Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 2

Ann´ee 2014-2015 Module 5MF22

Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas

Devoir ` a la maison ` a rendre le 10 d´ ecembre 2014

Exercice 1 :

Soit k un corps, on note K := k(Tn)n∈N et Γ := Z^(N) le groupe ab´elien des suites d’entiers nulles `a partir d’un certain rang, ordonn´e par l’ordre lexicographique : (xn) <(yn) si et seulement s’il existe n₀∈Ntel quex_n=y_n pour toutn < n₀ etx_n0 < y_n0. On note enfin (e_n)n∈N la base canonique de Γ.

a) V´erifier que la relation d’ordre sur Γ est une relation d’ordre totale compatible `a la loi de groupe.

b) Montrer qu’il existe une unique valuation v :K^∗ → Γ telle que v(T_n) =e_n pour tout n∈N et v(k^∗) = 0.

On rappelle qu’une valuation est un morphisme de groupes v : K^∗ → Γ tel que v(x+y) ≥ min{v(x), v(y)}pour toutx, y∈K^∗ (par convention, on posev(0) :=∞, avecγ <∞pour tout γ ∈Γ).

c) On note O_v := {x ∈K :v(x) ≥ 0}. Montrer que O_v est un anneau local dont on d´eterminera l’id´eal maximal m_v.

d) Pour tout n∈N, on d´efinit I_n:={x∈K:v(x)≥en}. Montrer queI_n est un id´eal deO_v. e) Montrer que l’id´ealI_n n’est pas satur´e, puis quep_n:=√

I_n est un id´eal premier deO_v. f) Montrer que m_v est la r´eunion croissante des p_n.

g) Quelle est la dimension de l’anneau O_v?

h) On d´efinit θ : Γ\ {0} →N parθ((u_n)) := min{n∈N:u_n 6= 0}. Soit p un id´eal premier de O_v. Montrer que si θ(v(p)) est major´e, alors p est contenu dans l’un des p_n. Montrer aussi que si θ(v(p)) n’est pas major´e, alors p=m_v.

i) On d´efinitX comme le sous-sch´ema ouvertX := Spec(O_v)\ {m_v} de Spec(O_v). Montrer queX est un sch´ema non vide sans point ferm´e.

Exercice 2 :

SoitS un sch´ema. On rappelle qu’unO_S-moduleQ est dit localement libre de rang r si tout point de S poss`ede un voisinage ouvert U tel queQ<sub>|U</sub> soit isomorphe `a O_U^r.

On d´efinit alors

G(k, n)(S) :={(Q, q) ;Q localement libre surS de rangn−ketq :Oⁿ_S→ Q morphisme surjectif}/∼, o`u ∼est la relation naturelle d’isomorphisme entre deux couples (Q, q) et (Q⁰, q⁰).

a) Expliciter la relation ∼.

b) Montrer que G(k, n) d´efinit naturellement un foncteur G: Sch´emas→Ensembles.

c) Montrer que pour tout sch´emaS, la restriction du foncteur Gaux ouverts de S est un faisceau surS.

d) Notons I l’ensemble des parties de {1, . . . , n} de cardinal n−k. Pour I = {i₁, . . . , in−k} ∈ I (aveci_p < i_p+1) et pour un sch´emaS, on noteι_I :O_S^n−k → O_Sⁿle morphisme envoyant la section (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) deO_S^n−k(S) (avec un 1 enj-i`eme position) sur la section (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) deO<sub>S</sub><sup>n</sup>(S) (avec un 1 eni<sub>j</sub>-i`eme position), pour tout 1≤j≤n−k. On d´efinit enfinG_I(S) comme les classes (Q, q) dans G(S) telles queq◦ιI est surjectif.

i) Montrer que pour toutI ∈ I,G_I d´efinit bien un sous-foncteur de G.

ii) Soit S un sch´ema et q ∈ G(S). Montrer que U_I(q) := {s ∈ S : (q ◦ι_I)_s : O^n−k_S,s → Q_s surjective} est un ouvert de S.

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iii) Montrer qu’un point s ∈ S est dans U_I(q) si et seulement si l’application κ(s)^n−k → Q_s/m_sQ_s induite par (q◦ι_I)_s est surjective.

iv) Soit f : T → S, t ∈ T. On pose s := f(t). Montrer que s ∈ U_I(q) si et seulement si t∈UI(f^∗q).

v) Montrer qu’un morphismef :T →Sse factorise parUI(q) si et seulement sif^∗(q)∈GI(T).

e) Montrer que les sous-foncteurs GI, I ∈ I, recouvrent le foncteur Gau sens suivant : pour tout sch´ema S, pour toutq∈G(S), il existe un recouvrement ouvert S=S

I∈IV_I tel que pour tout I,q_|VI ∈G_I(V_I).

f) Montrons que G_I est repr´esentable :

i) SoitSun sch´ema etF,Gdeux faisceaux localement libres de mˆeme rang fini. Montrer qu’un morphisme ϕ:F → G est un isomorphisme si et seulement si il est surjectif.

ii) Montrer que le foncteurG_I est isomorphe au foncteur S7→Q

j /∈IO^n−k_S (S).

iii) Montrer que le foncteurG_I est repr´esentable par un sch´ema G_I isomorphe `aA^k(n−k)_Z . g) Montrons que Gest repr´esentable :

i) On note q_I ∈G_I(G_I) l’objet universel. Montrer qu’il existe un recouvrement ouvert G_I = S

JUI,J et des isomorphismes canoniquesϕI,J :UI,J →UJ,I tels queϕI,J =ϕ⁻¹_J,I.

ii) Montrer que pour tout triplet (I, J, K) d’´el´ements deux-`a-deux distincts deI, on aϕI,J(UI,K∩ UI,J) =UJ,I∩UJ,K etϕJ,K ◦ϕI,J =ϕI,K.

iii) En d´eduire queGest repr´esentable par un sch´ema quasi-compact not´e G(k, n).

h) Montrer que le sch´ema G(k, n) est canoniquement muni d’un faisceau G_k,n localement libre de rang n−k v´erifiant la propri´et´e universelle suivante : pour tout sch´ema X, pour toute surjectionq :Oⁿ_X → QavecQ localement libre de rangn−k, il existe un morphisme de sch´emas f :X →G(k, n) tels queQ soit isomorphe `a f^∗G_k,n.

i) SoitK un corps. D´ecrire explicitement G(k, n)(Spec(K)).

j) SoitS un sch´ema etE unO_S-modules localement libre de rangn. Montrer que le foncteur (d´efini sur la cat´egorie des S-sch´emas)

G(k,E)_S(T) :={(Q, q) ;Q localement libre de rang n−k surT , q:E_T → Q surjectif}/∼ est repr´esentable par un S-sch´ema G(k,E)_S, et que ce sch´ema est canoniquement muni d’un O_S-module G_k,E localement libre de rang n−k v´erifiant une propri´et´e universelle (que l’on explicitera) analogue `a celle de la question h).

k) Quel est le lien entreG(k, n) et G(k,E)_S?

l) Si f :T →S est un morphisme de sch´ema, comparer G(k, f^∗E)_T et G(k,E)_S, ainsi que G_k,E et G_k,f^∗E.

m) Avec les notations des questions pr´ec´edentes, soitK un corps ets: Spec(K)→Sun morphisme de sch´ema. D´ecrire l’ensemble desS-morphismes de sch´emas Spec(K)→G(k,E)_S.

n) Montrer que l’on a un isomorphisme canonique de sch´emasG(n, n+ 1)−^∼→Pⁿ_Z.

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