Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD4

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 2

Ann´ee 2014-2015 Module 5MF22

Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD4

Exercice 1 :

SoitX = Spec(A) un sch´ema affine etF un faisceau quasi-coh´erent sur X.

a) Soitf ∈A ets∈ F(X). Montrer que la restriction de s`aF(D(f)) est nulle si et seulement s’il existen∈Ntel quefⁿs= 0.

b) Soit f ∈ A et t ∈ F(D(f)). Montrer qu’il existe n ∈ N tel que fⁿt s’´etende en une section s∈ F(X).

c) Soit une suite exacte de O_X-modules

0→ F₁ → F₂ → F₃→0, telle que F₁ est quasi-coh´erent.

Montrer que la suite

0→ F₁(X)→ F₂(X)→ F₃(X)→0 est exacte.

Exercice 2 :

SoitX un sch´ema noeth´erien etF un faisceau coh´erent sur X.

a) Soitx∈X. Montrer que F_x est unO_X,x-module libre si et seulement s’il existe un ouvertU de X contenantx tel queF_|U est libre.

b) Montrer que F est localement libre si et seulement si F_x est un O_X,x-module libre pour tout x∈X.

c) Montrer que F est localement libre de rang 1 si et seulement s’il existe un faisceau coh´erent G tel queF ⊗ G ∼=O_X (on dit queF est inversible).

Exercice 3 :

Soitk un corps,sett deux ind´etermin´ees sur k.

On cherche `a d´ecrire le sch´ema Spec(k(s))×_SpeckSpec(k(t)).

a) On noteS l’ensemble des ´el´ements non nuls dek[t]. Montrer que l’on a un isomorphisme naturel d’anneauxk(s)⊗_kk(t) =S⁻¹(k(s)[t]).

b) Montrer que l’anneau k(s)⊗_kk(t) est un anneau noeth´erien int`egre de dimension 1 ayant une infinit´e d’id´eaux maximaux. En particulier, l’espace topologique sous-jacent `a Spec(k(s))×_Speck Spec(k(t)) est un ensemble infini.

1