Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 2
Ann´ee 2014-2015 Module 5MF22
Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD1
Exercice 1 :
SoitHle faisceau surCdes fonctions holomorphes etH×le sous-pr´efaisceau des fonctions inversibles.
a) V´erifier que H× est un faisceau.
b) On consid`ere le morphisme de faisceaux exp : H → H× d´efini par exp(f)(z) := ef(z). Montrer que exp est surjectif et d´ecrire son noyau.
c) Montrer que pour toutn∈Nnon nul, le morphisme de faisceaux H× → H× d´efini par f 7→fn est surjectif et d´ecrire son noyau.
Exercice 2 :
SoitX un espace topologique et P ∈X. Soit A un groupe ab´elien (par exemple).
a) Construire de deux fa¸cons diff´erentes un faisceau F en groupes ab´eliens sur X tel queFQ =A pour tout point Q∈ {P} etFQ= 0 sinon.
b) Montrer que les deux constructions pr´ec´edentes co¨ıncident. Ce faisceau F est appel´e ”faisceau gratte-ciel” enP.
c) Montrer que le foncteur A 7→ F ainsi d´efini est adjoint au foncteur ”fibre en P” d´efini par F 7→ FP.
Exercice 3 :
Soit X un espace topologique, Z ⊂X un ferm´e etU :=X\Z. On note i:Z ,→X etj :U ,→X les inclusions respectives.
a) Soit F un faisceau en groupes ab´eliens sur Z. Montrer que pour tout point P ∈ X, on a (i∗F)P =FP siP ∈Z, et (i∗F)P = 0 sinon.
b) Soit F un faisceau (en groupes ab´eliens) sur U. On note j!F le faisceau sur X associ´e au pr´efaisceau d´efini parV 7→ F(V) siV ⊂U etV 7→0 sinon. Montrer quej!F est l’unique faisceau G surX tel queGP =FP pour toutP ∈U,GP = 0 pour toutP ∈Z, et G|U :=j−1G =F.
c) Montrer que le foncteurj! est adjoint `a gauche au foncteurj−1.
d) V´erifier que l’on dispose d’un morphisme (fonctoriel en F) de faisceaux j!F → j∗F. Est-ce un isomorphisme ?
e) Soit F un faisceau (en groupes ab´eliens) sur X. Montrer que l’on a une suite exacte naturelle de faisceaux surX :
0→j!(F|U)→ F →i∗(F|Z)→0. Exercice 4 :
SoitA un anneau commutatif.
a) Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) L’anneau A est r´eduit.
(ii) Pour tout id´eal premierp de A, l’anneauAp est r´eduit.
(iii) Pour tout id´eal maximalmde A, l’anneauAm est r´eduit.
b) SoitM un A-module. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) Le A-moduleM est plat.
(ii) Pour tout id´eal premierp de A, leAp-moduleMp est plat.
(iii) Pour tout id´eal maximalmde A, leAm-module Mm est plat.
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Exercice 5 :
SoitA un anneau commutatif noeth´erien. SiM est unA-module etm∈M, on note Ann(m) :={a∈ A:am= 0}et Ass(M) :={p∈Spec(A) :∃m∈M,p= Ann(m)}.
a) Montrer que si M 6= 0, alors Ass(M)6=∅. Montrer plus pr´ecis´ement que S
p∈Ass(M)p={a∈A:
∃x∈M\ {0}, ax= 0}.
b) SoitM un A-module de type fini. Montrer qu’il existe une suite de sous-A-modules 0 =M0 ⊂M1 ⊂ · · · ⊂Mn−1 ⊂Mn=M
tels que pour tout 1≤k≤n, il existe pk∈Spec(A) tel que Mk/Mk−1∼=A/pk.
c) Soit 0 → M1 → M2 → M3 → 0 une suite exacte de A-modules. Montrer que Ass(M2) ⊂ Ass(M1)∪Ass(M3).
d) En d´eduire que siM est unA-module de type fini, alors Ass(M) est fini.
e) Montrer que siS ⊂A est une partie multiplicative, alors
AssS−1A(S−1M) = AssA(S−1M) = Ass(M)∩Spec(S−1A).
f) On ne suppose plus forc´ementAnoeth´erien. Montrer qu’un morphisme deA-modules f :An→ An est injectif si et seulement det(f) n’est pas diviseur de 0 dans A (on pourra se ramener au cas noeth´erien, puis au cas local).
g) On note Supp(M) :={p∈Spec(A) :Mp6= 0}. Montrer que Ass(M)⊂Supp(M) et que Ass(M) contient les ´el´ements minimaux de Supp(M).
Exercice 6 :
SoitA un anneau commutatif. UnA-moduleM est dit artinien si toute suite d´ecroissante de sous-A- modules deM est stationnaire. On dit queAlui-mˆeme est artinien siAest artinien commeA-module.
a) Montrer qu’un A-module M est artinien si et seulement si toute famille non vide de sous-A- modules deM admet un ´el´ement minimal.
b) On suppose que A est un corps.
i) Montrer que toute A-alg`ebre de dimension finie est artinienne.
ii) Montrer qu’unA-moduleM est artinien si et seulement si M est unA-espace vectoriel de dimension finie.
c) Soit N ⊂ M un sous-A-module. Montrer que M est artinien si et seulement si N et M/N le sont.
d) On suppose Aint`egre. Montrer que A est artinien si et seulement siA est un corps.
e) On suppose que A est noeth´erien et que tout id´eal premier de A est maximal. Montrer queA est artinien (on pourra consid´erer un id´eal artinien maximal de A et utiliser la question a) de l’exercice 5).
f) Donner un exemple d’anneau artinien qui ne soit pas un corps.
g) On suppose A artinien. L’objectif de cette question est de montrer la r´eciproque de la question e), `a savoir queA est noeth´erien et que tout id´eal premier deA est maximal.
i) Montrer que tout id´eal premier deA est maximal.
ii) Montrer que A n’a qu’un nombre fini d’id´eaux maximaux.
iii) Sim est un id´eal maximal de A, on note m∞ := T
n∈Nmn et κ(m) le corps r´esiduel de m.
Montrer quemn/mn+1 est naturellement unκ(m)-espace vectoriel de dimension finie et en d´eduire queA/m∞ est un anneau noeth´erien.
iv) Montrer que le morphisme A→Q
m∈Spec(A)A/m∞ est surjectif. On noteraK∞ son noyau.
v) Montrer que pour tout id´eal maximal m de A, K∞.m = K∞. On note J := Ann(K∞) = {x∈A:∀y∈K∞, xy= 0}.
vi) On supposeJ 6=A. Montrer qu’il existe un id´ealJ0 de A contenantJ tel queJ0/J soit un A-module simple. En d´eduire une contradiction.
vii) Montrer queA→Q
m∈Spec(A)A/m∞ est un isomorphisme.
viii) Conclure.
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