En d´eduire les variations de f sur cet ensemble

TS 8 DM 3 3 novembre 2015 Exercice 1 : D´eviation

Pour chaque fonction suivante d´eterminer son ensemble de d´erivabilit´e, puis calculer sa d´eriv´ee.

1. f₁(x) = (3x²−5)⁴ 2. f₂(x) = 2 (3x²−5)⁴

3. f₃(x) = sin(4x−5)

Exercice 2 : ´Etude d’une fonction du type √ u On d´efinit la fonctionf parf(x) =√

x²+ 2x 1. ´Etudier l’ensemble de d´efinition def. 2. ´Etudier les limites de f en +∞et−∞.

3. D´eterminer l’ensemble de d´erivabilit´e de f puis calculer la d´eriv´ee de f.

4. En d´eduire les variations de f sur cet ensemble.

5. D´eterminer l’´equation de la tangente en x= 1 `aCf la courbe repr´esentative de f. 6. Calculer f(−1 +x) et f(−1−x) pour x>1. Que peut-on en d´eduire pour la courbef? 7. Repr´esenter graphiquement sch´ematiquement la courbe f.

Exercice 3 : ´Etude du nombre j

Le plan est muni du rep`ere orthonorm´e direct (O, ~u, ~v).

On donne le nombre complexe j =−1 2+ i

√3 2 .

Le but de cet exercice est d’´etudier quelques propri´et´es du nombre j et de mettre en ´evidence un lien de ce nombre avec les triangles ´equilat´eraux.

Partie A : propri´et´es du nombre j

1. (a) R´esoudre dans l’ensembleC des nombres complexes l’´equation z²+z+ 1 = 0.

(b) V´erifier que le nombre complexe j est une solution de cette ´equation.

2. D´emontrer les ´egalit´es suivantes : (a) j³ = 1 ;

(b) j² =−1−j.

3. On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, j et j² dans le plan.

(a) Placer les points dans le plan (on laissera les traits de construction) (b) Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la r´eponse.

Partie B : Le module d’un nombre complexe

Soit z un nombre complexe et M son image dans le plan complexe.

Le module de z, not´e |z|, est la distanceOM :|z|=OM

1. Soient xety deux r´eels tels que z=x+iy. Exprimer|z|en fonction de x ety.

2. Montrer que|z₁z2|=|z₁| × |z₂| Partie C : Application du module

Soient a,b,ctrois nombres complexes v´erifiant l’´egalit´e a+ jb+ j²c= 0.

On note A, B, C les images respectives des nombres a,b,c dans le plan.

1. En utilisant la question A - 2. b., d´emontrer l’´egalit´e : a−c= j(c−b).

2. En d´eduire que AC = BC .

3. D´emontrer l’´egalit´e : a−b= j²(b−c).

4. En d´eduire que le triangle ABC est ´equilat´eral.