A20606. Double progression
Trois entiers à 3 chiffres (x < y < z) sont en progression arithmétique. Quels sont-ils, sachant quex,y etz+ 1000 forment une progression géométrique.
Solution
D’une partx+z= 2y, d’autre part y2 =x(z+ 1000).
Ainsi (x+z)2= 4y2 = 4x(z+ 1000), d’où (z−x)2 = 4000x.
Ce second membre est un carré si x = 10d2, 2 et 5 ayant des exposants impairs (5 et 3) dans la factorisation de 4000.
Alorsz= 10d2+ 200d,y= 10d2+ 100d.
Ces nombres ont 3 chiffres seulement sid= 4, et (x, y, z) = (160,560,960).
La progression arithmétique a pour raison 400, et la progression géométrique 7/2.
