G108 – La partie de volley-ball Solution
Le graphe ci-après décrit les chemins possibles à partir du score de 19 partout selon que l’équipe A ou l’équipe B sert la balle après avoir acquis le 19ème point.
Cas n°1 : l’équipe A sert la balle à l’issue du score 19-19
On constate que le score de 21-19 peut être obtenu soit à l’avantage de l’équipe A en suivant les arcs [1] et [2] du graphe en couleur bleue soit à l’avantage de l’équipe B en suivant les arcs [3] et [4] en couleur rouge.
La probabilité attachée à l’arc [1] est égale à p/(1-pq). En effet ou bien A après avoir servi la balle gagne le premier échange (probabilité p) ou bien A le perd et gagne les deux échanges suivants pour retrouver le service de la balle et gagner le 20ème point (probabilité qp ) ou 2 bien perd, gagne, perd, puis gagne deux fois de suite (probabilité q2p3) etc… Pr[1] =
pq) p/(1 ...) p
q p q qp
p.(1 2 2 3 3 . Il est facile de vérifier que la probabilité attachée à l’arc [2] est la même. Pr[2] = p/(1-pq)
La probabilité attachée à l’arc [3] est obtenue selon le même raisonnement. B gagne le premier échange pour prendre le service de la balle puis gagne à nouveau (probabilité q ) ou 2 gagne le 1er échange, perd le 2ème, gagne les deux suivants (probabilité pq ) etc… 3 Pr[3] =
pq) /(1 q ...) p
q p q qp .(1
q2 2 2 3 3 2 . Par symétrie avec l’arc [2], comme B sert la balle après avoir gagné le 20ème point, la probabilité attachée à l’arc [4] est égale à q/(1-pq).
D’où la probabilité d’obtenir le score de 21-19 égale à P = Pr[1].Pr[2] + Pr[3].Pr[4] =
2 3
2 q )/(1 pq)
(p
Cas particulier p=q=1/2 . On a P = 2/3 avec Pr[1]=Pr(2]=2/3 , Pr[3]=1/3 et Pr[4]=2/3
Cas n°1 : l’équipe B sert la balle à l’issue du score 19-19
Ce sont les arcs [5] et [2] d’une part et [6] et [4] d’autre part qui décrivent les parcours respectifs des équipes A et B. La probabilité P d’obtenir un score de 21-19 est tout simplement obtenue en permutant p et q dans la formule précédente. D’où P =
2 2
3 q )/(1 pq)
(p .
Lorsque p=q=1/2, on retrouve bien évidemment P = 2/3.
