On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n. Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 et 5 sont premiers avec 6.
Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que: φ(φ(φ(..r(n) fois ..(φ(n))...) = 1. On écrit φ[r(n)] (n) = 1.
Par exemple r(6) = 2 car φ[2](6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1
Q1 Déterminer le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = r(2016) + 2
Q2 Montrer que pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, on sait trouver un entier n tel que r(n) = k.
Application numérique: trouver un entier n₁ à trois chiffres tel que r(n₁) = 10 et un entier n₂ à cinq chiffres tel que r(n₂) = 17.
Q3 Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k.
Application numérique: k = 12
Rappel :
1) n= , alors 2) = d/ avec d=(m,n)
En particulier n et m sont premiers entre eux, = 3) Si n>2, est pair.
Je définis r(n) comme le plus petit entier k>=1 tel que . Avec cette définition, r(1)=1 Lemme :
i) n=1 ou n=2
ii) p premier, alors = p sinon = (p-1) si , premier,
si de plus , iii) = , et ) = k
Si est premier,
Si pair, , alors Si impair, , alors
iv)
pairs , impair,
Preuve :
i) =1 p-1 divise 1 p=2, la suite par ii) Pour tout n = n=1
ii) / , p premier,
soit 1/
soit p|n, /
iii) = , ,
Si est premier, et -1 et pair alors (lemme ii)
est pair ou égal à 1, si est pair
n répète ce raisonnement tant que est pair, donc >1, jusqu’à : et
Si impair alors et donc
, impair alors et on applique le résultat précédent
iv) Par récurrence n=1
n=2,
m pair, , , ,
lemme iii) m impair , lemme iii)
On suppose le résultat vrai jusqu’à n-1.
Cas 1 : n est pair ,
et 2m pair, <n On applique l’hypothèse de récurrence avec si pair, si impair,
donc , m pair m impair -1 Cas 2 : n est impair
Récurrence sur m
m = 1 ,
m>1 (donc et on peut appliquer l’hypothèse de récurrence sur m Si n=p premier, et premier avec m ,
(p-1) et pairs et et par récurrence sur n=p
Si n=p premier , et p divise m = , premier avec p , et par récurrence sur m
Si n non premier , ,
Le résultat est vrai pour n
Proposition :
, premier impair alors , premier impair alors
Preuve :
Par récurrence sur n n=2,
n=3, On suppose le résultat vrai jusqu’à n-1
Si
Il existe , impair, Lemme iv) (Récurrence)
Sinon ,
(lemme iv)
Q1)
(proposition)
Recherche du plus petit entier n tel que Par programme (freeware maxima):
factors_only : true;
phi1(p) := (p - 1)/p;
phi2(n) := apply("*", map(phi1, ifactors(n)));
phi(n) := n*phi2(n);
r(n) := for r:1 while n >= 1 step 1 do (if n=1 then return(1) else (n : phi(n),if n = 1 then return(r)));
d’où:
for i:2015 thru 2^11 step 1 do if r(i)=11 then return(i);
2023
Q2)
(lemme 3) , r(
2^k)=k
Entier n₁ à cinq chiffres tel que r(n₁) = 10
Programme (maxima)
On reprend la définition de r donnée dans le programme ci-dessus.
Et :
rmin(cible,chiffres) := for i:1 thru 2^cible step 1 do (if i>=10^chiffres then return(-1) else (n:r(i),if n=cible and i>=10^(chiffres-1) and i<10^chiffres then return(i)));
rmin(10,3);
641
Entier n₁ à cinq chiffres tel que r(n₁) = 17
rmin(17,5);65537
Q3)
(proposition)
On va prouver
Preuve par récurrence :r n= 1 ou 2,
et on a bien,
On suppose le résultat vrai jusqu’à k-1. : Si n est impair, comme
Soit tel que et
, donc
On peut écrire impairSi , , pair
(lemme iv) (hypothèse de récurrence)
Donc Si , impair
Comme , on est ramené au cas : u=0, impair
si m est premier impair, (proposition) et donc
sinon on peut écrire , 1 impairs (lemme iv)
On a vu ci-dessus que p premier et On ne peut avoir car alors , donc (hypothèse de récurrence)
=
