Isomotifs de dimension inférieure ou égale à un

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Fabrice Orgogozo

To cite this version:

Fabrice Orgogozo. Isomotifs de dimension inférieure ou égale à un. manuscripta mathematica, Springer

Verlag, 2004, 115 (3), pp.339-360. �10.1007/s00229-004-0495-4�. �hal-00196655�

ISOMOTIFS DE DIMENSION INF´ERIEURE OU ´EGALE `A UN

par

Fabrice Orgogozo

R´esum´e.— Apr`es avoir rappel´e certains r´esultats ´etablis par V. Voevodsky dans [Voe00], on d´emontre l’´equivalence de cat´egories, annonc´ee dansloc. cit.§3.4 (p. 218), entre la cat´egorie d´eriv´ee des 1-isomotifs de P. Deligne sur un corps parfait et la cat´egorie triangul´ee des motifs g´eom´etriques effectifs de dimension au plus 1.

Introduction

Dans [Voe00], Vladimir Voevodsky d´efinit, pour tout corps k, deux cat´egories triangul´ees, not´ees DM^eff_gm(k) et DM^eff₋(k). Il construit un foncteur [·] de la cat´egorie desk-sch´emas alg´ebriques lisses vers DM^eff_gm(k) et, pour k parfait, un foncteur pleinement fid`ele i: DM^eff_gm(k),→DM^eff₋(k).

On pourrait esp´erer munir DM^eff_gm(k) d’unet–structure dont le coeur serait la cat´egorie desmotifs mixtes sur k, dont l’existence avait ´et´e conjectur´ee par Alexandre Grothendieck. Cela n’est en g´en´eral pas possible `a moins peut-ˆetre de se restreindre aux coefficients rationnels (cf. loc. cit.

4.3.8). D’un autre cˆot´e, Pierre Deligne d´efinit dans [Del74],§10 la cat´egorie additive des 1–motifs sur un corps. Apr`es tensorisation par Q, elle devient ab´elienne et est appel´ee cat´egorie des 1–

isomotifs sur k; on la note 1−isomot(k). L’objet de ces notes est de construire (pour kparfait) un foncteur

D^b(1−isomot(k))→DM^eff_gm(k)⊗Q,

de montrer qu’il induit une ´equivalence de cat´egories entreD^b(1−isomot(k)) et la sous-cat´egorie

´

epaisse strictement pleine de DM^eff_gm(k)⊗Qengendr´ee par les motifs [X], o`u X est unk-sch´ema alg´ebrique lisse de dimension au plus 1 (sous-cat´egorie que l’on noted1DM<sup>eff</sup><sub>gm</sub>(k)Q). Ce r´esultat est annonc´e sans d´emonstration par V. Voevodsky dans [Voe00],§3.4 (p. 218) et ´enonc´e dans une lettre `a Alexander Be˘ılinson datant de d´ecembre. Il semble depuis bien connu des sp´ecialistes.

L’objectif de ces notes est donc de combler ce vide dans la litt´erature, tout en rappelant au lecteur certains des r´esultats essentiels d’Andre¨ı Suslin et V. Voevodsky.

Le plan est le suivant : on commence par d´efinir les cat´egories triangul´ees dnDM^eff_gm(k) (resp.

dnDM^eff₋(k)) pour tout entier n ∈ N ainsi que le foncteur i, faisant intervenir un complexe dit de Suslin. Dans la partie suivante, on montre que la cat´egorie d´eriv´ee des motifs d’Artin `a coeffi- cients rationnels est canoniquement ´equivalente `a d0DM^eff_gm(k)Q. L’analogue `a coefficients entiers ainsi qu’une description ded0DM<sup>eff</sup><sub>−</sub>(k) seront ´egalement consid´er´es. Enfin on d´emontre dans une derni`ere partie l’´equivalence annonc´ee, apr`es avoir rappel´e le calcul de l’homologie du complexe des chaˆınes singuli`eres, dˆu `a A. Suslin et V. Voevodsky [SV96].

Cet article est une version largement remani´ee d’un expos´e fait aucirmen janvier; lors de la pr´eparation de cet expos´e j’avais b´en´efici´e des explications de Fabien Morel, qui m’avait introduit alors `a la th´eorie de V. Voevodsky. Je lui en suis tr`es reconnaissant.

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C’est ´egalement avec grand plaisir que je remercie Luc Illusie, Bruno Kahn, Jo¨el Riou et Tam´as Szamuely pour leurs commentaires sur ce texte. Enfin, je remercie le rapporteur pour sa relec- ture patiente et minutieuse ainsi que pour ses demandes d’´eclaircissements et commentaires qui profiteront sans aucun doute au lecteur.

1. Rappels sur la cat´egorie triangul´ee des motifs g´eom´etriques

Soientkun corps commutatif,η= Spec(k) etL(η) la cat´egorie desη-sch´emas quasi-projectifs lisses. L’hypoth`ese de quasi-projectivit´e n’est utilis´ee qu’`a partir du num´ero3.1.2. (Ce n’est pas la convention faite dans [Voe00], cependant elle conduit `a des cat´egories triangul´ees ´equivalentes.) Si X etY sont deux objets de cette cat´egorie, on notec(X, Y) le groupe ab´elien librement engendr´e par les sous-sch´emas ferm´es int`egres de X ×η Y qui sont finis sur X et surjectifs sur une ses composantes connexes. De telles correspondances se composent (cf. [Voe00], 2.1) ce qui nous permet de d´efinir une cat´egorie additive LCorr(η) ayant pour objets les mˆemes que ceux de L(η) et pour morphismes entreX etY les correspondances pr´ec´edentes. En particulier, on a un foncteur covariant

[·] :L(η)→L Corr(η)

donn´e sur les morphismes par le graphe. (Dans sa construction de motifs de Chow, A. Grothendieck prend la convention oppos´ee et obtient un foncteur contravariantde la cat´egorie des η-sch´emas projectifs et lisses vers Chow^Gro(η).) La somme directe dansLCorr(η) est donn´ee sur les objets par la somme disjointe des sch´emas.

La cat´egorie desmotifs g´eom´etriques effectifs DM^eff_gm(η)

s’obtient `a partir de la cat´egorie additiveK<sup>b</sup>(LCorr(η)) par localisation puis passage `a l’enveloppe pseudo-ab´elienne (ou Karoubienne). La localisation s’effectue en divisant par la sous-cat´egorie

´

epaisse(cf. [Nee01], 2.1.6)T engendr´ee par les complexes [A¹_X]→[X] et les [U∩V]→[U]⊕[V]→ [X] pourX la r´eunion des ouvertsU etV. Apr`es passage `a l’enveloppe pseudo-ab´elienne (de sorte que tout projecteur correspond `a une d´ecomposition en somme directe), c’est encore naturellement une cat´egorie triangul´ee,cf. [BS01] 1.5.

Il est commode d’introduire la cat´egorie DM^eff₋(η) des complexes motiviques effectifs; elle a entre autres avantages celui de poss´eder certains Hom internes⁽ⁱ⁾. Un pr´efaisceau (ab´elien) avec transfertsest un foncteur additif contravariant surLCorr(η) `a valeur dans la cat´egorie des groupes ab´eliens. Il est dit deNisnevichsi c’est un faisceau pour la topologie de Nisnevich. Rappelons que siX est un sch´ema hens´elien, le toposXNis associ´e est local. Les pr´efaisceaux repr´esentables sur LCorr(η) sont des faisceaux de Nisnevich et tautologiquement munis de transferts. Un pr´efaisceau avec transfertsF est ditinvariant par homotopiesi pour toutX ∈ObLCorr(η), le morphisme F(X)→F(A¹_X) induit par la projection est un isomorphisme. Notons NisTrans(η) la cat´egorie ab´elienne des faisceaux de Nisnevich avec transferts. La cat´egorie

DM^eff₋(η)

est la sous-cat´egorie pleine deD⁻(NisTrans(η)) constitu´ee des complexes `a cohomologie invariante par homotopie.

Rappelons maintenant la d´efinition, due `a A. Suslin, du complexe des chaˆınes singuli`eres associ´e

`

a un faisceau de Nisnevich avec transfertsF. Soit ∆^• l’objet cosimplicial standard dansL(η) et notons C•(F) le complexe de faisceaux ab´eliens associ´e `a l’objet simplicial T 7→ Cn(F)(T) :=

F(T×η∆ⁿ), avec la convention classiqueCi =C⁻ⁱ. On note hi(F) le faisceau de Nisnevich avec transferts H⁻ⁱ(C_•(F)) ; il est automatiquement invariant par homotopie (cf. [Voe00] 3.2.1). Par composition avec le foncteurcomplexe simple associ´e, on en d´eduit un foncteurK⁻(NisTrans(η))^sC→^• D⁻(NisTrans(η)), qui se factorise enK⁻(NisTrans(η))→^C DM^eff₋(η),→D⁻(NisTrans(η)). De plus,

(i)Nous renvoyons le lecteur `a [Voe00],§3.2 pour la d´efinition de la structure tensorielle sur DM^eff₋(η).

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la cat´egorie triangul´ee K⁻(NisTrans(η)) re¸coit naturellement la cat´egorie K^b(LCorr(η)) en asso- ciant `a un complexe d’objets deLCorr(η), le complexe de faisceaux de Nisnevich avec transferts qu’ils repr´esentent :

· · · →X_i−1→Xi→Xi+1→ · · ·

7→ · · · →c(−, X_i−1)→c(−, Xi)→c(−, Xi+1)→ · · · .

Finalement, on a un diagramme commutatif : K^b(LCorr(η))

((Q

QQ QQ QQ QQ QQ QQ

//K⁻(NisTrans(η))

C

DM^eff_gm(η) ⁱ //DM^eff₋(η)

Si k est parfait, on montre (loc. cit. 3.2.6) que la fl`eche diagonale se factorise par un foncteuri qui est pleinement fid`ele. De plus,i est d’imagedense, en ce sens que la cat´egorielocalisante (cf.

[Nee01], 3.2.6) engendr´ee par l’image est DM^eff₋(η) tout entier.

Convention :dor´enavant,η est le spectre d’un corps parfait.

Soit i ∈ N un entier. Notons LCorri(η) la sous-cat´egorie pleine de LCorr(η) dont les ob- jets sont les η-sch´emas quasi-projectifs lisses de dimension inf´erieure `a i. On note diDM<sup>eff</sup><sub>gm</sub>(η) (resp. diDM<sup>eff</sup><sub>−</sub>(η)) la sous-cat´egorie ´epaisse (resp. localisante) strictement pleine de DM<sup>eff</sup><sub>gm</sub>(η) (resp. DM<sup>eff</sup><sub>−</sub>(η)) engendr´ee par les objets [X] (resp. les complexes C•([X]) := C•(c(−, X)), o`u X ∈ObLCorri(η).

2. Motifs de dimension nulle

On reprend dans cette partie, en donnant des d´emonstrations d´etaill´ees, les premiers r´esultats de [Voe00],§3.4.

Notons ¯ηle spectre d’une clˆoture s´eparable quelconque deκ(η) etπle groupe de Galoisπ1(η,η).¯ Rappelons ([SGA4viii2.1]) que le foncteurX X(¯η), de la cat´egorie desη-sch´emas ´etales vers la cat´egorie des ensembles discrets sur lesquelsπagit continˆument est une ´equivalence de cat´egories.

Un quasi-inverse est donn´e par E SpecHomπ−ens(E, κ(¯η)). Le sch´ema X est connexe si et seulement si l’action deπ sur l’ensembleX(¯η) est transitive. Notons PermZ(η), ou bien Perm(η) s’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, la sous-cat´egorie pleine de Mod(Z[π]) dont les objets sont les Z[π]- modules de permutation, c’est-`a-dire les modules de la forme Z[E], o`u E est unπ-ensemble fini continu. Il r´esulte du rappel pr´ec´edent que le foncteur naturel des η-sch´emas ´etales de type fini vers Perm(η) est fid`ele. Montrons qu’il s’´etend en un foncteurL Corr<sub>0</sub>(η)→Perm(η). SoientX et X<sup>0</sup> deuxη-sch´emas ´etales finis. Une correspondance int`egreZ ∈c(X, X⁰) est un sous-sch´ema int`egre deX×<sub>η</sub>X<sup>0</sup>; il est n´ecessairement ´etale sur η et s’identifie `a une composante connexe de X×_ηX⁰ c’est-`a-dire, par la th´eorie de Galois, `a uneπ-orbite de X(¯η)×X⁰(¯η). `A Z on associe donc une applicationπ-´equivariante χZ :X(¯η)×X<sup>0</sup>(¯η)→Z, sa fonction caract´eristique, dont on d´eduit un morphisme deZ[π]-modulesϕZ :Z[X(¯η)]→Z[X<sup>0</sup>(¯η)]. SiZ n’est plus suppos´e connexe mais s’´ecrit Z =PniZi, avecZi int`egre pour tout i, on pose ϕZ =PniϕZ_i. R´eciproquement, tout tel morphisme dans Perm(η) s’obtient ainsi ; on a donc d´emontr´e la proposition :

2.1 Proposition. — Le foncteur additifLCorr0(η)→Perm(η)ainsi construit est une ´equi- valence de cat´egories.

L’inclusionLCorr₀(η),→L Corr(η) induit un foncteurK^b(LCorr₀(η))→K^b(LCorr(η))_/T, qui se factorise `a traversd0K<sup>b</sup>(L Corr(η))<sub>/T</sub>, d´efinie de mani`ere analogue `ad0DM<sup>eff</sup><sub>gm</sub>(η) mais sans passage `a l’enveloppe pseudo-ab´elienne.

2.2 Proposition. — Le foncteurK^b(L Corr0(η))→d0K^b(LCorr(η))/T est une ´equivalence de cat´egories triangul´ees.

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Par passage `a l’enveloppe pseudo-ab´elienne, not´ee avec un indice ( )_psab, il r´esulte de2.1et2.2 que l’on a une ´equivalence de cat´egories :

K^b(Perm(η))psab→d0DM^eff_gm(η).

D´emonstration du th´eor`eme2.2. — Il s’agit de montrer que si A et B sont deux complexes de K^b(L Corr(η)), constitu´es de sch´emas de dimension 0, le morphisme Hom_Kb(LCorr(η))(A, B) → Hom_Kb(LCorr(η))_/T(A, B) est un isomorphisme. Par d´efinition des morphismes dans une cat´egorie localis´ee, et puisqu’on a calcul des fractions, on a :

Hom_Kb(LCorr(η))_/T(A, B) = colimHom_Kb(LCorr(η))(A⁰, B),

o`u la colimite est relative aux fl`echesA⁰ → A dont le cˆone est dansT. Par d´evissage, on peut supposer queB est concentr´e en un seul degr´e :B= [η⁰][i], o`u η<sup>0</sup>/η est fini ´etale et i∈Z. On se ram`ene donc `a prouver le lemme suivant :

2.3 Lemme. — Pour tout objet T ∈ObT, toutη-sch´ema fini ´etale η⁰ et tout entieri∈Z, on aHom_Kb(LCorr(η))(T,[η⁰][i]) = 0.

D´emonstration de2.3. — Par d´evissage, on peut supposer que T est de la forme [A¹_X] → [X]

(cas a.) (resp. [U∩V]→[U]⊕[V]→[X] (cas b.) avec [A¹_X] (resp. [U]⊕[V]) plac´e en degr´e 0 et X unη-sch´ema alg´ebrique lisse.

Cas a. Traitons d’abord le cas o`ui= 0. Il faut montrer que sif :A¹_X →η⁰ est un morphisme deLCorr(η), il existe un morphismeg:X →η⁰ tel que le diagramme :

0 //

[A¹_X] //

f

[X]

|| g //0

0 //[η⁰] //0 //0

soit commutatif, de sorte que le morphisme de complexesT →[η⁰][0] soit homotope au morphisme nul. Le sch´emaη⁰ est de dimension 0 donc pour toutη-sch´ema alg´ebrique lisseY,

H⁰(Yη⁰,Z)→^∼ c(Y, η⁰).

Il s’agit donc de montrer que le morphisme canonique H⁰(X_η⁰,Z) → H⁰(A¹_X

η0,Z) est surjectif.

C’est mˆeme un isomorphisme, compte tenu de l’invariance par homotopie duπ₀, qui traduit le fait

´

el´ementaire que siAest un anneau sans idempotent non trivial, il en est de mˆeme deA[x], o`u x est une ind´etermin´ee. Le cas o`ui= 1 se traite de mˆeme ; les autres cas sont triviaux.

Cas b. SoitU, V un recouvrement ouvert de X. Traitons d’abord le casi= 0. On doit montrer que pour tout morphismef : [U`V] = [U]⊕[V]→[η⁰] dans LCorr(η), il existe un morphisme g: [X]→[η⁰] qui rend commutatif le diagramme :

0 //

[U∩V]

//[U]⊕[V] //

f

X

{{ g //0

0 //0 //[η⁰] //0 //0

.

Cela revient `a montrer que l’injection naturelle Im(Z(Xη⁰)→Z(Uη⁰

aVη⁰)),→Ker(Z(Uη⁰

aVη⁰)→Z(Uη⁰∩Vη⁰))

est un isomorphisme. Cela r´esulte du fait que le diagrammeZ(Xη⁰)→Z(X_η⁰0)⇒Z(X_η⁰0×X_η0 X_η⁰0) est exact, o`u l’on a pos´e X<sup>0</sup> =U`V, compte tenu du fait que X⁰ ×XX^{0 ∼}→X⁰`(U ∩V) (de mˆeme apr`es changement de base `a η<sup>0</sup>). Les casi ∈ {−1,1} ne pr´esentent gu`ere plus de difficult´e tandis que pour |i| > 1, le r´esultat est ´evident. Cela conclut la d´emonstration du lemme et du th´eor`eme.

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Voyons maintenant une variante `a coefficients rationnels. Soit Rep^f,cont_Q (π) la cat´egorie desQ[π]–

modules continus de dimension finie surQ. Il r´esulte du lemme de Maschke qu’elle est ab´elienne semi-simple. En particulier, les foncteurs

K^b(Rep^f,cont_Q (π))psab←K^b(Rep^f,cont_Q (π))→D^b(Rep^f,cont_Q (π))

sont des ´equivalences de cat´egories. Ces cat´egories sont aussi ´equivalentes `a la cat´egorieQ[π]-mod.-Z-gradu´es desQ[π]–modules continus de dimension finie, Z-gradu´es. Notons PermQ(π) la cat´egorie des re-

pr´esentations de permutation `a coefficients rationnels.

2.4 Lemme. — Le foncteur

K^b(Perm_Q(π))_psab→K^b(Rep^f,cont_Q (π))_psab'Q[π]-mod.-Z-gradu´es

d´eduit du foncteur pleinement fid`elePermQ(π)→Rep^f,cont_Q (π)est une ´equivalence de cat´egories.

On retrouve donc les motifs d’Artin, d´efinis par A. Grothendieck.

D´emonstration. — La pleine fid´elit´e du foncteur est ´evidente. SoitMune repr´esentation (continue, de dimension finie) quelconque deπet montrons qu’elle est dans l’image essentielle de ce foncteur.

On peut supposerM irr´eductible. SoitGun quotient fini `a travers lequel l’action deπsur M se factorise. Il est bien connu qu’en caract´eristique 0, toute repr´esentation irr´eductible d’un groupe fini est facteur direct de la repr´esentation r´eguli`ere. La repr´esentationMco¨ıncide donc avec l’image d’un idempotentp: Q[G]→ Q[G] de Perm_Q(η). Le r´esultat en d´ecoule puisque, par d´efinition, K^b(PermQ(π))psab est pseudo-ab´elienne.

Rappelons qu’il est n´ecessaire de se restreindre aux repr´esentations de dimension finiecontinues deπ. En effet, il est facile de construire, par exemple, des morphismes non continusZ_p→GL_n(Q) pour toutn >1. De mˆeme la semi-simplicit´e deviendrait fausse si l’on consid´erait les repr´esenta- tions`-adiques de dimension finie continues.

Le lemme pr´ec´edent s’interpr`ete plus suggestivement comme un isomorphisme : d₀DM^eff_gm(η)_Q'Q[π]-mod.-Z-gradu´es.

Avant d’´enoncer le th´eor`eme de comparaison pour d₀DM^eff₋(η), commen¸cons par un lemme : 2.5 Lemme. — Pour tout faisceau F invariant par homotopie, le morphisme C0(F) → C_•(F)est un quasi-isomorphisme. En particulier, sip:X →η est unη-sch´ema alg´ebrique ´etale, le morphisme de complexes C_•([X])←C₀([X])wp_∗Z=:Z^X/η est un quasi-isomorphisme.

D´emonstration. — CommeF est invariant par homotopie, le complexe C_•(F) est isomorphe au complexe :

· · ·F →⁰ F →^Id F →⁰ F →0→0→ · · · ,

o`u le dernier F est plac´e en degr´e 0. Le r´esultat annonc´e en d´ecoule. Le cas particulier r´esulte de l’invariance par homotopie dec(−, X) =Z^X/η.

En particulier, pour deuxη-sch´emas ´etales finis X et Y, le morphisme induit par le foncteur H⁰,

Hom_DMeff

−(η)(C•([X]), C•([Y]))←Hom_DMeff

−(η)(Z^X/η,Z^{Y /η})^2.1' c(X, Y) est un isomorphisme.

Pour toute cat´egorie additiveC, notonsF(C) la cat´egorie des foncteurs additifs contravariants deC dans la cat´egorie des groupes ab´eliens. Le foncteur Perm(η)→F(Perm(η)), qui `aX associe h<sub>X</sub> = Hom(−, X), est pleinement fid`ele et tautologiquement `a valeurs dans la sous-cat´egorie pleinePdes objets projectifs deF(Perm(η)). Ainsi, son extension en un foncteurK<sup>b</sup>(Perm(η))→ D<sup>b</sup>(F(Perm(η)) est encore pleinement fid`ele.

2.6 Lemme. — L’image du foncteur compos´eK^b(Perm(η))→D⁻(F(Perm(η))) est dense.

Rappelons que cela signifie que la sous-cat´egorie localisante engendr´ee par l’image est la cat´e- gorieD⁻(F(Perm(η))) toute enti`ere.

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D´emonstration. — Commen¸cons par remarquer que la cat´egorieF(Perm(η)) a suffisamment d’ob- jets projectifs. En effet tout faisceauG est canoniquement quotient deL

(X,x)hX→G, o`uXd´ecrit les objets de Perm(η) etx∈G(X) =Hom(hX,G). De plus toute somme directe d’objets projectifs est un objet projectif. Ainsi, le foncteur canonique K<sup>−</sup>(P) → D<sup>−</sup>(F(Perm(η)) — o`u P d´esigne

`

a nouveau la cat´egorie des objets projectifs deF(Perm(η)) — est une ´equivalence. Le foncteur K^b(Perm(η))→D⁻(F(Perm(η))←^∼ K⁻(P) se factorise `a traversK<sup>b</sup>(Perm(η))→K<sup>b</sup>(P), triviale- ment d’image dense. Il reste donc `a montrer que la sous-cat´egorie K^b(P) de K⁻(P) est dense, ce qui est un fait g´en´eral. SoitK un objet deK⁻(P) et notons, pour chaquei∈Z,σ_≥iK le tronqu´e na¨ıf : (σ≥iK)^α=K^α siα≥iet 0 sinon. Les morphismes canoniques σ_≥iK→K s’additionnent pour donner un morphisme

K⁰:=⊕_i∈Zσ_≥iK→K.

Pour chaqueα∈Z, on a un diagramme commutatif : K^0α=⊕_i≤αK^{α somme} //

⊕i≤αdα⊕0

K^α

dα

K^0α+1=⊕_i≤α+1K^α+1somme//K^α+1

Pour chaquei∈Z, on a un morphisme canoniqueσ≥i+1K→σ≥iK. Cependant, d´efinissons un autre morphismef :K⁰⁰:=⊕i∈Zσ≥i+1K→ ⊕i∈Zσ≥iK=K⁰. En degr´eα,

f^α:K^00α=⊕_i≤α−1K^α→ ⊕_i≤αK^α=K^0α, est donn´e par

f^α((· · ·, xα−1)) = (· · ·, xα−1,− X

i≤α−1

xi).

On a une suite exacte :

0→K⁰⁰→^f K⁰→K→0,

scind´ee degr´e `a degr´e. Comme K<sup>00</sup> et K<sup>0</sup> appartiennent `a l’adh´erencede l’image de K^b(P) dans K⁻(P), cela ach`eve la d´emonstration du lemme.

Le foncteur de restrictionr_∗: NisTrans(η)→F(LCorr0(η))'F(Perm(η)) admet un adjoint

`

a gaucher^∗ : tout objet deF(L Corr0(η)) est canoniquement colimite de pr´efaisceaux repr´esen- tables ; cette colimite, vue dans NisTrans(η), donne l’adjoint cherch´e. Son image est constitu´ee de faisceaux invariants par homotopie. Cet adjoint `a gauche permet donc de d´efinir un foncteur : D⁻(F(Perm(η)))→DM^eff₋(η), qui se factorise pard0DM^eff₋(η).

2.7 Proposition. — Le foncteur β :D⁻(F(Perm(η))) →d₀DM^eff₋(η) ainsi construit est une

´

equivalence de cat´egories triangul´ees.

D´emonstration. — Compte-tenu de [Lev98],ii.2.4.8.1 et 2.4.9, la cat´egorie triangul´eeD^b(F(Perm(η)) est pseudo-ab´elienne. (Cela r´esulte de l’existence de coproduits d´enombrables d’un mˆeme objet, cf. loc. cit.) Ainsi, le foncteur pleinement fid`ele K<sup>b</sup>(Perm(η)) → D<sup>−</sup>(F(Perm(η)) se factorise `a traversK^b(Perm(η))psab. Le foncteurβ s’inscrit dans un diagramme essentiellement commutatif :

K^b(L Corr₀(η))_psab //

D⁻(F(L Corr₀(η)))

β

d₀DM^eff_gm(η) ^d0i //d0DM^eff₋(η),

o`u l’on a identifi´e LCorr0(η) et Perm(η). La commutativit´e du diagramme r´esulte de 2.5.

En effet, pour toutη-sch´ema fini ´etaleX, le complexe [X] ∈Ob K^b(LCorr0(η))psab est envoy´e surc(−, X)[0]'Z^X/η par le triangle sup´erieur tandis qu’il est envoy´e surC_•([X]) par le triangle inf´erieur. Il r´esulte de2.2que la premi`ere fl`eche verticale est une ´equivalence. Comme les foncteurs horizontaux sont d’image dense (cf.§1 et2.6),β est aussi une ´equivalence de cat´egories.

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Cela permet de munird₀DM^eff₋(η) d’unet–structure non d´eg´en´er´ee, de coeurF(Perm(η)).

3. Motifs de dimension ≤1

On reprend dans cette partie les r´esultats de [SV96] (voir aussi [Voe00], 3.4.1) dont nous aurons besoin par la suite.

3.1. Calcul de l’homologie du complexe des chaˆınes singuli`eres de G_met des courbes propres. — Commen¸cons par deux lemmes bien connus.

3.1.1 Lemme. — SoitXun sch´ema noeth´erien r´egulier. Les morphismesGm(X)→Gm(A¹_X) etPic(X)→Pic(A¹_X)associ´es `a la projectionp:A¹_X →X sont des isomorphismes.

D´emonstration. — Pour tout anneau A r´eduit, l’inclusion A^× → (A[x])^× est un isomorphisme ; l’invariance par homotopie de Gm restreint aux sch´emas r´eguliers en r´esulte. La suite spectrale de Leray pour le morphisme p (pour la topologie ´etale par exemple), ainsi que l’isomorphisme Gm

→∼ p_∗Gm, nous ram`enent `a montrer que R_´¹_etp_∗Gm = {1} est trivial. Le morphisme p´etant coh´erent, il s’agit par passage aux fibres, de v´erifier que siX⁰ est local r´egulier, donc factoriel (cf.

[Gro69] iv21.11.1), Pic(A¹_X0) = 0. Cela r´esulte du fait que A¹_X0 est lui aussi factoriel et que le groupe de Picard d’un tel sch´ema est trivial (loc. cit.21.6.10).

De plus ces faisceauxG_met Pic (pour la topologie de Nisnevich) sont canoniquement munis de transferts :

3.1.2 Lemme. — SoitGunη-sch´ema en groupes ab´eliens. Le faisceau Nisnevich qu’il repr´e- sente surL(η)peut ˆetre muni de transferts, de fa¸con fonctorielle en G.

D´emonstration. — Soient X, Y ∈ObL(η) etZ ,→X×ηY une correspondance. Par additivit´e, on peut supposer ces sch´emas connexes ; notons d le degr´e de Z sur X. Ce sous-sch´ema induit (cf. [SV96], § 6) un morphisme fZ : X → Y^(d), o`u Y<sup>(d)</sup> est la puissance sym´etrique d-i`eme, repr´esentable car Y est quasi-projectif. Soit maintenant x ∈ G(Y) ; la fl`eche en pointill´es du diagramme suivant est l’´el´ement deG(X) recherch´e.

G

G //G^(d)

somme

OO

Y

x

OO //Y^(d)

x^(d)

OO

X

f_Z

OO [[

On v´erifie facilement que les transferts ainsi d´efinis sont compatibles `a la structure de groupe ab´elien ainsi qu’`a la composition des correspondances finies.

3.1.3. L’homologie de Gm. Par fonctorialit´e, le morphisme de η–sch´emas Gm → η induit un morphisme de faisceaux repr´esentables :c(−,Gm) → c(−, η) = Z. Construisons un morphisme c(−,Gm) → Gm. Soit T un η–sch´ema alg´ebrique lisse et Z ∈ c(T,Gm) ; on veut d´efinir un

´

el´ement deGm(T). En composantZ ,→T×ηGmavec la projection surGm, on d´efinit un ´el´ement f ∈G_m(Z). Sa norme par le morphisme fini Z →T est un ´el´ement deKT^× (l’anneau total des fractions) ; comme le sch´emaT est normal, c’est mˆeme un ´el´ement deG_m(T). (C’est aussi l’image de la section unit´e par le morphisme Gm(Gm) →^Z Gm(T) construit plus haut.) On a construit un morphisme de faisceaux Nisnevich avec transfertsc(−,Gm)→Gm⊕Z. Comme Gm⊕Zest

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invariant par homotopie, G_m⊕Z → C_•(G_m⊕Z) est un quasi-isomorphisme. Finalement, par application du foncteurC_•, on obtient un morphisme de DM^eff₋(η) :

ϕ:C_•([Gm])→(Gm⊕Z)[0].

On a le r´esultat fondamental suivant :

3.1.4 Proposition (cf. [SV96], 3.1). — Le morphismeϕest un quasi-isomorphisme.

(Plus exactement, dansop. cit., on ´etudie l’homomorphisme inverse.)

La section unit´eη →¹ Gm induit un morphismeC_•([Gm])→C_•([η]) ; notons Z(1) son noyau, c’est-`a-dire un cˆone d´ecal´e de−1. D’apr`es la proposition pr´ec´edente, on a

Z(1)→^∼ Gm[−1].

3.1.5. Soitf :X →ηune courbe propre et lisse. D’apr`es [Voe00] 4.3.2, on dispose, sous r´eserve de la r´esolution des singularit´es, d’un isomorphisme canoniqueC_•([X])→Hom_DMeff

−(η)(C_•([X]),Z(1)[2]).

Cet ´enonc´e est en fait valable inconditionnellement, comme l’a indiqu´e Jo¨el Riou `a l’auteur. Soit Chow<sup>eff</sup>(η) la cat´egorie des motifs (purs) de Chow effectifs (`a coefficients entiers). On prend la convention homologique de Voevodsky (et non celle initialement choisie par Grothendieck) : siXet Y sont deuxη-sch´emas projectifs et lisses, avecXconnexe de dimensiond_X,Hom_Choweff(η)(X, Y) = A_dX(X×_ηY), le groupe des cycles de dimensiond_Xmodulo ´equivalence rationnelle. On a un fonc- teur naturel (cf. loc. cit., 2.1.4) Chow^eff(η) → DM^eff_gm(η) envoyant le motif h(X) d’une vari´et´e projective lisse X sur [X] et le motif de Lefschetz L (cf. [Sch94]) sur Z(1)[2]. Soit Chow(η) la cat´egorie obtenue `a partir de Chow^eff(η) en inversant formellement le motif de Lefschetz⁽ⁱⁱ⁾ et DMgm(η) la cat´egorie triangul´ee obtenue en inversant le motif de Tate Z(1) (cf. [Voe00], 2.1.3).

Ces deux cat´egories sont encore des cat´egories tensorielles (cf. loc. cit., 2.1.5 pour DM_gm(η)) et le foncteur Chow(η)→DM_gm(η) d´eduit de Chow^eff(η)→DM^eff_gm(η) pr´eserve le produit tensoriel.

SoitX une courbe projective et lisse purement de dimension 1 surη comme pr´ec´edemment. Po- sons h(X)^∨ := h(X)⊗L⁻¹, le motif de Chow (non effectif) dual de h(X). Il existe des fl`eches h(X)⊗h(X)<sup>∨</sup>→1,1→h(X)⊗h(X)<sup>∨</sup> satisfaisant les hypoth`eses de [LMSM86], iii.1.6. Le fait remarquable est que, r´eciproquement, pour tout objet A, l’existence d’un objet B, et de fl`eches A⊗B →1 et 1→ A⊗B satisfaisant ces relations implique que B ' Hom(A,1) (et A est dit fortement dualisable). En particulier, l’existence du foncteur Chow(η)→DMgm(η) force l’isomor- phisme [X]→^∼ Hom_DMgm(η)([X]⊗(Z(1)[2])⁻¹,Z) (cf.loc. cit.,iii.1.9). Finalement, on a la formule [X]→^∼ Hom_DMgm(η)([X],Z(1)[2]). Il r´esulte de la pleine fid´elit´e du foncteur DM^eff_gm(η)→DMgm(η), d´emontr´ee inconditionnellement dans [Voe], que le Hom-interne Hom_DM

gm(η)([X],Z(1)[2]) co¨ın- cide avec celui dans DM^eff_gm(η). De plus, il est tautologique que le Hom-interne dans DM^eff_gm(η) co¨ıncide avec celui dans DM^eff₋(η) quand il existe. En conclusion, il existe bien un isomorphisme canoniqueC_•([X])→Hom_DMeff

−(η)(C_•([X]),Z(1)[2]).

D’apr`es [Voe00] 3.2.8, l’objetHom_DMeff

−(η)(C_•([X]),Z(1)[2]) est isomorphe au complexe RNisf_∗Z(1)[2]

(et donc `a RNisf∗Gm[1]

. CommeX est de dimension 1, il r´esulte deloc. cit.3.2.9 que le morphisme canoniqueτ≤0(RNisf∗Gm[1])→RNisf∗Gm[1] est un isomorphisme. De plus, d’apr`es Hilbert Satz 90,

τ_≤0(RNisf_∗Gm[1])→τ_≤0(Rfppff_∗Gm[1]) est un isomorphisme. D’o`u le

3.1.6 Corollaire. — Soit f : X → η une courbe propre et lisse, on a un isomorphisme canonique :

C•([X])→^∼ τ≤0(Rfppff∗Gm[1]).

Ce r´esultat est un peu plus pr´ecis que [Voe00] 3.4.2, o`u l’on calcule seulement la cohomologie de ce complexe.

(ii)Il se trouve que le produit tensoriel avec ce motif est pleinement fid`ele.

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3.1.7 Remarques. —

1. Ce r´esultat est `a rapprocher de la formule des coefficients universels de P. Deligne [SGA4xviii1.5]

faisant intervenir le champ de Picard (pour le gros site fppf surη) : PIC(X/η) :=f_∗ch(Gm[1])'ch(τ_≤0(Rf_∗Gm[1])).

2. Soit X une courbe affine et lisse sur η et X une compactification lisse de X, obtenue en rajoutant le ferm´e r´eduit X_∞. D’apr`es 2.5, on a un isomorphismeC_•(X_∞)→^∼ Z^X∞/η. Le triangle de Gysin ([Voe00] 3.5.4) dans DM^eff₋(η) se r´e´ecrit ici :

G^X_m^∞→C_•([X])→τ_≤0(Rfppff_∗Gm[1])→.

On en d´eduit que C_•([X]) est concentr´e en degr´e 0 et isomorphe au faisceau Pic_(X,X

∞) des classes d’isomorphismes de faisceaux inversibles trivialis´es `a l’infini. Cela g´en´eralise3.1.4car on a un isomorphisme Pic_(P1

η,{0,∞})'Z⊕Gm.

3.2. Rappels sur les 1-motifs de P. Deligne ([Del74], § 10). — SoitS un sch´ema. Nous appellerons iciS-sch´ema semi-ab´elien toutS-sch´ema en groupeJ commutatif, extension (pour la topologie fppf sur S) d’un sch´ema ab´elienApar un toreT. `A isomorphisme unique pr`es,Aet T sont bien d´etermin´es.

3.2.1 D´efinition ([Ray94]). — La cat´egorie 1-Mot(S) des 1-motifs surSest la sous-cat´egorie pleine de C^[−1,0](Sfppf) dont les objets sont les complexes deS–sch´emas en groupes commutatifs de longueur 1 :

M = [X →J],

o`u X, plac´e en degr´e −1, est localement isomorphe pour la topologie ´etale `a un groupe ab´elien libre de type fini etJ est un sch´ema semi-ab´elien.

Ce n’est pas une cat´egorie ab´elienne. Si S = η est le spectre d’un corps de point g´en´erique g´eom´etrique ¯η, la donn´ee de M = [X → J] est ´equivalente `a la donn´ee d’un π1(η,η)-module¯ continuZ^r, d’unη-sch´ema semi-ab´elienJ et d’un morphisme ´equivariant de groupesZ^r→J(¯η).

Chaque 1-motifM = [X →J], o`uJ est extension deAparT, est muni d’unefiltration par le poidsW, croissante, index´ee parZ, d´efinie par

W_n(M) = 0 sin <−2, W−2(M) = [0→T], W₋₁(M) = [0→J] etW_m(M) =M sim≥0.

On montre sans difficult´e que tout morphisme de 1-motifs respecte la filtration par le poids et induit donc un morphisme sur les quotients successifs, que sont : la partie torique T (poids−2), la partie ab´elienneA(poids −1) et la partie ´etaleX[1] (poids 0).

Supposons dor´enavant queS=η est le spectre d’un corps.

A toute cat´` egorie additiveC, on peut associer une cat´egorieQ-lin´eaire isoC, universelle pour les foncteurs deCvers une cat´egorieQ-lin´eaire. Elle peut se d´efinir en conservant les mˆemes objets mais en changeant l’ensemble des fl`eches enHomisoC(−,−) :=HomC(−,−)⊗ZQ. Proc´edant ainsi pour la cat´egorie des 1-motifs sur η, on d´efinit la cat´egorie des 1-motifs `a isog´enie pr`es, ou 1- isomotifs. Les morphismes de 1-Mot(η) qui deviennent des isomorphismes dans 1-Isomot(η), les isog´enies, sont ceux pour lesquels le morphisme sous-jacent en poids 0 est injectif de conoyau fini, tandis que le morphisme sous-jacent entre les parties semi-ab´eliennes est surjectif de noyau fini.

La filtration par le poids s’´etend automatiquement en une filtration dans 1-Isomot(η).

3.2.2 Lemme. — Pour chaque entieri∈ {0,−1,−2}, la sous-cat´egorie des 1-isomotifs purs de poidsiest ab´elienne semi-simple et ´epaisse. De plus, la cat´egorie 1-Isomot(η)est ab´elienne.

D´emonstration. — Pour i = −1 c’est un corollaire du th´eor`eme de compl`ete irr´eductibilit´e de Poincar´e. En poids 0, c’est le lemme de Maschke. Le cas du poids−2 s’en d´eduit, par dualit´e de Cartier.

Construisons le noyau d’un morphisme de 1-isomotifs sur η, laissant le cas des conoyaux au lecteur. Soit f : [X → J] → [X⁰ → J⁰] un tel morphisme, que l’on peut supposer ˆetre un vrai morphisme de 1-motifs. Soit Xe0 le faisceau noyau du morphisme de faisceaux ´etales X → X⁰

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induit par f; il n’est peut-ˆetre pas repr´esentable par un 1-motif pur de poids 0, mais X₀ :=

Xe0/(Xe0)tor l’est et lui est isog`ene (comme faisceau). De mˆeme, consid´erons le faisceau Je0 :=

Ker(J →J⁰). Il est repr´esentable par un groupe alg´ebrique surη, dont la composante connexe est lisse et n´ecessairement semi-stable sur η. Notons la J0; le morphisme J0 →Je0 est une isog´enie et le morphisme compos´eXe0 →X →J, se factorise `a traversJe0 en un morphisme de faisceaux ϕ:Xe0→Je0. CommeJe0/J0 et (Xe0)tor sont finis, il existe un entiern≥1 et un morphisme ψtel que le diagramme suivant soit commutatif :

Xe0 n·ϕ //

Je0

X₀ ^ψ //J?OO₀

On v´erifie ais´ement que le 1-motifX0→J0, qui s’envoie non canoniquement dans le 1-isomotif X →J, est un noyau def.

3.2.3 Remarque. — Il est int´eressant de remarquer que si η est le spectre d’un corps fini Fq, cette cat´egorie est mˆeme semi-simple. Par exemple, si la classe J est extension d’une vari´et´e ab´elienneApar le toreGm, sa classe dans Ext¹(A,Gm) =A^∨(Fq) (fini) est de torsion. De mˆeme,

Ext¹_1-Isomot(F

q)([Z→0],[0→G_m])'F^×_q ⊗_ZQ= 0.

Sans hypoth`ese surη, on a le r´esultat suivant.

3.2.4 Proposition. — La cat´egorie 1-Isomot(η)est de dimension cohomologique≤1.

D´emonstration. — Il suffit de v´erifier que pour tout couple de 1-motifspursM etM⁰, on a Ext²1-Isomot(η)(M, M⁰) = 0.

Pour cela on commence par v´erifier que le groupe des extensions de M par M⁰, suppos´es purs, est nul si le poids deM⁰ est sup´erieur (ou ´egal) au poids de M : cela r´esulte de calculs simples.

(Si M et M⁰ sont de mˆeme poids, c’est 3.2.2.) Il r´esulte formellement de ce r´esultat que si Ext²1-Isomot(η)(M, M⁰)6= 0, avecM et M⁰ purs, on doit avoirM =X[1] pur de poids 0 etM⁰ = T⁰ pur de poids −2. Soit e ∈ Ext²1-Isomot(η)(X[1], T⁰) ; il existe un 1-motif Z, et deux classes e₁ ∈ Ext¹1-Isomot(η)(X[1], Z), e₂ ∈ Ext¹1-Isomot(η)(Z, T⁰) telles que e = e₂·e₁. Notons J_Z (resp.

X_Z[1], A_Z) la partie semi-ab´elienne (resp. ´etale, ab´elienne) de Z; compte tenu de la nullit´e de Ext¹(X[1], XZ[1]), la classe e1 se rel`eve (non canoniquement) dans Ext<sup>1</sup>(X[1], JZ), pour donner la classeeapr`es multiplication par l’image dee₂ dans Ext¹(J_Z, T⁰). On peut donc supposerZ de poids≤ −1. De la mˆeme fa¸con,e2se factorise `a travers Ext<sup>1</sup>(AZ, T<sup>0</sup>) si bien que l’on peut supposer queZ est une vari´et´e ab´elienne. Quitte `a multipliere1et e2par des entiers non nuls et remplacer les groupes intervenant par des groupes isog`enes, on peut supposer qu’elles correspondent `a des morphismes dans 1-Mot(η). Finalemente1 correspond `a une extension dans 1-Mot(η) : 0→T<sup>0</sup> → J<sup>0</sup> →A→0 et e2 `a 0→A→Mf0→X[1]→0. Dans 1-Mot(η), on ne peut pas toujours relever le morphismeX →A d´efini par Mf₀ en X →J⁰, mais quitte `a changer X en un groupe isog`ene c’est possible (carJ⁰ →A est un ´epimorphisme dans 1-Isomot(η)). On peut donc supposer qu’il existe un 1-motifMfde gradu´e (X[1], A, T⁰) r´ealisant ces extensions en ce sens quee₁correspond

`

a W−2(fM) = T⁰ → W−1(Mf) = J⁰ → gr₋₁(fM) =A et e2 `a gr₋₁(Mf) = A → M /Wf −2(fM) → gr₀(Mf) =X[1]. Il r´esulte du lemme suivant que le morphisme compos´e correspondant,e=e2e1: gr₀(Mf)→W₋₂(Mf)[2] (dans la cat´egorie d´eriv´ee), est nul.

3.2.5 Lemme. — SoitM un objet d’une cat´egorie ab´elienne, et 0 ⊂M₋₂ ⊂M₋₁ ⊂M une filtration `a deux crans de M. Soit e₁ la classe de l’extension 0 → M₋₁/M₋₂ → M/M₋₂ → M/M₋₁→0 et e₂ la classe de l’extension 0→M₋₂ →M₋₁→M₋₁/M₋₂ →0. Alors, la classe dee2·e1 dansExt²(M/M₋₁, M₋₂)est nulle.

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D´emonstration. — Il suffit de constater que e₁correspond au morphisme de complexes 0

//M₋₁

//M //

0

0 //M₋₂ //M₋₁ //0 tandis quee2correspond au morphisme

0 //M₋₂ //

M₋₁

//0

0 //M₋₂ //0 //0

Le produit, correspondant `a la composition dans la cat´egorie d´eriv´ee, est donc nul.

3.3. Comparaison avec la th´eorie de V. Voevodsky. —

3.3.1 Lemme. — SoitX (resp.T,A) un η-sch´ema localement isomorphe (pour la topologie

´

etale) `a un Z-module libre de type fini (resp. un tore, une vari´et´e ab´elienne sur η). Le faisceau de Nisnevich repr´esent´e parX (resp.T,A) est invariant par homotopie.

D´emonstration. — Par descente, on peut supposerX (resp.T) constant (resp. d´eploy´e). Dans ce cas, cela r´esulte de l’invariance par homotopie duπ0(resp. de3.1.1).

Soit S ∈ Ob L(η) ; il nous reste `a montrer que le morphisme A(S) → A(A<sup>1</sup><sub>S</sub>) induit par la projection p: A<sup>1</sup><sub>S</sub> →S est un isomorphisme. Si S est un corps c’est classique. De l’existence de sections au morphismepon d´eduit l’injectivit´e du morphismeA(S)→A(A<sup>1</sup><sub>S</sub>). Notonss:S→A<sup>1</sup><sub>S</sub> la section nulle. Soit f : A<sup>1</sup><sub>S</sub> → A; montrons que si g = f s : S → A et ˜f := gp, on a f = ˜f, c’est-`a-dire ϕ:=f −f˜= 0. Pour tout point sde S, le morphisme compos´eA¹_s ,→A¹_S →^ϕ A est trivial. Ainsi, le morphisme ϕ est topologiquement constant. Comme A¹_S est int`egre, on a bien ϕ= 0 d’o`u la surjectivit´e deA(S)→A(A¹_S). L’injectivit´e r´esulte du fait que la projectionpa une section.

3.3.2. Notons ´EtTrans(η) la cat´egorie ab´elienne des pr´efaisceaux ab´eliens surLCorr(η) dont la restriction `a L(η) est un faisceau pour la topologie ´etale et DM<sup>eff</sup><sub>−,´et</sub>(η) la sous-cat´egorie pleine deD<sup>−</sup>( ´EtTrans(η)) constitu´ee des complexes `a cohomologie invariante par homotopie. De mˆeme, L´et(η) d´esigne la cat´egorie des faisceaux ab´eliens sur le site ´etale des η-sch´emas quasi-projectifs lisses.

Compte-tenu de3.1.2, le foncteur canonique 1-Mot(η)→C^[−1,0](L´et(η)), se factorise de ma- ni`ere canonique `a travers la cat´egorie ab´elienneC^[−1,0]( ´EtTrans(η)). Tensorisant avecQ, il induit un foncteur additif 1-Isomot(η) → C^[−1,0]( ´EtTrans(η)Q). Ce foncteur est mˆeme exact, pour les raisons qui suivent⁽ⁱⁱⁱ⁾. Le foncteur 1-Isomot(η) → C^[−1,0](L´et(η)Q) est exact car les noyaux et conoyaux de morphismes de 1-motifs calculent, `a isog´enie pr`es, au niveau des faisceaux (cf. fin de la d´emonstration de 3.2.2). Les (co)noyaux obtenus dans C^[−1,0](L´et(η)_Q) sont ´equip´es de transferts d’une part en tant que (complexes de) faisceaux associ´es `a des pr´efaisceaux (´etales) avec transferts (cf. [Voe00], 3.1.6 pour la topologie de Nisnevich et la remarque 2 suivant loc. cit., 3.1.3 pour traiter le cas ´etale) et d’autre part d’apr`es3.1.2puisqu’il s’agit de complexes associ´es

`a des 1-isomotifs. Ces deux structures de transferts sur les (co)noyaux co¨ıncident puisque il en est tautologiquement ainsi au niveau des pr´efaisceaux et que l’on a unicit´e dans loc.cit. 3.1.6 ; l’exactitude du foncteur en d´ecoule.

Celui-ci induit donc, en passant `a la cat´egorie d´eriv´ee born´ee, un foncteur triangul´e D^b(1-Isomot(η))→D^b C^[−1,0]( ´EtTrans(η)Q)

.

(iii)L’auteur remercie le rapporteur pour ses remarques `a ce sujet.

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Comme le foncteur«complexe simple associ´e»transforme quasi-isomorphisme deC^• C^[−1,0]( ´EtTrans(η)_Q) en quasi-isomorphisme deC^• EtTrans(η)´ Q)

(fait g´en´eral r´esultant de la suite spectrale HhorHvert⇒H^?), il se d´erive trivialement et, par composition, on obtient un foncteur triangul´e :

D^b(1-Isomot(η))→D^b( ´EtTrans(η)Q)←^∼ isoD^b EtTrans(η)´ .

Que ce foncteur triangul´e se factorise `a travers iso DM^eff_−,´et(η) r´esulte du lemme pr´ec´edent (3.3.1).

Nous avons donc d´efini un foncteur triangul´e

D^b(1-Isomot(η))→iso DM^eff_−,´et(η).

3.3.3 Proposition. — Le foncteur pr´ec´edent est pleinement fid`ele.

3.3.4 Remarque. — D’apr`es [Voe00], 3.3.2, le foncteur canonique iso DM^eff₋(η)→iso DM^eff_−,´et(η) est une ´equivalence de cat´egories. La topologie ´etale ´etant sans doute mieux connue du lecteur, nous l’avons pr´ef´er´ee ici.

Prendre garde au fait que le foncteur d’oubli des transferts iso DM^eff_−,´et(η)→isoD⁻(L´et(η)) n’est pas pleinement fid`ele. De mˆeme, il faut garder `a l’esprit que si isoD^b(Z−mod)→D^b(isoZ−mod) est bien une ´equivalence (et c’est l`a un fait g´en´eral), il n’en va pas de mˆeme deD<sup>b</sup>(isoZ−mod)→ D<sup>b</sup>(Q−ev). (Ce ph´enom`ene disparaˆıt lorsque l’on se restreint aux objets«constructibles».)

Pour tout objet K ∈ Ob DM^eff_−,´et(η), nous noterons KQ son image dans iso DM^eff_−,´et(η). De mˆeme, pour tout groupe ab´elienH, on poseH_Q:=H⊗ZQ.

D´emonstration de la proposition 3.3.3. — Il suffit de montrer le fait suivant : pour touti∈Zet tout couple de 1-motifs,M etM⁰, le morphisme (?)Extⁱ1-Isomot(η)(M, M⁰)→Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(M_Q, M_Q⁰ [i]) =Hom_D−( ´EtTrans(η))(M, M⁰[i])_Q est un isomorphisme.

Par d´evissage, on peut supposer M et M⁰ purs. De plus, par semi-simplicit´e, si M (resp. M⁰) est pur de poids 0 (resp. −2), on peut supposer que M (resp. M⁰) est isomorphe `a un tore G^eη/ηm :=p∗(G_m/

eη) (resp.Z^eη/η), o`up=ηe→η est fini ´etale.

Nous utiliserons `a plusieurs reprises la proposition suivante :

3.3.5 Proposition ([Voe00], 3.1.9 et 3.1.12). — Soient X un η-sch´ema alg´ebrique lisse et F un faisceau ab´elien ´etale avec transferts, invariant par homotopie. Alors, pour tout entier i∈Z, on a un isomorphisme canonique :

Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(C_•([X])Q,FQ[i])→^∼ Hⁱ_Zar(X,F)Q

3.3.6. D´emonstration de (?) avecM =Z^eη/η[1] pur de poids 0.

On a vu en2.5queM →^∼ C_•(eη)[1] ; d’apr`es3.3.5, on a donc, pour tout 1-motif purM⁰, Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(MQ, M_Q⁰ [i])'Hⁱ⁻¹_Zar(η, Me ⁰)Q.

Si M⁰ = X⁰[1] est pur de poids 0, on a Hⁱ⁻¹_Zar(eη, M⁰)_Q = H⁰_Zar(η, Xe ⁰)_Q si i = 0 et 0 sinon. Ces groupes co¨ıncident bien avec Extⁱ1-Isomot(η)(Z^eη/η[1], X⁰[1]), isomorphe `a Hom_1-Mot(η)(Z^η/ηe , X⁰)Q

pouri= 0. SiM⁰=J⁰ est une vari´et´e semi-ab´elienne pure (i.e.un tore ou une vari´et´e ab´elienne), Hⁱ⁻¹_Zar(η, Je ⁰)_Q est nul sauf ´eventuellement pour i = 1, auquel cas il s’agit de J⁰(eη)_Q. D’un autre cˆot´e, Extⁱ1-Isomot(η)(Z^η/ηe [1], J⁰) est nul sauf ´eventuellement pour i = 1. Dans ce cas, une exten- sion repr´esentant un ´el´ement de Ext¹1-Isomot(η)(Z^η/ηe [1], J⁰) correspond `a un isomotif [Z<sup>η/ηe</sup> →<sup>f</sup> J<sup>0</sup>], uniquement d´efini par la fl`echef ∈J⁰(η)eQ.

hal-00196655, version 1 - 13 Dec 2007

3.3.7. D´emonstration de (?) avecM =G^eη/ηm pur de poids−2.

Il r´esulte de3.1.6et de l’isomorphismeG^eη/ηm

→∼ G^P

1 ηe/η

m queh₋₁(P¹

ηe) est isomorphe `a M. D’apr`es loc. cit., le groupeh₀(P¹

eη) est isomorphe `a Pic_P1

ηe/η, donc `a Z^η/ηe . SoientM⁰ un 1-isomotif pur et i∈Z. Appliquons le foncteurHom_{iso DM}eff

−,´et(η)(−, M_Q⁰ [i]) au triangle distingu´e canonique : h0(P¹

eη)Q[−2]→h₋₁(P¹

ηe)Q →C_•([P¹

eη])Q[−1]→.

Compte-tenu de3.3.5,3.3.6 et des calculs pr´ec´edents, on obtient un triangle distingu´e : Hⁱ⁺¹_Zar(P¹

eη, M⁰)_Q→Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(G^η/η_m^e _Q, M_Q⁰ [i])→Hⁱ⁺²_Zar(eη, M⁰)_Q→. Compte-tenu du diagramme commutatif

C_•([P¹

ηe]) //

h0(P¹

ηe)

isom.

C•([η])e ^isom. //h0(η),e la suite exacte longue pr´ec´edente fait de Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(−, M_Q⁰ [i]) le (i+ 1)-i`eme groupe de cohomologie d’un cˆone C du morphisme :

RΓ_Zar(η, Me ⁰)_Q→RΓ_Zar(P¹

eη, M⁰)_Q associ´e `a la projectionP¹

ηe→eη.

SiM⁰est plac´e en degr´e 0, ce cˆone n’a de cohomologie qu’en degr´e [0,1] carP¹

ηeest de dimension 1. SiM⁰=X⁰[1] est plac´e en degr´e−1, c’est un objet deD^[−1,0]pour la mˆeme raison. Compte-tenu de l’isomorphisme H⁰_Zar(eη, X⁰)→^∼ H⁰_Zar(P¹

ηe, X⁰), ce cˆone n’a pas de cohomologie en degr´e−1. Ainsi, on a montr´e que dans tous les cas, Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(G^η/ηm^e Q, M_Q⁰ [i]) est nul pour i /∈ {−1,0}. Si i∈ {−1,0}, il est peut-ˆetre plus simple de d´emontrer (?) sans utiliser l’interpr´etation pr´ec´edente (voir aussi3.3.8).

Traitons d’abord le casi=−1. SiM⁰ est pur de poids<0,Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(G^η/ηm^e Q, M_Q⁰ [−1]) est trivialement nul, carM_Q⁰ est plac´e en degr´e 0. La nullit´e de Ext⁻¹1-Isomot(η)(M, M⁰) est ´egalement

´

evidente. SiM⁰ =X⁰[1],Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(G^η/ηm^e Q, X_Q⁰ [1][−1]) =Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(G^η/ηm^e Q, X_Q⁰ ) = 0.

Pouri= 0, siM⁰ est une vari´et´e ab´elienneA⁰, on a Hom_{iso DM}eff

−,´et(η)(G^η/η_m^e _Q, A⁰) =HomSchGrp/η(G^η/η_m^e _Q, A⁰)⊗ZQ= 0.

Les autres cas,M⁰=T⁰[0] etM⁰ =X⁰[1], tout aussi faciles, sont laiss´es au lecteur.

3.3.8 Remarque. — On retrouve le fait ´el´ementaire que si A⁰ est une vari´et´e ab´elienne, H¹_Zar(P¹

ηe, A⁰)Q est nul (prendreM⁰ =A⁰, i= 0 et regarder le H¹ deC, dont on vient de montrer la nullit´e par d’autres moyens). Cela r´esulte aussi du fait que le faisceau repr´esent´e par A⁰ est localement constant pour la topologie de Zariski — sur la cat´egorie des sch´emas lisses sur η — (c’est un corollaire du th´eor`eme de Weil sur les applications rationnelles vers un groupe alg´ebrique), donc flasque. Utilisant les r´esultats de [Voe00], 3.1.12 et3.3.4 on voit que c’est aussi vrai pour la topologie ´etale. Ce r´esultat est bien connu (cf.e.g.[Mil86], ii.5.1).

3.3.9. D´emonstration de (?) avecM pur de poids−1.

Il r´esulte de [Kat99], theorem 11, et 3.2.2 que l’on peut supposer M =A facteur direct de la jacobienne Jac d’une η-courbeC propre, lisse, g´eom´etriquement connexe, et poss´edant un point rationnel. Dans la cat´egorie des motifs de Chow effectifs Chow^eff(η) (cf.3.1.5) ce point rationnel induit une d´ecomposition h(C) = Z⊕h1(C)⊕L, (cf. [Sch94], pages 167–172, mais avec une convention contravariante). L’existence d’un foncteur covariant Chow^eff(η)→DM^eff_gm(η), envoyant L sur Z(1)[2], appliqu´e `a cette d´ecomposition, montre que le triangle distingu´e de DM<sup>eff</sup><sub>−</sub>(η), h<sub>1</sub>(C)[1]→C<sub>•</sub>([C])→h<sub>0</sub>(C)→, est scind´e. Le faisceauh<sub>0</sub>(C) est isomorphe `a Pic_C/η, extension

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