Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2007-08 M1 math´ematiques
R´evisions
Exercice 1 PosonsA={a+ib√
5∈C/a, b∈Z}.
1. Montrer que c’est un anneau.
2. Montrer que l’applicationA→Rqui `a zassociezz¯est `a valeurs dansZet multiplicative.
3. D´eterminerA∗.
4. Montrer que les ´el´ements 2, 3, 1 +i√
5, 1−i√
5 sont irr´eductibles dansA.
5. Montrer que 6 admet deux d´ecompositions en produits d’irr´eductibles. L’anneauAest-il factoriel ?
Exercice 2
SoitKun corps. Soit Aun anneau factoriel qui n’est pas un corps.
1. Montrer que l’id´eal deK[X, Y] engendr´e parX etY n’est pas prinicipal.
2. En d´eduire que l’anneauK[X, Y] est factoriel mais pas principal.
3. Soita un ´el´ement non nul et non inversible deA. Montrer que l’id´eal de l’anneauA[X] engendr´e para etX n’est pas principal.
4. En d´eduire que l’anneauA[X] est factoriel mais pas principal.
Exercice 3
1. D´eterminer les polynˆomes irr´eductibles de degr´e≤2 surF2. 2. En d´eduire que le polynˆomeX5+X3+ 1 est irr´eductible surF2.
3. En d´eduire que le polynˆomeX5+ 5X3+ 5∈Z[X] est irr´eductible surZ.
4. Montrer cette derni`ere irr´eductibilit´e sans utiliser la question 2.
Exercice 4
SoitKun corps de caract´eristique diff´erente de 2 et 3. Consid´erons le polynˆomeP =X3+pX+q∈K[X].
Supposons-le scind´e et notonsα,β etγses racines. On se propose de d´eterminer ces racines en fonctions de pet q. On suppose queK contient une racine cubique primitive de l’unit´ej.
1. SoitQ∈K[X] de degr´e 3. Montrer qu’il existea∈K∗ etb∈K tel queQ(aX+b) ait un coefficient du second degr´e nul.
2. PosonsRj(X1, X2, X3) = (X1+jX2+j2X3)3∈K[X1, X2, X3]. Montrer que l’orbite deRj sous l’action du groupe sym´etrique S3contient deux ´el´ements : Rj et un autre ´el´ement qu’on noteraRj2.
3. Montrer que les polynˆomes Rj+Rj2 et Q = (X1+jX2+j2X3)(X1+j2X2+jX3) sont sym´etriques.
ExprimerRj+Rj2 etRjRj2=Q3 en fonction des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires.
4. Posonsu=Rj(α, β, γ)∈Ket v=Rj2(α, β, γ)∈K. Exprimer u+v et uven fonction depetq.
5. Exprimerα,β etγ en fonction deuetv.
Exercice 5
Lesquels des groupes ab´eliens suivants sont isomorphes entre eux:Z/2008Z,Z/8Z×Z/251Z,Z/4Z×Z/502Z, Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z×Z/251Z,Z/2Z×Z/1004Z?
Exercice 6
SoitKun corps. Soit E unK-espace vectoriel. Soituun endomorphisme deE.
1. Rappeler commentufait deE unK[X]-module.
2. Montrer que siEest de dimension finie commeKespace vectoriel,Eest de type fini commeK[X]-module.
Notons alorsµ(X) le polynˆome minimal de u. Montrer queE est un K[X]/(µ(X))-module et que c’est un K[X]-module de torsion.
3. PosonsE=K[T]. Consid´erons le cas o`uuest la multiplication parT. Montrer queEest unK[X]-module libre.
4. Posons E = K[T]. Consid´erons le cas o`u u est la d´erivation dans K[T]. Montrer que E n’est pas de type fini commeK[X]-module (on pourra montrer que, si c’´etait le cas, il existerait des polynˆomesP1,. . ., Pr ∈ K[T] tels que tout ´el´ement de K[T] soit combinaison K-lin´eaire des d´eriv´ees successives de P1, . . ., Pr). Montrer que tout ´el´ement deE est de torsion.
Exercice 7
SoitL un corps contenant F2. Soient xety des ´el´ements deLv´erifiant x2+x+ 1 = 0 et y3+y+ 1 = 0.
Consid´erons les sous-corpsF2(x),F2(y) et F2(x, y) deL.
1. Montrer que les racines des polynˆomes X2+X+ 1 dansL sontxet x2=x+ 1, puis que les racines des polynˆomesX3+X+ 1 dans Lsonty ety2 ety4=y2+y.
2. Montrer que les extensionsF2(x)|F2,F2(y)|F2etF2(x, y)|F2sont de degr´es 2, 3 et 6 respectivement. En d´eduire que les corpsF2(x),F2(y) etF2(x, y) ont respectivement 4, 8 et 64 ´el´ements.
3. D´eterminer le polynˆome minimal surF2 dex+y.
4. D´emontrer que tout ´el´ement de F2(x, y)∗ est d’ordre divisant 63.
5. Montrer quexety sont d’ordre 3 et 7 respectivement dansF2(x, y)∗. En d´eduire l’ordre dexy.
Exercice 8
Consid´erons les polynˆomes X3−3X+ 1 etX4−3∈Q[X].
1. Ces polynˆomes sont-il irr´eductibles surQ?
2. En d´eterminer un corps de rupture deX4−3 dansR. Quel est son degr´e ? 3. Ce polynˆome admet-il un corps de d´ecomposition dansR?
4. Quel est le degr´e d’un corps de d´ecomposition deX4−3 surQ? 5. Soitaune racine deX3−3X+ 1 dansC.
6. Quel est le degr´e d’un corps de d´ecomposition deX3−3X+ 1 sur Q?
Exercice 9
SoitKun corps de caract´eristique 0 ou>3. SoitP =X3+aX+b∈K[X]. SoitLun corps de d´ecomposition deP surK. Notonsα1,α2et α3les racines de P dansL. Posonsδ= (α1−α2)(α2−α3)(α3−α1)∈L et
∆ =δ2. On a ∆ =−4a3−27b2.
1. Montrer queP est irr´eductible surK si et seulement siP est sans racine dansK.
2. Montrer queL|Kest galoisienne.
3. Rappeler comment Gal(L/K) s’identifie `a un sous-groupe du groupe sym´etriqueS3. Soitσ∈Gal(L/K).
Montrer queσ(δ) = sgn(σ)δ, o`u sgn(σ) est la signature deσ.
4. SupposonsP irr´eductible surK. Si δ ∈K, montrer que Gal(L/K) est d’ordre 3. En d´eduire que L|K est de degr´e 3 puis queL=K(α1) =K(α2) =K(α3).
5. Supposons P irr´eductible sur K. Siδ /∈K, montrer que Gal(L/K) contient un ´el´ement d’ordre 2. En d´eduire que Gal(L/K) n’est pas d’ordre 2. Conclure que Gal(L/K) est d’ordre 6.
6. Quels sont les groupes de Galois des polynˆomesX3−3X+ 1 etX3−X+ 1∈Q[X] ?
Exercice 10
On se propose de montrer que le corps C est alg´ebriquement clos. On admettra que tout polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e impair poss`ede un z´ero dansR.
1. Montrer que si toute extension finie deCest ´egale `aC, le corpsCest alg´ebriquement clos.
2. Montrer que tout nombre complexe poss`ede une racine carr´ee. En d´eduire que tout polynˆome de degr´e 2 admet une racine dansC, puis queCne poss`ede pas d’extension de degr´e 2.
3. SoitK0une extension finie deC. Montrer qu’il existe une extension finieK|K0telle que l’extensionK|R soit galoisienne.
4. Notons alorsGle groupe de Galois de l’extensionK|R. SoitH un 2-sous-groupe de Sylow deG. Notons L le sous-corps deK form´e par les ´el´ements invariants par H. En termes des ordres des groupesGet H, quel est l’ordre de l’extensionL|R?
5. Montrer qu’il existeα∈Ltel queL=R(α) etαracine d’un polynˆome irr´eductible de degr´e impair de R[X].
6. En d´eduire queα∈Rpuis que Gest un 2-groupe.
7. Montrer que l’extension K|C est galoisienne. Notons G1 son groupe de Galois. Montrer que c’est un 2-groupe.
8. SoitG2 un sous-groupe d’indice 2 deG1. NotonsL2le sous-corps deKform´e par les ´el´ements invariants par G2. Quel est le degr´e de l’extension L2|C ? En d´eduire que G1 n’a pas de sous-groupe d’indice 2.
Conclure.
