A50235. Nombre ` a tiroir
Le nombre de 6 chiffres abcdef est le carr´e de la somme abc+def. Quel est-il ?
Solution
Soitx=abc,s=abc+def,s2 = 1000·abc+def. Alors 999x=s2−s=s(s−1).
Comme s et s−1 sont premiers entre eux, celui qui est multiple de 3 est multiple de 27, l’autre facteur de 999 ´etant 37.
Le carr´e des ne devant avoir que 6 chiffres, le seul cas o`u s ou s−1 peut ˆetre multiple de 999 est s = 999, s−1 = 998 = x qui fournit la solution 9992 = 998001, si toutefois l’on accepte que def puisse ˆetre un nombre
<100.
s = 27p, s−1 = 37q conduit `a p = 11, q = 8, x = pq = 88, ce qui ne convient pas car le nombres2 = 2972= 88209 n’a que 5 chiffres.
s= 37p,s−1 = 27q conduit `ap = 19, q= 26, x =pq= 494 ce qui fournit la solution 7032 = 494209.
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