Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD1

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 2

Ann´ee 2014-2015 Module 5MF22

Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD1

Exercice 1 :

SoitHle faisceau surCdes fonctions holomorphes etH^×le sous-pr´efaisceau des fonctions inversibles.

a) V´erifier que H^× est un faisceau.

b) On consid`ere le morphisme de faisceaux exp : H → H^× d´efini par exp(f)(z) := e^f(z). Montrer que exp est surjectif et d´ecrire son noyau.

c) Montrer que pour toutn∈Nnon nul, le morphisme de faisceaux H^× → H^× d´efini par f 7→fⁿ est surjectif et d´ecrire son noyau.

Exercice 2 :

SoitX un espace topologique et P ∈X. Soit A un groupe ab´elien (par exemple).

a) Construire de deux fa¸cons diff´erentes un faisceau F en groupes ab´eliens sur X tel queF_Q =A pour tout point Q∈ {P} etF_Q= 0 sinon.

b) Montrer que les deux constructions pr´ec´edentes co¨ıncident. Ce faisceau F est appel´e ”faisceau gratte-ciel” enP.

c) Montrer que le foncteur A 7→ F ainsi d´efini est adjoint au foncteur ”fibre en P” d´efini par F 7→ F_P.

Exercice 3 :

Soit X un espace topologique, Z ⊂X un ferm´e etU :=X\Z. On note i:Z ,→X etj :U ,→X les inclusions respectives.

a) Soit F un faisceau en groupes ab´eliens sur Z. Montrer que pour tout point P ∈ X, on a (i∗F)_P =F_P siP ∈Z, et (i∗F)_P = 0 sinon.

b) Soit F un faisceau (en groupes ab´eliens) sur U. On note j_!F le faisceau sur X associ´e au pr´efaisceau d´efini parV 7→ F(V) siV ⊂U etV 7→0 sinon. Montrer quej!F est l’unique faisceau G surX tel queG_P =F_P pour toutP ∈U,G_P = 0 pour toutP ∈Z, et G_|U :=j⁻¹G =F.

c) Montrer que le foncteurj! est adjoint `a gauche au foncteurj⁻¹.

d) V´erifier que l’on dispose d’un morphisme (fonctoriel en F) de faisceaux j_!F → j∗F. Est-ce un isomorphisme ?

e) Soit F un faisceau (en groupes ab´eliens) sur X. Montrer que l’on a une suite exacte naturelle de faisceaux surX :

0→j!(F_|U)→ F →i∗(F_|Z)→0. Exercice 4 :

SoitA un anneau commutatif.

a) Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) L’anneau A est r´eduit.

(ii) Pour tout id´eal premierp de A, l’anneauA_p est r´eduit.

(iii) Pour tout id´eal maximalmde A, l’anneauAm est r´eduit.

b) SoitM un A-module. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) Le A-moduleM est plat.

(ii) Pour tout id´eal premierp de A, leAp-moduleMp est plat.

(iii) Pour tout id´eal maximalmde A, leA_m-module M_m est plat.

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Exercice 5 :

SoitA un anneau commutatif noeth´erien. SiM est unA-module etm∈M, on note Ann(m) :={a∈ A:am= 0}et Ass(M) :={p∈Spec(A) :∃m∈M,p= Ann(m)}.

a) Montrer que si M 6= 0, alors Ass(M)6=∅. Montrer plus pr´ecis´ement que S

p∈Ass(M)p={a∈A:

∃x∈M\ {0}, ax= 0}.

b) SoitM un A-module de type fini. Montrer qu’il existe une suite de sous-A-modules 0 =M₀ ⊂M₁ ⊂ · · · ⊂Mn−1 ⊂M_n=M

tels que pour tout 1≤k≤n, il existe p_k∈Spec(A) tel que Mk/Mk−1∼=A/pk.

c) Soit 0 → M₁ → M₂ → M₃ → 0 une suite exacte de A-modules. Montrer que Ass(M₂) ⊂ Ass(M₁)∪Ass(M₃).

d) En d´eduire que siM est unA-module de type fini, alors Ass(M) est fini.

e) Montrer que siS ⊂A est une partie multiplicative, alors

Ass_S⁻¹_A(S⁻¹M) = AssA(S⁻¹M) = Ass(M)∩Spec(S⁻¹A).

f) On ne suppose plus forc´ementAnoeth´erien. Montrer qu’un morphisme deA-modules f :Aⁿ→ Aⁿ est injectif si et seulement det(f) n’est pas diviseur de 0 dans A (on pourra se ramener au cas noeth´erien, puis au cas local).

g) On note Supp(M) :={p∈Spec(A) :Mp6= 0}. Montrer que Ass(M)⊂Supp(M) et que Ass(M) contient les ´el´ements minimaux de Supp(M).

Exercice 6 :

SoitA un anneau commutatif. UnA-moduleM est dit artinien si toute suite d´ecroissante de sous-A- modules deM est stationnaire. On dit queAlui-mˆeme est artinien siAest artinien commeA-module.

a) Montrer qu’un A-module M est artinien si et seulement si toute famille non vide de sous-A- modules deM admet un ´el´ement minimal.

b) On suppose que A est un corps.

i) Montrer que toute A-alg`ebre de dimension finie est artinienne.

ii) Montrer qu’unA-moduleM est artinien si et seulement si M est unA-espace vectoriel de dimension finie.

c) Soit N ⊂ M un sous-A-module. Montrer que M est artinien si et seulement si N et M/N le sont.

d) On suppose Aint`egre. Montrer que A est artinien si et seulement siA est un corps.

e) On suppose que A est noeth´erien et que tout id´eal premier de A est maximal. Montrer queA est artinien (on pourra consid´erer un id´eal artinien maximal de A et utiliser la question a) de l’exercice 5).

f) Donner un exemple d’anneau artinien qui ne soit pas un corps.

g) On suppose A artinien. L’objectif de cette question est de montrer la r´eciproque de la question e), `a savoir queA est noeth´erien et que tout id´eal premier deA est maximal.

i) Montrer que tout id´eal premier deA est maximal.

ii) Montrer que A n’a qu’un nombre fini d’id´eaux maximaux.

iii) Sim est un id´eal maximal de A, on note m^∞ := T

n∈Nmⁿ et κ(m) le corps r´esiduel de m.

Montrer quemⁿ/mⁿ⁺¹ est naturellement unκ(m)-espace vectoriel de dimension finie et en d´eduire queA/m^∞ est un anneau noeth´erien.

iv) Montrer que le morphisme A→Q

m∈Spec(A)A/m^∞ est surjectif. On noteraK^∞ son noyau.

v) Montrer que pour tout id´eal maximal m de A, K^∞.m = K^∞. On note J := Ann(K^∞) = {x∈A:∀y∈K^∞, xy= 0}.

vi) On supposeJ 6=A. Montrer qu’il existe un id´ealJ⁰ de A contenantJ tel queJ⁰/J soit un A-module simple. En d´eduire une contradiction.

vii) Montrer queA→Q

m∈Spec(A)A/m^∞ est un isomorphisme.

viii) Conclure.

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