G274. Les quatre ouvrages
Diophante et trois de ses petits enfants ont acheté des livres de récréations mathématiques adaptées à leurs âges. Les quatre ouvrages ont des nombres de pages distincts,celui du troisième enfant comportant une page de moins que celui du deuxième. Chacun choisit dans son propre livre un certain nombre de pages, pas nécessairement consécutives, puis calcule le nombre des combinaisons possibles sans tenir compte de l’ordre des pages choisies. Les quatre résultats obtenus sont identiques. Sachant que le troisième enfant a choisi une page de plus que le deuxième,déterminer les nombres de pages des quatre ouvrages.
Pour le deuxième enfant, soit N le nombre de pages de son livre, et P le nombre de pages qu'il a choisies.
Le nombre de combinaisons de P parmi N égale le nombre de combinaisons de P+1 parmi N-1.
N!/((P!) .(N-P)!) = (N-1) !/((P+1) ! . (N-P- 2)!) se simplifie en (P+1).N = (N-P).(N-P-1), puis N² – 3NP + P² – 2N + P = 0.
En multipliant par 20 on se ramène à : 5.(2N-3P-2)² – (5P+4)² = 4 L'équation 5U² – V² = 4 admet une infinité de solutions :
U 1 2 5 13 34 89
V 1 4 15 29 76 199
On les obtient par Un+1 = 3Un – Un-1 et Vn+1 = 3Vn -Vn-1.
Il faut restreindre ce tableau aux seuls cas où V – 4 est multiple de 5 :
U 13 89 610 4181 28657
V 29 199 1364 9349 64079
P 5 39 272 1869 12815
N 15 104 714 4895 33552
On a bien C155 = C146 = 3003, C10439 = C10340 etc.. mais les ouvrages pour enfants n'ont jamais un très grand nombre de pages.
On peut chercher d'autres solutions pour Cnp = 3003.
Avec P=1 on a évidemment N=3003 .
Avec P=2 il vient N.(N-1)/2 = 3003, N² – N = 6006, or √6006 = 77,49 et 78² -78 = 6006.
Pas d'autre solution en essayant P=3 ou P=4.
Résultats : C155 = C146 = C30031 = C782 = 3003.
Une réponse possible : les ouvrages ont 14, 15, 78, 3003 pages.
