Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 2
Ann´ee 2014-2015 Module 5MF22
Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD4
Exercice 1 :
SoitX = Spec(A) un sch´ema affine etF un faisceau quasi-coh´erent sur X.
a) Soitf ∈A ets∈ F(X). Montrer que la restriction de s`aF(D(f)) est nulle si et seulement s’il existen∈Ntel quefns= 0.
b) Soit f ∈ A et t ∈ F(D(f)). Montrer qu’il existe n ∈ N tel que fnt s’´etende en une section s∈ F(X).
c) Soit une suite exacte de OX-modules
0→ F1 → F2 → F3→0, telle que F1 est quasi-coh´erent.
Montrer que la suite
0→ F1(X)→ F2(X)→ F3(X)→0 est exacte.
Exercice 2 :
SoitX un sch´ema noeth´erien etF un faisceau coh´erent sur X.
a) Soitx∈X. Montrer que Fx est unOX,x-module libre si et seulement s’il existe un ouvertU de X contenantx tel queF|U est libre.
b) Montrer que F est localement libre si et seulement si Fx est un OX,x-module libre pour tout x∈X.
c) Montrer que F est localement libre de rang 1 si et seulement s’il existe un faisceau coh´erent G tel queF ⊗ G ∼=OX (on dit queF est inversible).
Exercice 3 :
Soitk un corps,sett deux ind´etermin´ees sur k.
On cherche `a d´ecrire le sch´ema Spec(k(s))×SpeckSpec(k(t)).
a) On noteS l’ensemble des ´el´ements non nuls dek[t]. Montrer que l’on a un isomorphisme naturel d’anneauxk(s)⊗kk(t) =S−1(k(s)[t]).
b) Montrer que l’anneau k(s)⊗kk(t) est un anneau noeth´erien int`egre de dimension 1 ayant une infinit´e d’id´eaux maximaux. En particulier, l’espace topologique sous-jacent `a Spec(k(s))×Speck Spec(k(t)) est un ensemble infini.
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