Enoncé E677 (Diophante) Une issue certaine
Deux entiers positifs distinctsaetbsont écrits au tableau. Au premier tour, on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction ab
|a−b|. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu’après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un entier c.
Application numérique : a= 2016 etb= 2044. Déterminercet le nombre de tours correspondant.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Supposonsa < bet écrivons sur un tableau annexe les inverses des nombres du tableau.
Au début, ce sont 1/a et 1/b; après le premier tour, 1/b et 1/a−1/b; si bb/ac=q, on a successivement 1/bet 1/a−2/b, . . ., 1/bet 1/a−q/baprès le q-ième tour.
Cependant, si r = 0 (b divisible par a), le processus s’est arrêté au bout de q−1 tours avec deux nombres 1/bsur le tableau annexe, soit c=bsur le premier tableau.
Si b=aq+r avec r 6= 0, le premier tableau porteb et b/r après q tours.
On a a
b = 1
q+r/a = 1 q+
1
a/r avec la convention d’écriture des fractions continues (chaque expression à partir de la droite s’ajoute au dénominateur situé immédiatement à sa gauche).
La suite des diviseursa, r, . . . est strictement décroissante, et les divisions sont celles de l’algorithme d’Euclide pour le PGCD.
Les nombres du tableau annexe sont des combinaisons linéaires à coeffi- cients entiers de 1/aet 1/b; ce sont les quotients parabde différences suc- cessives entre entiers de la formeua−vb, et dont la valeur finale que donne l’algorithme est d = P GCD(a, b). Dans le premier tableau, les nombres égaux sont alors c=ab/d=P P CM(a, b).
Application numérique : a = 2016 = 72d, b = 2044 = 73d, d = 28, c= 73a= 72b= 147168.
Au premier tableau, on a (a, b), après le premier tour (b =c/72, c), puis (c/71, c), . . ., (c/2, c), et (c, c) après 72 tours.
Le nombre de tours, dans le cas général, s’obtient à partir des coefficients du développement en fraction continue : c’est la somme de ces coefficients, diminuée de 1. Par exemple, avec 17 et 29
17 29 = 1
1+
1 1+
1 2+
1 2+
1 2,
il faut (1 + 1 + 2 + 2 + 2)−1 = 7 tours, les étapes étant 17, 29
29, 493/12 493/12, 493/5, 493/7, 493/5 493/5, 493/2 493/3, 493/2 493/2, 493 493, 493 =c.