Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 2
Ann´ee 2014-2015 Module 5MF22
Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD2
Exercice 1 :
SoitA un anneau commutatif. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes : a) Spec(A) n’est pas connexe.
b) Il existe e∈A\ {0,1}tel que e2 =e.
c) Il existe des anneaux non nuls A1 etA2 tels queA∼=A1×A2. Exercice 2 :
SoitA un anneau, f ∈AetI ⊂Aun id´eal.
Comparer les espaces topologiques Spec(A/I) etV(I) (resp. Spec(Af) et D(f)).
Exercice 3 : SoitK un corps.
a) Montrer que siA=K[X1, . . . , Xn] etI est un id´eal deA, alors
√
I = \
I⊂mmaximal
m.
b) ´Etendre cette propri´et´e `a uneK-alg`ebre de type finiA quelconque.
c) Montrer que siAest uneK-alg`ebre de type fini, alors les points ferm´es sont denses dans Spec(A).
d) Donner un exemple deK-alg`ebreAtelle que les points ferm´es ne soient pas denses dans Spec(A).
e) SoientAetB deuxK-alg`ebres de type fini et f :A→B un morphisme deK-alg`ebres. Montrer que Spec(f) : Spec(B) → Spec(A) envoie tout point ferm´e de Spec(B) sur un point ferm´e de Spec(A).
f) Donner ´egalement un contre-exemple, i.e. un morphisme de K-sch´emas affines Spec(B) → Spec(A) ne pr´eservant pas les points ferm´es.
Exercice 4 :
a) D´ecrire l’espace topologique Spec(A), les anneaux locaux et les corps r´esiduels en tous points, dans les cas suivants (k d´esigne un corps) :A={0},Z,k,kn,k[X],k[X]/(Xn),Z[i], Z[X].
b) Soientketldeux corps. `A quelle condition les deux espaces topologiques Spec(l[X]) et Spec(k[X]) sont-ils hom´eomorphes ?
Exercice 5 : SoitA un anneau.
a) Montrer que Spec(A) est quasi-compact.
b) Montrer que siA est noeth´erien, alors Spec(A) est noeth´erien.
c) Construire un exemple d’anneau Anon noeth´erien tel que Spec(A) soit noeth´erien.
d) Montrer que A est int`egre si et seulement siA est r´eduit et Spec(A) est irr´eductible.
Exercice 6 :
a) Donner un exemple d’anneau Aet d’un ouvert non principal de Spec(A).
b) SoitK un corps de nombres etA=OK son anneau d’entiers. En utilisant la finitude du nombre de classes d’id´eaux deA, montrer que tout ouvert de Spec(A) est principal. En d´eduire que tout sous-sch´ema ouvert de Spec(A) est affine.
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c) Montrer que siA est un anneau int`egre, alors
A= \
m⊂Amaximal
Am,
l’intersection ´etant prise dans Frac(A).
d) SoitA un anneau int`egre noetherien normal (int´egralement clos dans FracA) de dimension ≤1, i.e. un anneau de Dedekind. Montrer que tout sous-sch´ema ouvert de Spec(A) est affine (on pourra se ramener au cas du compl´ementaire d’un point ferm´e dans Spec(A) et utiliser le fait qu’un anneau de Dedekind local est un anneau de valuation discr`ete).
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