PB A807 Si la calculatrice retient les n premiers chiffres des nombres en effectuant une troncature, les nombres s’´ecrivent 0, x10e avec

PB A807

Si la calculatrice retient lesn premiers chiffres des nombres en effectuant une troncature, les nombres s’´ecrivent 0, x10^e avec e entier et une mantisse x qu’on peut supposer v´erifier 10ⁿ⁻¹ ≤ x < 10ⁿ. Notons f_n(x) la mantisse de 1/x; d’une part f_n(10ⁿ⁻¹) = 10ⁿ⁻¹; d’autre part si 10ⁿ⁻¹ < x < 10ⁿ on d´eduit 10ⁿ⁻¹ <10²ⁿ⁻¹/x < 10ⁿ d’o`u fn(x) = [10<sup>2n−1</sup>/x] (partie enti`ere).

1. Premier cas : x >10ⁿ⁻¹ etx²+x <10²ⁿ⁻¹ ⇔(2x+ 1)² <4×10²ⁿ⁻¹+ 1⇔2x+ 1≤2√

10×10ⁿ⁻¹. Posonsy=f_n(x)⇔y < ¹⁰²ⁿ⁻¹_x < y+ 1⇔ x < ¹⁰²ⁿ⁻¹_y < x+x/y. De x+ 1 <10²ⁿ⁻¹/x on d´eduit x+ 1≤y d’o`u f_n(x)6=xet f_n(f_n(x)) =x.

2. Deuxi`eme cas : x² <10²ⁿ⁻¹ < x²+x⇔4x² <4×10²ⁿ⁻¹ <(2x+1)² ⇔ 2x < 2√

10×10ⁿ⁻¹ < 2x+ 1 . De x < ¹⁰²ⁿ⁻¹_x < x+ 1 on d´eduit que f_n(x) = x.

3. Troisi`eme cas : 10²ⁿ⁻¹ < x² donc 10²ⁿ⁻¹/x <√

10²ⁿ⁻¹ et y =f_n(x)<

√10×10ⁿ⁻¹. On est ramen´e aux deux premiers cas.

Le nombre dextels quef_n(f_n(x)) =xest ´egal `aN = [2(√

10−1)×10ⁿ⁻¹].

En effet, si N est impair, il y en a (N −1)/2 pour le premier cas, 0 pour le second, (N −1)/2 pour le troisi`eme et 1 pour x = 10<sup>n−1</sup>. Si N est pair, il y en a (N −2)/2 pour le premier cas, 1 pour le second, (N −2)/2 pour le troisi`eme et 1 pour x= 10ⁿ⁻¹.

Avec√

10 = 3,162277660168...on trouve pourn = 12: N = 432455532033.

Remarque: si la calculatrice retient n chiffres en effectuant un arrondi, il faut remplacer f_n par g_n(x) = arrondi(10²ⁿ⁻¹/x); on montre de mani`ere analogue qu’il y a N⁰ = arrondi(2(√

10−1)×10ⁿ⁻¹) mantisses x telles que g_n(g_n(x)) =x. Pourn = 12 on trouve N⁰ = 432455532034.

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