Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD6

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 2

Ann´ee 2014-2015 Module 5MF22

Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD6

Exercice 1 :

Soit k un corps etX une k-vari´et´e (sch´ema de type fini sur Spec(k)) affine. Montrer qu’il existe une k-vari´et´e projective dontX est un sous-sch´ema ouvert.

Exercice 2 :

SoitS un anneau gradu´e,X := Proj(S).

a) Soientf, g∈S₊ homog`enes. On suppose D(g)⊂D(f) dansX. Montrer les faits suivants : i) f ∈S^×_g et ^f_gdeg(f)^deg(g) ∈(Sg)^×₀.

ii) il existe e≥1 eta∈S homog`ene tel queg^e =af dansS.

iii) pour tout S-module gradu´e M, il existe un morphisme canonique de S-modules gradu´es Mf →Mg tel que ((Mf)0)_gdeg(f)

fdeg(g)

∼= (Mg)0.

b) Soit A un anneau et M un A-module. Soient f₁, . . . , f_n∈A tels que (f₁, . . . , f_n) =A. Montrer que la suite naturelle

0→M →M

i

M_fi →M

i,j

M_fifj est exacte.

c) SoitM unS-module gradu´e. Montrer qu’il existe un unique faisceau deO_X-modulesF surXtel que F(D(f)) = (M_f)₀ pour tout f ∈S₊ homog`ene (de fa¸con compatible avec les restrictions).

On note ce faisceauF =Mf.

d) Calculer la fibre de Mfen un pointx∈X.

e) Identifier S.e

f) Montrer que l’on d´efinit ainsi un foncteur exactM 7→Mf. g) Montrer que Mfest quasi-coh´erent.

h) Montrer qu’il existe un morphisme canonique

Mf⊗_OX Ne →M^⊗_SN compatible avec le produit tensoriel surD(f).

i) On noteO_X(n) :=S(n). Montrer que l’on des morphismes canoniques] O_X(n)⊗_OX O_X(m)→ O_X(m+n). j) Montrer que l’on a un morphisme canonique

M(n) :=f Mf⊗_OX O_X(n)→M^(n). k) Montrer que l’on a un morphisme canonique deS-modules gradu´es :

M →M

n∈Z

M^(n)(X).

l) Montrer que pour tout f ∈S1, la restriction `a D(f) du morphisme naturelMf(n) →M^(n) est un isomorphisme.

1

m) On suppose que S est engendr´e par S₁ comme S₀-alg`ebre. Montrer que Mf(n) → M^(n) est un isomorphisme.

n) On suppose que S est finiment engendr´e par S₁ comme S₀-alg`ebre. Soit F un faisceau quasi- coh´erent sur X. On note M :=L

d∈ZF(d)(X).

i) Montrer queM est naturellement unS-module gradu´e.

ii) Montrer que l’on a un isomorphisme canonique Mf−→ F^∼ . Exercice 3 :

SoitX un sch´ema,Y un X-sch´ema propre etZ un X-sch´ema s´epar´e.

Montrer que pour tout morphisme de X-sch´emasf :Y →Z,f(Y) est une partie ferm´ee de Z.

Exercice 4 : Soit kun corps et X un k-sch´ema propre, connexe non vide.

a) Soitf ∈ O_X(X).

i) V´erifier que f d´efinit un morphisme dek-sch´emasϕ:X →A¹_k. ii) Montrer que ϕ(X) est un point ferm´e deA¹_k.

iii) En d´eduire qu’il existeP ∈k[X] irr´eductible etn∈Ntels que Pⁿ(f) = 0.

b) On suppose X r´eduit.

i) Montrer queO_X(X) est un corps, et que c’est une extension finie de k.

ii) Que dire si kest alg´ebriquement clos.

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