Université de Rouen L2 Math/Info Année 2013-2014
Algèbre
Examen du 25 juin 2014, durée 2h
L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT. IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Exercice 1. [Petit théorème de Fermat]. Soit p un entier premier. Le but est de montrer que pour touta∈Npremier avecpon a
ap−1≡1 [p] (1)
(a) Soitϕdéfini de (Z/pZ,+) dans (Z/pZ,+) parϕ¡ cl(k)¢
=cl(ka) pour tout cl(k)∈Z/pZ(ici cl(k) désigne la classe d’équivalent dek modulo p). Montrer que ϕest un morphisme de groupe injectif de (Z/pZ,+) dans (Z/pZ,+).
(b) Montrer queϕest bijectif et que
1×2× · · · ×(p−1)≡ϕ(1)×ϕ(2)× · · ·ϕ(p−1) [p] (2) (c) À l’aide de la question précédente montrer que (p−1)!≡(p−1)!ap−1[p].
(d) Déduire de la question précédente queap−1≡1 [p].
Exercice 2. [Nombre de Mersenne]Pour toutn∈N∗, on appellen-ème nombre de Mersenne l’entier Mn=2n−1. Soientp etq deux entiers premiers avecpimpair. On suppose queq diviseMp.
(a) Montrer queq est impair. En déduire à l’aide du petit théorème de Fermat que 2q−1≡1 [q].
(b) Soit A={n∈N∗ tel que 2n≡1 [q]}. Montrer que Aest une partie non vide deN∗. En déduire queAadmet un plus petit élément notém.
(c) Sir désigne le reste de la division euclidienne dep parmmontrer que 2r≡1 [q]. En déduire quemdivisep puis quep=m.
(d) Sir0désigne le reste de la division euclidienne deq−1 parpmontrer que 2r0≡1 [q]. En déduire quepdiviseq−1.
(e) Montrer à l’aide des questions (a) et (d) que 2pdiviseq−1.
Exercice 3. Pourn∈N∗ on définit le polynômePn=(X−3)2n+(X−2)n−2.
(a) Déterminer le reste de la division euclidienne dePn par (X−2).
(b) Déterminer le reste de la division euclidienne dePn par (X−3)2.[Indication : on pourra utiliser notamment le polynôme dérivé]
(c) Déterminer le reste de la division euclidienne dePn par (X−2)(X−3)2. Exercice 4. Soitσla permutation deS12définie par
σ=
µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 12 1 10 9 11 4 3 2 7 8 5
¶
(a) Décomposerσen produit de cycles à supports disjoints.
(b) Décomposerσen produit de transpositions.
(c) Calculer la signature deσet son ordre.
(d) Calculerσ2013.
1
