G105-Jouons au Yam
Solution
L’arborescence ci-dessous décrit toutes les configurations possibles à l’issue des 1er, 2ème et 3ème lancers identifiés par trois niveaux successifs.
A l’issue du 1er lancer, il y a 65 = 7776 séquences possibles de 5 entiers compris entre 1 et 6 qui peuvent de décomposer de la manière suivante :
- 5 faces identiques a (par ex. 3,3,3,3,3). C’est ce qu’on appelle le Yam « sec ». Il y a 6 séquences possibles correspondant aux 6 numéros inscrits sur les dés.
- 4 faces identiques a, 1 face b (par ex. 2,4,2,2,2,2). Il y a 150 séquences possibles. Cas (A) - 3 faces identiques a, 2 faces b ou 1 face b et 1 face c (par ex. 5,4,4,5,5 ou 2,6,3,2,2). Il y a
1500 séquences possibles. Cas (B)
- 2 faces identiques a, 2 faces b,1 face c ou 2 faces a,1 face b, 1face c, 1 face d (par ex.6,2,3,3,5). Il y a 5400 séquences possibles. Cas (C)
- 1 face identique a, 1 face b, 1 face c, 1face d, 1face e (par ex. 4,6,2,3,5). Il y a 720 séquences possibles. Cas (D)
On vérifie que le somme totale des séquences redonne bien 7776.
Dans tous les cas A à D, on décide logiquement de garder les faces a (ou la face a) obtenues et de relancer les dés qui n’étaient pas tombés sur la face a.
Les probabilités calculées ci-après sont identifiées en couleur bleu quand elles résultent du 1er lancer, en rouge quand elles sont le résultat du 2ème lancer et en vert à l’issue du 3ème lancer.
Les probabilités résultantes sont en caractères noirs.
La probabilité d’avoir un Yam sec à l’issue du 1er lancer est 1/ 64= 6 / 7776 .
Si on est dans la position A, on lance le cinquième une fois ou deux fois en vue d’obtenir un Yam soit au 2ème tour soit au 3ème tour. La probabilité d’obtenir un Yam est 150 / 7776*[1/6 + 5/6*1/6]=1650 / 279936 = 1650 / 67
Si on est dans la position B, on lance 2 dés au 2ème tour puis 0,1 ou 2 dés selon les résultats du 2ème lancer. La probabilité d’obtenir un Yam est alors 1500 / 7776 * [1/36 + 10/36*1/6 + 25/36*1/36] = 181500 / 10077696 = 181500 / 69
Si on est dans la position C, on lance 3 dés au 2ème tour et selon les résultats on relance 0,1,2 ou 3 dés avec l’objectif d’obtenir un Yam de a ou un Yam de b. La probabilité
correspondante est définie par :
5400 / 7776 * [1/216 + 15/216 * 1/6 + 75/216 * 1/36 +120/216 * 1/216 +5/216 * 1/36] = 5650 / 279936 = 5650 / 67
Si enfin on est dans la situation D, on lance 4 dés au 2ème tour et selon les résultats, on relance 0,1,2,3,4 dès avec l’objectif d’obtenir un Yam de a ou Yam de b. La probabilité
correspondante est définie par :
720 / 7776 *[ 1/1296 + 20/1296 * 1/6 + 150/1296 * 1/36 + 480/1296 * 1/216 + 20/1296
*1/36 + 5/1296 *1/6 + 80/1296 * 1/36 + 60/1296 *1/216 +360/1296 *1/216 +120/1296 * 1/216] = 70720 / 60466176 = 70720 / 610
En conclusion, la probabilité d’obtenir un Yam qui est la somme des 5 probabilités partielles précédemment calculées est égale à 2783176 / 60466176 = 347897 / 7558272 = 0,0460286…
Cette probabilité laisse entendre qu’avec des parties de Yam jouées avec deux joueurs, un Yam est obtenu en moyenne toutes les 10 à 11 parties.
