dire queH ⊂Zα.

– Siα= 0, alorsH est dense dansR. En effet pourx < ydansR, il existezdansH∩R^?+tel que 0< z < y−x soit 1< y

z −x

z et pourn∈ix z,y

z

h∩Z, on ax < nz < y avecnz∈H.

Si Gest discret, alorsG=Zαet a=pα,b=qαavecpet qnon nuls dansZet en cons´equence a b = p

q ∈Q. R´eciproquement, supposons a

b rationnel, on peut ´ecrire a b = p

q avecpetqentiers premiers entre eux et on a : G=Za+Zb=

Zp

q +Z

= (Zp+Zq)b q. Le théorème de Bézout nous dit queZp+Zq=Zet doncG=Z

b

q, c’est-`a-dire queGest discret.

3. (a) Comme 2πest irrationnel, le groupeH=Z2π+Zest dense dansR. Avec la 2π-périodicité, la continuité et la surjectivité de l’applicationf :x7→exp(ix) deRsur Γ, on déduit alors que l’ensemble :

f(H) ={exp((2πm+n)i),(m, n)∈Z×Z}={exp(in), n∈Z} est dense dans [−1,1],

(b) Avec la continuité et la surjectivité de la projection p : z 7→ <(z) de Γ sur [−1,1], on déduit que l’ensemble {cos(n), n ∈ Z} est dense dans [−1,1], puis par parité que l’ensemble {cos(n), n ∈ N} est dense dans [−1,1].

Exercice 29 Soitαun réel fixé dans ]0,1[ etu= (un)_n∈N définie par un = cos(n^α) pour n≥ 0. On se donne un réelx∈[−1,1] et on noteθ le réel de [0, π] défini parx= cos(θ). Pour tout entier n≥1, on désigne parϕ(n) l’entier défini par :

ϕ(n)^α≤θ+ 2nπ <(ϕ(n) + 1)^α c’est-`a-dire queϕ(n) =E((θ+ 2nπ)^α¹).

1. Montrer queϕest une fonction strictement croissante deN^? dansN^?. 2. Montrer que lim

n→+∞(θ+ 2nπ−ϕ(n)^α) = 0.

3. Montrer que lim

n→+∞(uϕ(n)) =x.

4. En d´eduire que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suiteuest [−1,1].

Correction:

1. Résulte de la croissance de la fonction partie entière (précisément si x−y > 1 alors E(x)> E(y)), de la stricte croissance de la fonctiont^α¹ et du fait que 2π >1. En effet, en posantvn= (θ+ 2nπ)^α¹ et en utilisant le théorème des accroissements finis, on a pour tout entiern≥1 :

v_n+1−v_n= 2π1 αξn^α¹⁻¹