A226. Jongleries arithmétiques sur un cube et une pyramide
P1 : Zig écrit un entier positif sur chaque face d’un cube puis il affecte à chaque sommet du cube, un nombre qui est égal au produit des nombres écrits sur les trois faces passant par ce sommet. La somme des nombres placés sur les sommets est égale à 2010. Trouver la plus petite somme possible des nombres inscrits sur les faces.
P2 : Zig inscrit huit entiers naturels sur les sommets d’un cube tels que pour tout couple de
sommets adjacents, les entiers correspondants sont distincts. Sur chacune des douze arêtes, il inscrit le plus grand commun diviseur des nombres inscrits aux extrémités. Enfin il calcule respectivement la somme des nombres inscrits aux sommets et la somme des nombres inscrits sur les arêtes. Il trouve le même résultat. Est-ce possible ?
P3 : Zig inscrit quatre nombres réels > 0 aux sommets d’une pyramide puis il affecte à chaque arête le produit des nombres situés aux extrémités de chacune d’elles et enfin pour chaque face il fait la somme des nombres inscrits sur les trois arêtes qui la bordent. Puce de son côté fait les mêmes opérations sur sa propre pyramide à partir de quatre nombres réels > 0. Les résultats obtenus par Zig sur les quatre faces de sa pyramide coïncident avec ceux de Puce. Les quatre nombres choisis par Zig sont-ils nécessairement identiques à ceux choisis par Puce ?
Solution de Claudio Baiocchi
P1 On va noter les valeurs inscrites sur les couples de faces opposées. Un calcul immédiat montre que la somme voulue se factorise en . Parmi les 6 factorisations de 2010 sous forme de trois facteurs, celle qui donne lieu à une valeur minimale pour la somme des trois facteurs est ; la somme minimale vaut donc 78, et le choix a=2,a’=3,b=1,b’=5,c=6,c’=61 fournit une solution où toutes les valeurs inscrites diffèrent.
P2 On peut partager les 8 sommets en deux groupes de 4 sommets chacun de telle sorte que, dans chaque groupe, les sommets sont deux à deux non adjacents. En inscrivant les valeurs 2 sur les sommets d’un groupe et 1 sur ceux de l’autre, on aura la valeur 1 sur chaque arête; ce qui donne un total de 12 pour chacune des deux sommes.
P3 On va montrer que Zig et Puce ont choisi les mêmes nombres. Le problème n’étant pas si simple, on va décomposer le traitement en plusieurs étapes.
1 Notations et reformulation du problème
On fera usage de quatre couples où, dans chaque couple, la lettre minuscule dénote la valeur placée dans un sommet et la lettre majuscule dénote la valeur résultante sur la face opposée.D’après la formulation du problème on a:
(1)
Quand on opére sur la pyramide de Zig (respectivement de Puce), on ajoute à chacun des huit éléments un indice (respectivement ) et on se pose la question suivante: si pour deux
quadruplets [ ] et [ ] on a
égalité entre les ensembles et , a-t-on aussi égalité entre les
ensembles et ?
L’égalité entre des ensembles est en général un problème délicat mais on va montrer que dans notre cas une grande simplification a lieu. On contrôle aisément que:
(2) on a et les relations analogues concernant les autres variables.
En particulier si, pour ce qui concerne les valeurs sur les faces de la pyramide de Zig, on choisit les lettres de telle sorte que , les valeurs que Zig a choisies pour les sommets de sa pyramide vérifient ; la propriété semblable concernant la pyramide de Puce permet d’aboutir a la nouvelle formulation du problème:
Si , a-t-on ?
2 Discussion du problème
On va poser .Puisque , la
première des relations (1) donne:
Par permutation cycliques des lettres (à savoir: ;
naturellement et restent inchangées) on aboutit à:
(3)
Posant et on a:
Remarque A En particulier dans chacune des égalités le membre de droite doit être strictement positif:
relations qui sont d’ailleurs immédiates aussi à partir des définitions (1).
On va maintenant appliquer les relations (3) aux pyramides de Zig et de Puce (on rajoute à la somme les indices et ; indices qu’on supprime pour ce qui concerne les valeurs sur les faces).
Se bornant à ce qui se passe par rapport à l’inconnue on trouve:
(4) .
Comme on a vu dans la Rem.A, on a ; la fonction étant
strictement croissante pour k>0, on en déduit les trois possibilités:
(5) ; alors ; alors ; alors
Remarque B On vient de faire un raisonnement qui pourrait sembler trop compliqué; mais il fallait éviter de tomber dans un piège, s’appuyant uniquement au fait que la fonction est strictement croissante. En fait, dans (4), aussi les
« constantes » et dépendent des valeurs choisies par Zig et par Puce sur les sommets!
Dans (5), puisque « tertium non datur » (ou mieux: il n’existe pas une quatrième possibilité) on peut renverser les implications:
Si , on a . Si on a . Si on a .
L’inconnue pouvant être remplacée par une quelconque des autre trois, on en déduit :
1. Si on a .
2. Si on a .
3. Si on a .
Les deux premiers cas n’étant pas compatibles avec nos hypothèses (par exemple: avec ) seul le troisième cas peut se présenter; ce qui conclut la discussion.
3 Considérations ultérieures
On commence par remarquer que pour un problème analogue sur le triangle (on place sur chaque côté le produit des valeurs placées sur les extrémités) on a à la fois existence, unicité et formule explicite. En fait, pour tout triplet de nombres réels strictement positifs { }, le système
dans les inconnues (positives) admet une solution unique, donnée par . On est là dans « le paradis des matheux »: la discussion du problème se conclut par un théorème d’existence et unicité, renforcé par une formule explicite pour la solution. Malheureusement dans le cas de la pyramide la chose parait sans espoir, et pour des nombreuses raisons:
Pour ce qui concerne l’existence de solutions, il n’est pas évident (voire: c’est faux) qu’à tout quadruplet de nombres positifs { } correspond au moins une solution.Comme on a vu dans la Rem.A, une condition nécessaire (qu’on ne sait pas démontrer être suffisante) est qu’il existe un quadrilatère ayant ces nombres comme mesures de côtés.
Pour ce qui concerne une formule donnant en fonction de , la formulation (1) ne semble pas bien adaptée.
Quand on ne trouve pas de formules exactes, on peut du moins chercher des méthodes pour approcher la solution. Des essais effectués sur le système (1) ne semblent pas aboutir mais a on va montrer qu’on peut s’en sortir à partir du système (3) où l’inconnue est vue comme une cinquième variable (et sa définition est la cinquième équation).
Au lieu d’ expliciter en fonction de (ou de ) comme on l’a fait dans (4), on va essayer de décrire les quatre inconnues en fonction de ; ce qui, à partir de (3), semble porter à des ambigüités, qu’on va expliciter sous la forme:
(6)
On remarquera que, dans (6), toute formule avec signe « + » engendre pour la correspondante inconnue une valeur plus grande que ; donc pour une au plus des variables la racine peut être prise avec le signe positif. Dans la suite on va supposer qu’on a choisi les noms des données de telle sorte que prend la plus petite valeur, ce qui, comme remarqué dans (2), entraine que est la plus grande des inconnues, donc la seule pour laquelle la racine pourrait prendre le signe positif.
En particulier on peut exprimer sans ambigüités en fonction de (qui est inconnue) et de (qui est donnée) parvenant à:
(7)
avec la notation on a
avec la notation on a
avec la notation on a
tandis que, pour ce qui concerne , on fera usage de la définition de ; donc et
. La dernière formule de (3) devient:
(8)
et on ne doit pas oublier que, aux notations utilisées dans (7), on doit rajouter la condition que est la plus petite parmi les quatre données et la définition . Naturellement, une fois l’équation (8) en résolue (exactement ou de manière approchée), on déduira de (7) les valeurs de
et on terminera posant .
4 Traitement numérique
Pour un contrôle numérique on a utilisé le merveilleux programme geogebra qui souvent permet de trouver graphiquement des solutions approchées pour de problèmes autrement hors portée. On va brièvement illustrer les figures obtenues, qui sont plus simples à regarder qu’à décrire.
Après avoir introduit les valeurs de et calculé la somme , on a défini à partir de (6) des fonctions de la variable (car la somme n’est pas connue) ; pour ce qui concerne , aux deux fonctions et (dont les graphes sont respectivement coloriés en
jaune et en vert) on a rajouté la fonction .
On a ensuite défini, à partir de (8), la fonction (graphe en rouge):
Si le problème est bien posé, le graphe de doit avoir un et un seul point en commun avec la partie positive de l’axe des abscisses; l’abscisse de ce point donnant la valeur de la somme des inconnues . De plus, les points d’intersection entre la verticale pour ce point et les fonctions
ont comme ordonnées respectivement les inconnues ; tandis que la valeur de est l’ordonnée de l’intersection entre la verticale et le graph ; c’est la bonne fonction à utiliser, car parmi les intersections de la verticale avec les graphes de et , une seulement redonne la bonne valeur de .
L’unicité espérée semble toujours vérifiée: si une autre solution existe,elle doit être bien lointaine de celle qu’on a trouvée, d’autant plus que le graphe de est presque vertical, très proche de la verticale (qui, elle aussi, est coloriée en rouge).
Ici on est parti des données, définissant à partir de . La vraie valeur de est sur la partie jaune de l’hyperbole (outre que sur le graph de la fonction )
Ici aussi on est parti des données, définissant à partir de . La vraie valeur de est (sur le graph de la fonction et) sur la partie rouge de l’hyperbole
Ici on n’a pas triché: le point de départ a donné comme solution
approchée le quadruplet . A son tour ce quadruplet
engendrerait les données .
ne satisfont pas la condition nécessaire vue dans la Rem.A; on trouve une solution, mais la valeur de est négative !.
