Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD3

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 2

Ann´ee 2014-2015 Module 5MF22

Introduction ` a la th´ eorie des sch´ emas TD3

Exercice 1 :

Soit f :A→B un morphisme d’anneaux commutatifs. On noteφ:X= Spec(B)→Y = Spec(A) le morphisme induit entre espaces topologiques.

a) Montrer quef est injectif si et seulement si le morphismeO_Y →φ∗O_X est injectif. Montrer que dans ce cas, le morphismeφest dominant.

b) Montrer que si f est surjectif, alors φ est un hom´eomorphisme de X sur un ferm´e de Y et le morphisme O_X →φ∗O_Y est surjectif.

c) Montrer la r´eciproque de la question b).

Exercice 2 :

SoitX un sch´ema. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes : a) Pour tout ouvert U de X, l’anneauO_X(U) est r´eduit.

b) Il existe un recouvrement X =S

iUi de X par des ouverts affines Ui tels que l’anneau O_X(Ui) est r´eduit pour touti.

c) Pour tout point x∈X, l’anneauO_X,x est r´eduit.

Exercice 3 : SoitX un sch´ema.

a) Soitf ∈ O_X(X). On noteX_f l’ensemble des pointsxdeXtels quef(x)6= 0 dansκ(x). Montrer queX_f est un ouvert de X.

b) Montrer que X est quasi-compact si et seulement si X admet un recouvrement fini par des ouverts affines.

c) On suppose d´esormaisX quasi-compact.

i) Montrer que siX est non vide, alorsX a un point ferm´e.

ii) Soient a, f ∈ O_X(X), montrer que la restriction de a`a O_X(Xf) est nulle si et seulement s’il existen≥0 tel que fⁿa= 0.

iii) Montrer que le morphisme canoniqueX→Spec(O_X(X)) est d’image dense.

iv) On suppose maintenant queX admet un recouvrement fini par des ouverts affines dont les intersections deux-`a-deux sont quasi-compactes. Montrer que pour toutf ∈ O_X(X) et tout b ∈ O_Xf(X_f), il existe n ∈ N tel que fⁿb soit la restriction d’un ´el´ement de O_X(X). En d´eduire queO_Xf(X_f)∼=O_X(X)_f.

v) Montrer qu’un sch´ema noeth´erien v´erifie les hypoth`eses de la question pr´ec´edente.

Exercice 4 :

Soit A un anneau commutatif et G un groupe fini d’automorphismes deA. On note par A^G le sous- anneau deA form´e des ´el´ementsG-invariants. Soit p: Spec(A)→Spec(A^G) le morphisme induit par l’inclusionA^G →A.

a) Montrer que A est uneA^G-alg`ebre enti`ere. En d´eduire que p est surjective.

b) Montrer que Gagit naturellement sur Spec(A). Soit x, y∈Spec(A). Montrer quep(x) =p(y) si et seulement s’il existeg∈Gtel queg(x) =y.

c) Soit a ∈A. ´Ecrivons Q

g∈G(T −g(a)) = Tⁿ+bn−1Tⁿ⁻¹ +...+b1T +b0 dans A^G[T]. Montrer quep(D(a)) =S

iD(b_i). En d´eduire que p est ouverte.

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d) Soit b ∈ A^G. Montrer que p⁻¹(D(b)) = D(bA), et que (A^G)_b = (A_b)^G. Montrer aussi que, si V ⊂Spec(A^G) est ouvert, alors Gagit sur le sous-sch´ema p⁻¹(V) de Spec(A), et queO_V(V) = O_p⁻¹_(V)(p⁻¹(V))^G.

e) Montrer que p est un morphisme quotient de Spec(A) parG dans la cat´egorie des sch´emas, i.e.

quep◦g=p pour toutg ∈Get que p est universel pour cette propri´et´e. Autrement dit, pour tout sch´ema X, tout morphisme f : Spec(A) −→ X, v´erifiant f ◦g = f pour tout g ∈ G, se factorise de mani`ere unique par p.

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