A10676. 2021 avec deux chiffres
L’écriture décimale de l’entier 2021 n’utilise que 3 chiffres distincts (0, 1, 2) sur 10. Quelles sont les bases de numération où cet entier s’écrit avec deux chiffres distincts seulement ?
Solution
Le nombre 2021 s’écrit avec deux chiffres quand il est compris entre la base b du système de numération et son carré : b ≤ 2021 < b2. Cela conduit à examiner les 1977 entiers de 45 à 2021 comme base de numération ayant la propriété voulue, mais deux font exception : avec les bases 46 et 2020, les deux chiffres à écrire ne sont pas distincts, 2021 étant multiple de 2020 + 1 et 46 + 1.
La base 2, où on n’emploie que les chiffres 0 et 1, convient également.
La question est moins triviale pour les entiers de 3 à 44. La conversion dans ces 42 systèmes de numération fournit deux bases avec la propriété : la base 20 donnant l’écriture 511, et la base 44 donnant l’écriture 11X, où X est le chiffre désignant la base (44) diminuée de 3.
Les bases cherchées sont donc 2, 20, 44, 45, et 47 à 2019.
