SP ÉCIALE MP* : DEVOIR LIBRE (1) Dans tout le problème, I désigne l’intervalle [0, 1] de R et I

(1)

SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE

(1) Dans tout le probl`eme, I d´esigne l’intervalle [0, 1] de R et I

²

= I×I.

(2) C(I) est l’espace vectoriel des fonctions r´eelles continues sur I.

On le munit de la norme de la convergence uniforme :

∀f ∈ C(I), kf k = sup

x∈I

|f (x)|.

M(I) est l’espace vectoriel des formes lin´eaires continues sur C(I).

On le munit de la norme naturellement associ´ee `a celle de C(I ) :

∀µ ∈ M (I), kµk = sup

f∈B1

|µ(f)|

o` u B

₁

est la boule unit´e ferm´ee de C(I).

(3) C(I

²

) est l’espace vectoriel des fonctions r´eelles continues sur I

²

, muni de la norme de la convergence uniforme :

∀F ∈ C (I

²

), kF k = sup

(x,y)∈I²

|F (x, y)|.

M(I

²

) est l’espace vectoriel des formes lin´eaires continues sur C(I

²

) muni de la norme associ´ee :

∀λ ∈ M (I

²

), kλk = sup

F∈B2

|λ(F )|

o` u B

2

est la boule unit´e ferm´ee de C(I

²

).

(4) Soit F ∈ C(I

²

), x ∈ I . On note F (x, .) l’application partielle y ∈ I 7→ F (x, y ),

F (x, .) appartient donc `a C(I).

(5) Soit f ∈ C(I), g ∈ C(I). On désigne par f ⊗ g l’élément de C(I

²

) d´efini par la formule :

∀(x, y) ∈ I

²

, (f ⊗ g)(x, y) = f (x)g(y).

(6) On dit qu’une fonction h est de classe C

¹

sur l’intervalle J si h est continue et possède un dérivée continue sur J.

Premi` ere partie Pour tout f ∈ C(I ), on pose m(f ) =

Z

1 0

f (x) dx.

I.1. Montrer que l’application ainsi d´efinie de C (I) dans R appartient `a M(I) et calculer kmk.

I.2. Soit a ∈ I. Pour tout f ∈ C(I), on pose δ

a

(f ) = f (a).

Montrer que δ

a

appartient `a M(I). Calculer kδ

a

k.

Calculer kδ

a

− δ

b

k si a et b sont deux ´el´ements distincts de I.

I.3. Calculer km − δ

_a

k.

I.4. Montrer que pour tout f ∈ C(I), lim

n→+∞

δ

¹

n

(f ) = δ

0

(f ).

La suite (δ

¹

n

)

n∈N∗

a-t-elle une limite dans M (I) ? A-t-on une propri´et´e analogue dans M (I

²

) ?

1

(2)

2 SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE

I.5. Soit λ ∈ M (I

²

), θ ∈ C(I). On d´efinit deux applications p

_θ

(λ) et q

_θ

(λ) de C(I) dans R par les formules :

∀f ∈ C (I), p

θ

(λ)(f ) = λ(f ⊗ θ)

∀f ∈ C (I), q

θ

(λ)(f ) = λ(θ ⊗ f).

Montrer que p

θ

(λ) et q

θ

(λ) appartiennent `a M (I).

Les applications p

θ

et q

θ

ainsi d´efinies de M(I

²

) dans M (I) sont-elles continues ? Deuxi` eme partie

II.1. Soit F ∈ C (I

²

), ν ∈ M (I). Montrer que l’application F

_ν

de I dans R d´efinie par

∀x ∈ I, F

_ν

(x) = ν[F (x, .)]

appartient `a C(I).

Etablir l’in´egalit´e ´ kF

ν

k 6 kF k.kνk.

II.2. Soit µ ∈ M (I), ν ∈ M (I). On d´efinit une application de C(I

²

) dans R , not´ee µ ⊗ ν, par la formule

∀F ∈ C (I

²

), µ ⊗ ν(F ) = µ(F

ν

).

a. Montrer que µ ⊗ ν appartient `a M(I

²

).

b. Calculer kµ ⊗ νk en fonction de kµk et kνk.

c. Que peut-on dire de l’application (µ, ν ) 7→ µ ⊗ ν ?

Dans la suite, E d´esigne l’image de M (I)×M(I) par cette application.

II.3. a. Soit λ ∈ E , λ 6= 0. Montrer qu’il existe α ∈ C (I ) et β ∈ C(I) tels que λ(α ⊗ β) = 1.

Montrer que pour tout couple (α, β ) de C (I)×C(I) v´erifiant cette condition, λ = p

_β

(λ) ⊗ q

_α

(λ).

b. Soit λ = δ

₀

⊗ δ

₀

+ δ

₁

⊗ δ

₁

.

On consid`ere θ ∈ C(I) d´efini par ∀x ∈ I, θ(x) = x.

Calculer p

_θ

(λ) et q

_θ

(λ).

c. E est-il un sous-espace vectoriel de M (I

²

) ? Troisi` eme partie

Dans cette partie, ϕ d´esigne une fonction de classe C

¹

sur R , p´eriodique de p´eriode 1, prenant ses valeurs dans I.

III.1. On pose

a

n

= Z

1

0

p 1 + [nϕ

^′

(nx)]

²

dx.

Quelle interprétation géométrique peut-on donner du nombre a

n

? Montrer que la suite (

^a_nⁿ

)

n∈N∗

a une limite l.

Exprimer l `a l’aide d’une int´egrale.

III.2. Pour tout g ∈ C (I), on pose

ν(g) = Z

1

0

g[ϕ(x)]|ϕ

^′

(x)| dx

(3)

SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE 3

et pour tout entier n > 1 ν

_n

(g) = 1

n Z

1

0

g[ϕ(nx)] p

1 + [nϕ

^′

(nx)]

²

dx.

Montrer que ν et ν

n

appartiennent `a M (I ).

Montrer que la suite (ν

n

)

n∈N∗

admet ν pour limite dans l’espace vectoriel norm´e M(I).

III.3. Soit F ∈ C(I

²

). Montrer que pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que les conditions n > N et 0 6 k < n, (n, k) ∈ N

²

, impliquent |∆

n,k

| < ε o` u ∆

n,k

d´esigne la diff´erence Z

^k+1_n

k n

F [x, ϕ(nx)] p

1 + [nϕ

^′

(nx)]

²

dx − ν

F k

n , .

. (On pourra poser ω

n,k

(F ) =

Z

(k+1)/n k/n

F (x, ϕ(nx)) p

1 + n

²

ϕ

^′

(nx)

²

dx.) III.4. Pour tout F ∈ C(I

²

) et tout entier n > 1, on pose :

λ

_n

(F ) = 1 n

Z

1 0

F [x, ϕ(nx)] p

1 + [nϕ

^′

(nx)]

²

dx.

Montrer que λ

n

appartient `a M (I

²

).

Montrer qu’il existe λ ∈ M (I

²

) tel que, pour tout F ∈ C(I

²

),

n→+∞

lim λ

n

(F ) = λ(F ).

Montrer que λ appartient `a l’ensemble E d´efini dans II.

Quatri` eme partie

Dans cette partie, ϕ d´esigne une fonction de classe C

¹

sur I , prenant ses valeurs dans I. On se propose d’´etudier ν ∈ M (I) d´efini par la formule :

∀f ∈ C(I ), ν (f) = Z

1

0

f[ϕ(x)]|ϕ

^′

(x)| dx.

IV.1. Montrer que si ϕ est monotone, il existe deux r´eels a

1

, a

2

tels que 0 6 a

1

6 a

2

6 1 et ∀f ∈ C (I ), ν(f) =

Z

a2

a1

f(x) dx.

IV.2. On suppose dans cette question que l’´equation ϕ

^′

(x) = 0 n’a qu’un nombre fini de racines dans I. Montrer qu’il existe une fonction en escalier ψ d´efinie sur I et prenant ses valeurs dans N , telle que

∀f ∈ C(I), ν(f ) = Z

1

0

f (x)ψ(x) dx.

IV.3. Soit ϕ

0

la fonction d´efinie sur R par :



 

 

ϕ

0

(x) = sin

²

(2πx) pour 1

2 < x < 1, ϕ

0

(x) = 0 pour x 6 1

2 ou x > 1.

Soit (α

k

) une suite d´ ecroissante de r´eels telle que

∀k ∈ N , α

_k

∈]0, 1] et lim

k→+∞

α

_k

= 0.

(4)

4 SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE

Pour tout n > 1, on pose :

ϕ

_n

(x) =

n

X

k=0

α

k

2

^k

ϕ

₀

(2

^k

x).

a. Tracer le graphe de ϕ

2

dans le cas α

0

= α

1

= α

2

= 1.

b. Montrer que pour tout n ∈ N , ϕ

n

est une fonction de classe C

¹

prenant ses valeurs dans I et qu’il existe une fonction en escalier ψ

n

d´efinie sur I et prenant ses valeurs dans N telle que

∀f ∈ C(I), Z

1

0

f[ϕ

_n

(x)]|ϕ

^′_n

(x)| dx = Z

1

0

f (x)ψ

_n

(x) dx.

Expliciter ψ

2

associ´ee `a la fonction ϕ

2

du a.

Exprimer γ

n

= Z

1

0

ψ

n

(x) dx en fonction des α

k

.

c. Montrer que la suite (ϕ

n

) converge uniform´ement sur I, que sa limite est de classe C

¹

et prend ses valeurs dans I . ´ Etudier la convergence de la suite (γ

n

).

d. Si ϕ est la limite de la suite (ϕ

n

), montrer qu’il existe une fonction ψ d´efinie sur I et prenant ses valeurs dans N , int´egrable sur tout intervalle [ε, 1] o` u ε ∈]0, 1[ et telle que :

(i) lim

ε→0

Z

1 ε

ψ (x) dx existe, (ii) ∀f ∈ C (I), ν(f ) = lim

ε→0

Z

1 ε

ψ(x)f(x) dx (not´e plus simplement ν(f ) =

Z

1 0