STRUCTURES BICAT´EGORIELLES COMPL´EMENTAIRES

COMPL´ EMENTAIRES

DUMITRU BOTNARU

We examine the complete lattice of the bicategory structure in the category of locally convex Hausdorff vector spaces (of locally convex groups). We construct the complementary elements for some elements of this lattice.

AMS 2010 Subject Classification: 18B30, 46M15.

Key words: bicategory structure, reflective subcategory, classes of hereditary and cohereditary morphisms, space with weak topology, complete space, Schwartz space, nuclear space, strict nuclear space.

1. INTRODUCTION

1.1. Dans une cat´egorie localement et colocalement-petite `a limites pro- jectives ou inductives, la latice des structures bicat´egorielleBest compl`ete avec l’´el´ement initial (E_f,Mono) = (la classe de tous les ´epis stricts, la classe de tous les monos) et l’´el´ement final (Epi,M_f) = (la classe de tous les ´epis, la classe de tous les monos stricts). (On consid`ere (P₁,I₁)≤(P₂,I₂) si (P₁ ⊂ P₂)). Toute structure bicat´egorielle (P,I) est d´etermin´ee uniquement par chacune de ses classes: par la classe des projectionsP, et aussi par la classe des injections I.

Ainsi, dans une telle cat´egorie, pour deux ´el´ements (P₁,I₁) et (P₂,I₂) de la latice B, notons par P₁∧ P₂ la classe des projections du minimum de ces deux

´

el´ements, et par P₁∨ P₂ la classe des projections du maximum.

Il est clair que P₁∧ P₂ = P₁∩ P₂, et la structure bicat´egorielle corre- spondante est

(P₁∩ P₂,(P₁∩ P₂)^x).

D’autre part, `a la classe P₁∨ P₂ correspond la structure bicat´egorielle ((I₁∩ I₂)^q,I₁∩ I₂).

Dans ces deux structures bicat´egorielles, l’une des classes repr´esente l’in- tersection des classes correspondantes: P₁∩ P₂ etI₁∩ I₂. Mais l’autre classe, en g´en´eral, ne peut pas ˆetre construite d’une mani`ere si simple. On introduit dans cet ouvrage la notion de classe h´er´editaire par rapport `a une classe de morphismes, et aussi par rapport `a une structure bicat´egorielle (D´efinitions 2.1

REV. ROUMAINE MATH. PURES APPL.,55(2010),2, 97–119

et 2.14). Ces notions permettent de d´ecrire aussi la classe (I₁∩ I₂)^q comme composition des classes P₁ etP₂ (Th´eor`eme 3.2).

Dans la cat´egorieC₂Vdes espaces localement convexes (topologiques vec- toriels), de mˆeme dans la cat´egorieC₂Abdes groupes localement convexes [15]

sont connues les sous-cat´egories refl´ectives form´ees par rapport `a chaque sous- espace dont le foncteur refl´ecteur est exact `a gauche. Une telle sous-cat´egorie R d´etermine uniquement une sous-cat´egorie coreflective K de mani`ere que εR=µK, o`u

εR={f ∈ C₂V |r(f)∈ Iso}, µK={f ∈ C₂V |k(f)∈ Iso}.

Une telle classe de morphismes sert de classe de projections d’une struc- ture bicat´egorielle de droite (εR,(εR)^⊥) et comme classe d’injections d’une structure bicat´egorielle de gauche ((εR)^>, εR). Ces classes sont nomm´ees bicompl`etes (D´efinition 4.1) et elles permettent de construire les structures bicat´egorielles compl´ementaires (Th´eor`eme 5.4).

1.2. Cat´egories

C une cat´egorie abstraite;

C₂V la cat´egorie des espaces localement convexes (topologiques vectoriels) Hausdorff [15];

C₂Abla cat´egorie des groupes localement convexes Hausdorff [16];

Dune des cat´egories C₂V ouC₂Ab;

Th la cat´egorie des espaces Tikhonov.

1.3. Sous-cat´egories dans la cat´egorie D

Π la sous-cat´egorie des espaces complets `a topologie faible [16], [12];

Γ0 la sous-cat´egorie des espaces complets;

S la sous-cat´egorie des espaces `a topologie faible;

N la sous-cat´egorie des espaces nucl´eaires;

sN la sous-cat´egorie des espaces strictement nucl´eaires [11];

Scla sous-cat´egorie des espaces Schwartz (voir [11]);

Msous-cat´egorie des espaces `a topologie Mackey [16].

1.4. Morphismes orthogonaux. Le morphisme f est nomm´e ortho- gonal de haut au morphisme g, etg est nomm´e orthogonal de bas `af, ce qui est not´e par f ⊥g, si pour tout carr´e commutatif

gu=vf,

il existe un seul morphisme (diagonal) h de sorte que v=gh, u=hf.

Fig. 1.1.

Mentionnons que l’unicit´e du morphismeh avec les propri´et´es indiqu´ees a lieu si f est un ´epi ou g est un mono. Pour deux classes de morphismes K etL de la cat´egorieC, nous ´ecrironsK ⊥ L, si tout morphisme de la classe K est orthogonal de haut `a tout morphisme de la classeL. Notons

K^⊥={f ∈ C | K ⊥f}, K^x=K^⊥∩ MonoC, K^>={f ∈ C |f ⊥ K}, K^q =K^⊥∩ EpiC.

1.5. Latices

R la latice de toutes les sous-cat´egories reflectives non-nulles dans la cat´egorie D;

Ri la latice de toutes les sous-cat´egories reflectives dans la cat´egorie D qui contient la sous-cat´egorie Γ0;

Rb la latice de toutes les sous-cat´egories reflectives dans la cat´egorie D qui contient la sous-cat´egorieS;

Rc la latice de toutes les sous-cat´egories c-reflectives;

Bicla latice des classes de morphismes bicomplets dans la cat´egorie D.

1.6. Structures bicat´egorielle dans la cat´egorieD

(Epi,M_f) = (la classe de tous les ´epis, la classe de tous les monos stricts)

= (op´erateurs continus `a image dense, inclusions topologiques `a image ferm´ee);

(E_f,Mono) = (la classe de tous les ´epis stricts, la classe de tous les monos) = (la classe des applications factorielles, des applications injectives);

(E_u,M_p) = (la classe de tous les ´epis universels; la classe de tous les monos pr´ecis) = (la classe des applications surjectives, la classe des inclusions topologiques);

(E_p,M_u) = (la classe de tous les ´epis pr´ecis, la classe de tous le monos universels);

(E_p⁰,M⁰_u) = ((M⁰_u)q, la classe de tous les monos universels `a image ferm´ee).

D´ecrivons plus en d´etails les deux derni`eres structures bicat´egorielles (voir [7], [9]), ´etant donn´e qu’elles jouent un rˆole important dans cet article.

1.7Th´eor`eme [8]. Soit f : (E, u)→(F, v) un mono de la cat´egorie D.

Les affirmations suivantes sont ´equivalentes:

1. f ∈ M_u.

2. Toute fonctionelle continue d´efinie sur l’espace (E, u) s’´etend parf.

3. Les topologiesu et v⁰ (celle indue de l’espace(F, v) sur l’espace vecto- rial E) sont compatibles dans une mˆeme dualit´e.

1.8Th´eor`eme [8], [10]. Soit f : (E, u)→ (F, v)∈ D, τ(v) la topologie Mackey compatible avec la topologie v. Alors les affirmations suivantes sont

´

equivalentes.

1. f ∈ E_p⁰ (respectivementf ∈ E_p).

2. f est un ´epi(respectivement f ∈ E_u) et v= min{u;τ(v)}.

2. CLASSES DE MORPHISMES EXTR ´EMAUX

2.1D´efinition [1]. SoientAetEdeux classes de morphismes de la cat´ego- rie C. La classe Ase nomme E-h´er´editaire, si du fait que f g∈ A etf ∈ E, il r´esulte que g∈ A.

Notion duale. La classe A se nomme E-coh´er´editaire, si du fait que f g∈ Aetg∈ E, il r´esulte que f ∈ A.

Examinons des situations quand la classe des injections d’une structure bicat´egorielle est h´er´editaire, et la classe de projections est coh´er´editaire par rapport `a certaines classes de morphismes.

2.2 D´efinition. Une classe A se nomme stable `a droite si du fait que a⁰b=b⁰aest un carr´e cocart´esien eta∈ A, il r´esulte que a⁰ ∈ A.

Notion duale. La classe stable `a gauche.

2.3 Exemples. 1. Soit (P,I) une structure bicat´egorielle de droite (de gauche), A ⊂ P,B ⊂ I. Alors la classe I estA-coh´er´editaire (la classe P est B-h´er´editaire).

2. Toute classe stable `a droite estEpi-coh´er´editaire. Dans toute cat´egorie C, la classeM<sub>u</sub>estEpi-coh´er´editaire. Dans la cat´egorieD, la classeM<sub>p</sub>comme classe stable `a droite est aussi Epi-coh´ereditaire.

3. Dans la cat´egorie C₂V est bien connue l’affirmation suivante ([16], cap. VI, prop. 5):

Soit (E, t) un espace complet. Alors l’espace E reste complet dans toute topologie compatible `a la topologie tet plus forte qu’elle.

Cette affirmation peut ˆetre g´en´eralis´ee de la mani`ere suivante:

SoitR une sous-cat´egorie reflective dans la cat´egorieC₂V et Γ0⊂ R. Si f :X→Y ∈ E_u∩ M_u et Y ∈ |R|, alors et X∈ |R|.

La derni`ere proposition est une simple cons´equence de l’affirmation sui- vante: la classe E_u∩ M_u est Epi-coh´er´editaire.

Mentionnons que cette classe est aussiMono-h´er´editaire.

2.4 Lemme. Soit (P,I) une structure bicat´egorielle de droite. Alors la classe P estEpi-coh´er´editaire.

D´emonstration. Soit

(1) p=f e

avec p∈ P ete∈ Epi. Consid´erons la (P,I) - factorisation de morphisme f

(2) f =i1p1.

Commep⊥i₁, il existe un morphismeh ainsi que p1e=hp,

(3)

i₁h= 1.

(4)

De l’hypoth`ese et de l’´egalit´e (3), il r´esulte queh∈ Epi. Alors de l’´egalit´e (1), il r´esulte que i₁ ∈ Iso.

Fig. 2.1.

2.5Remarque. La classe de projection P d’une structure bicat´egorielle de droite (P,I)de la cat´egorieCn’est pas toujoursC-coh´er´editaire. Par exem- ple, dans la cat´egorieC₂V, la classe εR pourR 6= 0.

2.6 Lemme. Soit C une cat´egorie `a carr´es cocart´esiens. Alors la classe Epiest M_u-h´er´editaire.

D´emonstration. Soient uv∈ Epi,u∈ M_u et

(1) f v=gv.

Fig. 2.2.

Construisons les carr´es cocart´esiens

(2) u⁰₁f =f⁰u

sur les morphismes u etf;

(3) u⁰₂g=g⁰u

sur les morphismes u etg;

(4) u⁰⁰₁u⁰₂=u⁰⁰₂u⁰₁ sur les morphismes u⁰₁ etu⁰₂.

Alors les morphismes u⁰₁, u⁰₂, u⁰⁰₁, u⁰⁰₂, de mˆeme que u⁰⁰₁u⁰₂ (= u⁰⁰₂u⁰₁) sont monos. Nous avons

u⁰⁰₁g⁰uv= (de(3)) =u⁰⁰₁u⁰₂gv = (de(1)) =u⁰⁰₁u⁰₂f v=

= (de(4)) =u⁰⁰₂u⁰₁f v(de(2)) =u⁰⁰₂f⁰uv et comme uv est un ´epi, d´eduisons que

(5) u⁰⁰₁g⁰ =u⁰⁰₂f⁰. Ensuite

u⁰⁰₁u⁰₂f = (de(4)) =u⁰⁰₂u⁰₁f = (de(2)) =u⁰⁰₂f⁰u=

= (de(5)) =u⁰⁰₁g⁰u= (de(3)) =u⁰⁰₁u⁰₂g c’est-`a-dire

u⁰⁰₁u⁰₂f =u⁰⁰₁u⁰₂g et comme u⁰⁰₁u⁰⁰₂ est mono, d´edusions quef =g.

2.7. Dans la cat´egorie Th des espaces Tikhonov il existe la structure bicat´egorielle (E_u,M_p) = (applications surjectives, inclusions topologiques).

Lemme. Soit M_p ⊂ I ⊂ Mono. Alors la classe I n’est pas Epi-coh´er´e- ditaire.

D´emonstration. Pour l’espaceX= (0; 2π) il existent plusieurs extensions compactes: Xpeut ˆetre r´ealis´e comme un sous-espace dense du cercle unitaire ainsi que du segment [0; 2π]. SoitY un espace qui poss`ede plusieurs extensions compactes, et b:Y →Z l’une d’entre elles. Dans ce cas

b=f β^Y

pour un certain morphisme f, o`u β^Y est la compactification de Stone- ˇCech.

Fig. 2.3.

Dans cette ´egalit´e b, β^Y ∈ M_p∩ Epi. Si f est un mono, alors il est un iso.

2.8Lemme. Dans la cat´egorie Th la classe Epi n’est pas (E_u∩ Mono)- h´er´editaire.

D´emonstration. SoitX un espace Tikhonov etY un sous-espace dense `a application canonique i:Y → X. SoitdY etdX les mˆemes ensembles dot´es de la topologie discr`ete, et d^Y : dY → Y et d^X : dX → X les applications identiques qui sont continues. Alors l’applicationd(i) :dY →dX, g´en´er´ee par l’application i, est aussi continue.

Fig. 2.4.

Dans l’´egalit´e id^Y =d^Xd(i), l’applicationid^Y est ´epi, l’applicationd^X ∈ (E_u∩ Mono) et d(i) n’est pas ´epi si Y 6=X.

2.9Lemme. Dans la cat´egorieC₂V, la classe Mono n’est pas(M_u∩ Epi)- coh´er´editaire.

D´emonstration. Soient sur l’espace vectorial E deux topologies locale- ment convexes u etv comparablesu > v, et qui ne sont pas compatibles avec l’une et la mˆeme dualit´e:

(E, v)⁰ 6= (E, u)⁰.

Soient, p₁ : (E, u) → p(E, u) et p₂ : (E, v) → p(E, v) Π-r´epliques des objets correspondants, o`u Π est la sous-cat´egorie des espaces localement convexes complets aussi avec la topologie faible.

Pour l’application canonique f : (E, u) → p(E, v), nous avons le dia- gramme commutatif.

Fig. 2.5.

On a

(1) p(f)p1 =p2f

o`u p₂f est mono, et p₁ ∈ (M_u∩ Epi). Supposons que p(f) est mono. Dans ce cas p(f) est une inclusion topologique ([12], prop. 11, p. 151). Mais de l’´egalit´e (1), il r´esulte que p(f) est ´epi. Donc p(f) est iso. Ce qui signifie que (E, u)⁰ = (E, v)⁰ la contradiction obtenue montre quep(f) n’est pas mono.

2.10Lemme. Dans la cat´egorieC₂V la classeEpin’est pas(E_u∩ Mono)- h´ereditaire.

D´emonstration. Soit (E, u) un espace localement convexe, et (F, u⁰) un sous-espace dense propre. Examinons sur les espaces vectorielsE etF les plus fines topologies localement convexesσ⁰etσ. Nous avons le suivant diagramme commutatif et les applications canoniques.

Fig. 2.6.

De l’´egalit´e

iσ^F =σ^Eσ(i)

comme iσ^F est ´epi etσ^E ∈(E_u∩ Mono), il ne r´esulte pas queσ(i) est un ´epi.

Ainsi σ(i), et avec luii, et un iso ([12], Prop. 10, pp. 150–151).

2.11. SoitKune sous-cat´egorie coreflective de la cat´egorieC avec le fonc- teur correspondant k:C → K. Notons

µK={m∈ MonoC |k(m)∈ IsoC}.

Dual. SoitRest une sous-cat´egorie reflective avec le foncteurr :C → R.

Notons

εR={e∈ EpiC |r(e)∈ IsoC}.

Dans une cat´egorie local-petite `a limites projectives ((µK)^>, µK) est une structure bicat´egorielle de gauche.

Dual. (εR,(εR)^⊥) est une structure bicat´egorielle de droite. Les mor- phismes de la classe (εR)^⊥ sont nomm´es R-parfaits, et les morphismes de la classe εRsont nomm´esR-extensions [17].

Lemme [1].La classeεRestEpi-coh´er´editaire, et la classeµKestMono- h´er´editaire.

2.12. Soit C une cat´egorie `a carr´es cart´esiens et cocart´esiens, la classe M<sub>u</sub> stable `a gauche, etR - une sous-cat´egorie monoreflective.

Pour le morphisme arbitrairef :X→Y ∈ C soitr^X etr^Y laR-r´eplique des objets correspondants. Alors nous avons l’´egalit´e

(1) r(f)r^X =r^Yf.

Sur le morphisme r(f) etr^Y construisons le carr´e cart´esien

(2) r(f)v=r^Yu.

Alors

r^X =vt, (3)

f =ut (4)

pour un certain morphisme t.

CommeR ⊂(εR)^⊥ il r´esulte que r(f)∈(εR)^⊥. Ainsi,u∈(εR)^⊥, donc r^Y est mono universel. Conform´ement `a l’hypoth´ese concernant la classeM_u, nous d´eduisons que v ∈ M_u l’est aussi. Alors de l’´egalit´e (3), conform´ement au Lemme 2.6^∗, t est un ´epi. On v´erifie facilement que v est R-r´eplique de l’objet P. Alorst∈εR.

Fig. 2.7.

Ainsi, nous avons d´emontr´e

Th´eor`eme. Soit C une cat´egorie `a carr´es cart´esiens et cocart´esiens, la classe M_u stable `a gauche et R une sous-cat´egorie monoreflective. Alors

1. (εR,(εR)^⊥) est une structure bicat´egorielle de droite.

2. Pour tout morphisme f ∈ C l’´egalit´e f = ut est sa (εR,(εR)^⊥)- factorisation.

3. f ∈(εR^⊥), si et seulement si le carr´er(f)r^X =r^Yf est cart´esien.

2.13. Nous examinerons encore une construction qui permet d’obtenir des exemples de classes h´er´editaires (voir [10]). Soit (P,I) une structure bicat´egorielle dans la cat´egorieC, etA- une classe de morphismes. Notons

I⁰(A) ={m∈ MonoC | ∃a∈ Aainsi que ∃ma etma∈ I}, P⁰(A) = (I⁰(A))q.

Th´eor`eme. SoitCune cat´egorie local-petite `a limites projectives,(P,I) - une structure bicat´egorielle.

1. Si (A^>,A) est une structure bicat´egorielle de gauche, alors (P⁰(A), I⁰(A)) est une structure bicat´egorielle dans la cat´egorie C.

2. De plus, si A ⊂ EpiC, alors a)I⁰(A) est coh´er`editaire.

b)I⁰(A)est la plus petite classeA-coh´er´editaire qui contient la classeI.

2.14D´efinition. SoitAune classe de morphismes, et (E,M) - une struc- ture bicat´egorielle de droite dans la cat´egorie C. La classe A est nomm´ee

(E,M)-coh´er´editaire si du fait que a=meest (E,M) - factorisation du mor- phisme a∈ A, il r´esulte que m∈ A.

Notion duale. La classe A-h´er´editaire par rapport `a la structure bi- cat´egorielle de gauche (E,M).

2.15 Lemme. Soit (P,I) et (E,M) deux structures bicat´egorielles de droite et I ⊂ M. La classe A est (E,M)-coh´er´editaire si et seulement si la classe A ∩ P est (E,M)-coh´er´editaire.

3. COMPOSITION DES CLASSES DE MORPHISMES 3.1D´efinition. SoientAetBdeux classes de morphismes de la cat´egorie C. La composition des classes A et B se nomme la classe A ◦ B de tous les morphismes de la cat´egorie C de forme ab `a ´el´ements a ∈ A et b ∈ B pour laquelle il existe la composition correspondante ab.

3.2 Th´eor`eme. Soient (P,I) et (E,M) deux structures bicat´egorielles de droite dans la cat´egorie C. Examinons les affirmations suivantes:

1. La classeI est E-coh´er´editaire.

2. La classeI est (E,M)-coh´er´editaire.

3. P ◦ E ⊂ E ◦ P.

4. (E ◦ P,M ∩ I) est une structure bicat´egorielle de droite dans la cat´e- gorie C.

Alors1⇒2⇔3⇔4.

D´emonstration. 1⇒2. Conform´ement aux d´efinitions correspondantes.

2⇒3. Soientp∈ P,e∈ E tels qu’il existe la compositionpe. Examinons la (P,I) - factorisation du morphismepe

(1) pe=i1p1.

Soit

(2) i₁ =m₂e₂

la (E,M) - factorisation du morphismei₁. Il r´esulte des ´egalit´es ci-dessus que

(3) pe=m2(e2p1)

et comme e⊥m2, il existe un morphisme ttel que e₂p₁=te,

(4)

m2t=p.

(5)

De l’hypoth`ese et de l’´egalit´e (5) il r´esulte que m₂ ∈ I. De l’´egalit´e (4) il r´esulte quet∈ Epi. Du Lemme 2.4 et de l’´egalit´e (5), il r´esulte quem2∈ P.

Ainsi m2 ∈ P ∩ I =Isoet le morphismepe peut ˆetre ´ecrit

(6) pe= (m2e2)p1

avec m₂e₂ ∈ E etp₁ ∈ P.

Fig. 3.1.

3 ⇒ 4. Les deux classes E ◦ P et M ∩ I sont ferm´ees par rapport `a la composition et (E ◦ P) ⊥ (M ∩ I). Ainsi, il reste `a d´emontrer que tout morphisme poss`ede (E ◦ P,M ∩ I) - factorisation. Soitf ∈ C et

(7) f =ip

sa (P,I) - factorisation,

(8) i=me

est la (E,M) - factorisation du morphismei, et

(9) m=i1p1

est la (P,I) - factorisation du morphismem. Conform´ement `a l’hypoth`ese le morphisme p₁epeut ˆetre ´ecrit

(10) p1e=e2p2

avec e2 ∈ E etp2 ∈ P. Nous avons

i= (de(8)) =me= (de(9)) =i₁p₁e= (de(10)) =i₁e₂p₂

(11) i=i1e2p2

d’o`u il r´esulte que p2 ∈ I. Ainsi p2 ∈ I ∩ P=Iso. Alors e2p2 ∈ E, et de l’´egalit´e (10), d´eduisons que p₁e ∈ E. Du Lemme 2.4 il r´esulte que p₁ ∈ E. Comme m ∈ M de l’´egalit´e (9), il r´esulte que p1 ∈ M. Donc p1 ∈ E ∩ M=Iso, et le morphismef peut ˆetre factoris´e

(12) f = (i₁p₁)(ep)

avec i1p1 =m∈ M ∩ I, etep∈ E ◦ P.

Fig. 3.2.

4⇒2. Soit i∈ I et

(13) i=me

est la (E,M) - factorisation du morphismei. Soit

(14) i=t(e1p1)

la (E ◦ P,M ∩ I) - factorisation du mˆeme morphisme, o`ut∈ M ∩ I, ete₁ ∈ E et p₁ ∈ P. De l’´egalit´e (14), comme i∈ I, il r´esulte que p₁ ∈ Iso. Donc, les

´

egalit´es (13) et (14) sont deux (E,M) - factorisations du morphisme i. Donc e=re₁p₁,

(15)

mr=t (16)

pour un certain isomorphisme r. De la derni`ere ´egalit´e, comme r ∈ Iso, et t∈ I, il r´esulte que m∈ I.

Fig. 3.3.

3.3 Corollaire. 1. Si (E ◦ P,M ∩ I) est une structure bicat´egorielle de droite,

f =ip

la (P,I) - factorisation du morphisme arbitraire f ∈ C, et i=me

la (E,M) - factorisation du morphisme i, alors f =m(ep)

est la (E ◦ P,M ∩ I) - factorisation du morphisme f.

Fig. 3.4.

2. Si (P,I) est une structure bicat´egorielle, alors M ∩ I ⊂ MonoC.

3.4 Exemples. 1. Soit R une sous-cat´egorie reflective non-nulle dans la cat´egorieD. Puisque la classeM_u estEpi-coh´er´editaire (exemple 2.3), elle est aussi (εR)-coh´er´editaire. Ainsi les structures bicat´egorielles

(P,I) = (E_p,M_u) et (E,M) = (εR,(εR)^⊥) v´erifient la condition 1 du Th´eor`eme 3.2. Donc

((εR)◦ E_p,(εR)^⊥∩ M_u) est une structure bicat´egorielle dans la cat´egorieD.

2. De mˆeme,

((εR)◦ E_u,(εR)^⊥∩ M_p) est une structure bicat´egorielle dans la cat´egorieD.

3. SoitS ⊂ R. Ainsi la classe MonoestεR-coh´er´editaire (Lemme 2.6), et

((εR)◦ E_f,(εR)^⊥∩ Mono) est une structure bicat´egorielle dans la cat´egorieD.

4. ((εS)◦ E_p,(εR)^⊥∩ M_u) = (E_u,M_p).

5. ((εΓ₀)◦ E_p,(εΓ₀)^⊥∩ M_u) = (E_p⁰,M⁰_u).

6. ((εΠ)◦ E_p,(εΠ)^⊥∩ M_u) = (Epi,M_f).

3.5. Examinons, comme exemple au th´eor`eme pr´ec´edent, la construction suivante. Soit (P,I) une structure bicat´egorielle dans la cat´egorieDayant les propri´et´es suivantes:

1. La classeI estEpi-coh´er´editaire.

2. (I ∩ Epi,(I ∩ Epi)^⊥) est une structure bicat´egorielle de droite dans la cat´egorie D.

La structure bicat´egorielle de droite (I ∩ Epi,(I ∩ Epi)^⊥) d´etermine une sous-cat´egorieL de la cat´egorieD qui est (I ∩ Epi)-reflective

L= (I ∩ Epi)^⊥(Π).

Pour tout objet X de la cat´egorieD soitπ^X sa Π-r´eplique, et

(1) π^X =m^Xl^X

la (I ∩ Epi,(I ∩ Epi)^⊥) - factorisation de ce morphisme. Alors l^X est la L- r´eplique de l’objet X. Notons par RI la latice de toutes les sous-cat´egories I-reflectives dans la cat´egorieD. Il est evident que

RI ={R ∈R| L ⊂ R}.

Notons par BI la latice de toutes les structures bicat´egorielles (E,M) pour lesquellesP ⊂ E et la classeE est (I∩ Epi)-h´er´editaire, ou, ce qui est la mˆeme chose, la classe E estI-h´er`editaire.

Th´eor`eme. Les latices RI et BI sont anti-isomorphes.

D´emonstration. Soit (E,M) un ´el´ement de la laticeBI. Pour tout objet X de la cat´egorie D consid´erons la L-r´eplique l^X : X → lX et la (E,M) - factorisation du morphisme correspondant

(2) l^X =s^Xr^X.

La correspondance X 7→ r^X d´efinit la sous-cat´egorie R =M(L) qui est une sous-cat´egorieE-reflective. De plus, commel^X ∈ I, il r´esulte aussi quer^X ∈ I. Donc R ∈RI. Ainsi nous avons ´etabli la correspondance

ϕ:BI →RI, pour laquelle nous construirons celle inverse

ψ:RI →BI.

SoitR ∈RI. Comme εR ⊂ Epi, conform´ement `a la premi`ere hypoth`ese concernant la classe I, elle est (εR)-coh´er´editaire. Conform´ement au Th´eo- r`eme 3.2, le couple ((εR ◦ P,I ∩(εR)^⊥) est une structure bicat´egorielle dans la cat´egorieD. Pour montrer qu’elle appartient `a la laticeBI, il reste `a d´emontrer que la classe (εR)◦ P est (I ∩ Epi)-h´er´editaire. Soit

(3) ep=if,

o`u ep∈((εR)◦ P), c’est-`a-dire e∈εR, p∈ P, et i∈ I ∩ Epi. Comme p⊥ i du (3), il r´esulte l’existence d’un morphismet avec les propri´et´es

e=it, (4)

f =tp.

(5)

La classeI ∩ Epiest stable `a droite (hypoth`ese 2). DoncI ∩ Epi⊂ M_u. Ainsi, dans l’´egalit´e (4) t ∈ Epi (Lemme 2.6). Donc e ∈ εR et t ∈ Epi. Alors de l’´egalit´e (4), il r´esulte quet∈εR, et de l’´egalit´e (5) - quef ∈(εR)◦P. De cette mani`ere, nous avons montr´e que la classe (εR ◦ P) est (I ∩ Epi)-h´er´editaire.

Donc ((εR)◦ P,I ∩(εR)^⊥) est un ´el´ement de la laticeBI.

Fig. 3.5.

ϕψ= 1. Pour tout objetXde la cat´egorieD, laL-repliquel^X appartient

`

a la classe I. Ainsi la (εR ◦ P,I∩(εR)^⊥) - factorisation du morphisme l^X co¨ıncide avec (εR,(εR)^⊥) - factorisation (Corollaire 3.3). Donc ϕψ est l’ap- plication identique.

ψϕ = 1. Soit maintenant (E,M) ∈ BI,R = M(L) et nous allons d´e- montrer que E= (εR)◦ P.

(εR)◦ P ⊂ E. Comme P ⊂ E, il reste de d´emontrer que εR ⊂ E. Soit f :X→Y ∈εR. Alors

(6) gf =r^X

pour un certain morphisme g, o`u r^X est la R-r´eplique de l’objet X. Comme f ∈ Epi, nous d´eduisons queg ∈εR ⊂εL ⊂ I. Ainsi,r^X ∈ E (l^X =s^Xr^X est la (E,M) - factorisation du morphisme l^X), g∈(I ∩ Epi) et comme la classe E est (I ∩ Epi)-h´er´editaire, il r´esulte que f ∈ E.

Fig. 3.6.

E ⊂(εR)◦ P. Soit f :X→Y ∈ E, et

(7) f =ip

est la (P,I) - factorisation du morphisme correspondant, o`u i:Z → Y. D´e- montrons que i∈εR. Commei∈(I ∩Epi) ⊂ M_u∩ Epi=εΠ, il en r´esulte que

(8) π^Z=gi,

pour un certain morphismeg. L’´egalit´e (8) peut ˆetre ´ecrite aussi de la mani`ere suivante (voir l’´egalit´e (1)):

(9) gi=m^Zl^Z,

o`ui∈(I ∩ Epi), et m^Z ∈(I ∩ Epi)^⊥. Donc l^Z =ti, (10)

g=m^Zt, (11)

pour un certain morphisme t. L’´egalit´e (10), conform´ement `a l’´egalit´e (2), peut ˆetre ´ecrite

(12) ti=s^Zr^Z,

o`ui∈ E, ets^Z∈ M. Donc

r^Z =hi, (13)

t=s^Zh, (14)

Fig. 3.7.

pour un certain morphismeh. L’´egalit´e (13) montre quei∈εR. Le th´eor`eme est d´emontr´e.

3.6. Examinons `a pr´esent certaines structures bicat´egorielles qui v´erifient les deux hypoth`eses du p. 3.5.

1. (P,I) = (E_p,M_u). Alors

RI =R, L= Π.

2. (P,I) = (E_p⁰,M⁰_u), o`u M<sup>0</sup><sub>u</sub> est la classe des monomorphismes uni- versels `a l’image ferm´ee (voir [8], [9]). Il est ´evident que

M⁰_u∩ Epi=M_u∩ E_u,

et il est clair que cette structure bicat´egorielle v´erifie les hypoth`eses p. 3.5.

Nous avons

RI =Rb, L=S. 3. (P,I) = (E_u,M_p). Alors

RI =Ri, L= Γ₀.

Fig. 3.8.

3.7 Remarque. En ce qui concerne la latice R et ses sous-latices men- tionn´ees dans le diagramme pr´ec´edent, voir [5] et [9].

4. CLASSES DE MORPHISMES BICOMPL `ETES

4.1D´efinition. La classe de morphismesBde la cat´egorieCsera nomm´ee bicompl`ete si (B,B^⊥) est une structure bicat´egorielle de droite, et (B^>,B) est une structure bicat´egorielle de gauche.

4.2 Remarque. Soit B une classe bicompl`ete de morphismes de la cat´e- gorie C, conform´ement `a la d´efinition, B ⊂ E_u ∩ M_u. Ainsi, dans plusieurs cat´egories (par exemple, dans les cat´egories ab´eliennes)Isoest l’unique classe bicompl`ete.

4.3. Dans la cat´egorie C₂V de mˆeme que dans la cat´egorie C₂Ab [15]

il existe une classe propre de sous-cat´egories r´eflectives qui contient la sous- cat´egorie S des espaces `a topologie faible dont le foncteur reflecteur est exact

`

a gauche (voir [2–4], [10], [11], [14]).

Une telle sous-cat´egorie R d´etermine de mani`ere unique une sous-cat´e- gorie coreflective K avec les propri´et´es suivantes

εR=µK.

Ainsi εR ⊂ E_u ∩ M_u et εR est la classe de projections de la structure bi- cat´egorielle de droite (εR,(εR)^⊥) et la classe d’injections de la structure bi- cat´egorielle de gauche ((µK)^>, µK) = ((εR)^>, εR).

4.4 Th´eor`eme ([3], voir [7], Th´eor`eme 2.7). Soit R une sous-cat´egorie reflective dans la cat´egorie D avec le foncteur r´eflectif r :D→ R. Les affir- mations suivantes sont ´equivalentes:

1. Rest une sous-cat´egorie E_u-reflective etr(M_f)⊂ M_f. 2. Rest une sous-cat´egorie E_u-reflective etr(M_p)⊂ M_p.

3. εR est une classe bicompl`ete.

4. Il existe une sous-cat´egorie cor´eflective K dans la cat´egorie D avec le foncteur coreflectif k:D→ K, telle que

a)rk∼r;

b) kr∼k.

5. Il existe une sous-cat´egorie coreflectiveKdans la cat´egorieDtelle que εR=µK.

4.5 D´efinition [3]. Une sous-cat´egorie reflective de la cat´egorie D qui v´erifie les conditions ´equivalentes du th´eor`eme pr´ec´edent est nomm´eec-reflec- tive, et le couple de sous-cat´egories (K,R) est nomm´e couple conjugu´e de sous-cat´egories.

4.6 Exemples. (M,S) est un couple conjugu´e de sous-cat´egories. Les sous-cat´egories sN, Sh sont c-reflectives. La sous-cat´egorie N n’est pas c- reflective. La sous-cat´egorie E_u-reflective g´en´er´ee d’un espace non-nul M_p- injectif est c-reflective (voir [11], [14], [4]).

4.7Th´eor`eme [4]. 1. La correspondance R 7→εR

´

etablit un isomorphisme entre la latice compl`eteRcdes sous-cat´egoriesc-reflec- tives et la latice Bicdes classes bicompl`etes de la cat´egorie D.

2. Les ´el´ements de ces latices Rc et Bic forment des classe propres (ils ne sont pas d’ensembles).

4.8Th´eor`eme. SoitC une cat´egorie `a carr´es cart´esiens et cocart´esiens, dans laquelle (E_f,Mono) et (Epi,M_f) sont des structures bicat´egorielles.

1. Pour toute classe bicompl`ete B,les couples(B ◦ E_f,B^x)et(B^q,M_f◦ B) sont des structures bicat´egorielles dans la cat´egorieC.

2. Soit B₁ et B₂ deux classes bicompl`etes distinctes dans la cat´egorie C.

Alors les structures bicat´egorielles

(B₁◦ E_f,B^x₁) et (B₂◦ E_f,B^x₂) et les structures bicat´egorielles

(B₁^q,M_f ◦ B₁) et (B₂^q,M_f◦ B₂) sont distinctes.

D´emonstration. 1. Conform´ement au Lemme 2.6^∗, la classe Mono est E_u-coh´er´editaire. Comme B ⊂ E_u, il r´esulte que la classe Mono est aussi B- coh´er´editaire. Conform´ement au Th´eor`eme 3.2, nous d´eduisons que (E_f◦B,B^q) est une structure bicat´egorielle. Pour le couple (B^x,B ◦ M_f) la d´emonstration est duale.

2. Soitf ∈ B₁ etf /∈ B₂. Alorsf ∈ B₁◦ E_f. Supposons que f ∈ B₂◦ E_f. Alors ce morphisme se pr´esente

f =b2·e

avec b₂ ∈ B₂ et e∈ E_f. Comme f ∈ Mono, il r´esulte que e ∈ Mono. Alors e∈ E_f ∩ Mono=Iso, etf ∈ B₂.

4.9. Mentionnons encore d’autres paires de structures bicat´egorielles qui v´erifient la condition 2 du Th´eor`eme 3.2.

Lemme([10], Lemme 3.2). Soit Rune sous-cat´egorieE_u-reflective de la cat´egorie D. Alors:

1. r(M_u)⊂ M_u. 2. r(Mono)⊂ Mono.

4.10 Th´eor`eme ([10], Th´eor`eme 3.2). Soit (K,R) une paire conjugu´ee de sous-cat´egorie de la cat´egorie D, et (P,I) - une structure bicat´egorielle.

Alors les affirmations suivantes sont ´equivalentes:

a)r(I)⊂ I;

b) k(P)⊂ P.

4.11 Exemples. Soit (K,R) une paire conjugu´ee de sous-cat´egorie de la cat´egorie D.

1. Conform´ement au Th´eor`eme 4.4, nous avons r(M<sub>f</sub>)⊂ M<sub>f</sub> et k(E<sub>f</sub>)⊂ E<sub>f</sub> Ainsi, conform´ement au Th´eor`eme 4.10, il r´esulte que

r(Mono) =Mono et k(Epi)⊂ Epi, i.e., r est un monofoncteur, etkest un ´epifoncteur.

Le premi`ere affirmation r´esulte du Lemme 4.9 et la deuxi`eme est une propri´et´e topologique (voir [16]).

2. Par le Th´eor`eme 4.4 pour la paire (K,R), nous avons r(M_p)⊂ M_p. Donc r(E_u)⊂ E_u, ce qui est ´evident.

3. Conform´ement au Lemme 4.9, nous avonsr(M_u)⊂ M_u. Donck(E_p)⊂ E_p. Cela r´esulte directement de la description de la classeE_p (voir [8], [10]).

4.12Th´eor`eme. SoitCune cat´egorie `a carr´es cort´esiens et cocart´esiens, dans laquelle la classe M_u est stable `a gauche, Rune sous-cat´egorie monor´e- flective, et (P,I) - une structure bicat´egorielle `a droite dans la cat´egorie C ainsi que r(I)⊂ I. Alors

1. La classeI est (εR,(εR)^⊥)-coh´er´editaire.

2. ((εR)◦ P,I ∩(εR)^⊥) est une structure bicat´egorielle `a droite dans la cat´egorie C.

D´emonstration. 1. Soit f ∈ I et examinons le diagramme du p. 2.12.

Conform´ement `a l’hypoth´eser(f)∈ I, et le carr´e r(f)v=r^Yu est cart´esien. Doncu∈ I. Comme

f =ut

est la (εR,(εR)^⊥) - factorisation du morphismef (Th´eor`eme 2.12), il r´esulte que la classe I a la propri´et´e respective.

2. Cette affirmation r´esult´e des d´emonstrations pr´ec´edentes et du Th´eo- r`eme 3.2.

5. STRUCTURES BICAT ´EGORIELLES COMPL ´EMENTAIRES 5.1. Dans une cat´egorieC local et colocal-petite `a limites projectives ou inductives, la classe B des structures bicat´egorielles est une latice compl`ete avec un ´el´ement minimal et un ´el´ement maximal.

Soit (P₁,I₁),(P₂I₂)∈B. Consid´erons

(P₁,I₁)≤(P₂I₂)⇔ P₁ ⊂ P₂.

Comme une structure bicat´egorielle de droite est uniquement d´etermin´ee par sa classe de projections, la relation

(P₁,I₁)≤(P₂,I₂) sera not´ee plus simplement

P₁≤ P₂.

AinsiE_f est l’´el´ement minimal, et Epiest l’´el´ement maximal de la latice B. Mentionnons les r`egles simples

1. P₁∧ P₂=P₁∩ P₂. 2. P₁∪ P₂⊂ P₁∨ P₂. 3. (P₁∨ P₂)^x=I₁∩ I₂. 4. (P₁∧ P₂)^x=I₁∨ I₂. 5. P₁∨ P₂= (I₁∩ I₂)^q.

5.2. En appelant `a la terminologie de la th´eorie des latices, introduisons la notion suivante (voir [13], cap. I, §6):

D´efinition. Les ´el´ements (P₁,I₁),(P₂,I₂) de la latice B se nomment r´eciproquement compl´ementaires si

P₁∧ P₂ =E_f et P₁∨ P₂ =Epi.

Mentionnons que, dans toute cat´egorie, les structures bicat´egorielles (Epi,M_f) et (E_f,Mono) sont r´eciproquement compl´ementaires.

Conform´ement aux relations 5.1.1 et 5.1.5, nous pouvons dire que les

´

el´ements (P₁,I₁) et (P₂,I₂) de la latice B sont r´eciproquement compl´emen- taires si

P₁∩ P₂=E_f et I₁∩ I₂=M_f.

5.3. SoitBune classe bicompl`ete dans la cat´egorieC,(P₁,I₁) - une struc- ture bicat´egorielle avec la classe d’injectionsI₁(B,B^⊥)-coh´er´editaire; (P₂,I₂) - une structure bicat´egorielle avec la classe de projectionsP₂(B^>,B)-h´er´editaire.

Alors, conform´ement au Th´eor`eme 3.2 (P<sub>1</sub><sup>0</sup>,I<sub>1</sub><sup>0</sup>) = (B ◦ P<sub>1</sub>,B<sup>⊥</sup>∩ I<sub>1</sub>) est une structure bicat´egorielle; et conform´ement au Th´eor`eme dual 3.2^∗, le couple (P₂⁰,I₂⁰) = (P₂∩ B^>,I₂◦ B) est aussi une structure bicat´egorielle.

Th´eor`eme. 1. La classeI₂⁰ est P₂ - coh´er´editaire.

2. La classeP₁⁰ est I₁ - h´er´editaire.

3. P₁⁰ ∩ P₂⁰ ⊂ P₁∩ P₂. 4. P₁∪ P₂⊂ P₁⁰ ∨ P₂⁰.

En particulier, si les structures bicat´egorielles (P₁,I₁) et (P₂,I₂) sont r´eciproquement compl´ementaires, alors les structures bicat´egorielles (P₁⁰,I₁⁰) et (P₂⁰,I₂⁰) le sont aussi.

D´emonstration. 1. Soit i2b∈ I₂⁰ avec i2∈ I₂ etb∈ B. Soit

(1) i2b=f p2

avec p₂∈ P₂. Comme p₂ ⊥i₂ il y a un morphisme g de telle mani`ere que b=gp2,

(2)

f =i2g.

(3)

Dans l’´egalit´e (2), p₂ est un ´epi, donc le carr´e

(4) g·p₂ = 1·b

est cocart´esien. Donc g∈ B, et dans l’´egalit´e (3)i2 ∈ I₂ etg∈ B. Ainsi nous avons d´emontr´e quef ∈ I₂⁰.

Fig. 5.1.

2. Dual.

3. Nous avons

P₁⁰ ∩ P₂⁰ = (B ◦ P₁)∩(P₂∩ B^>).

Soit que f ∈ P₁⁰ ∩ P₂⁰. Alors f =bp₁ avec b ∈ B et p₁ ∈ P₁. De mˆeme bp₁ ∈ P₂ et bp₁ ∈ B^>. De la relation bp₁ ∈ B^>, il r´esulte que b ∈ B^>. Donc b∈ B ∩ B^>=Iso. Alorsbp1∈ P₂ etbp1 ∈ P₁, i.e., bp1∈ P₁∩ P₂.

4. CommeP₁⊂ P₁⁰, il reste `a montrer queP₂ ⊂ P₁⁰∨ P₂⁰. Soitp₂ ∈ P₂, et

(5) p2 =i1p1

la (P₁,I₁) - factorisation du morphismep2,

(6) i₁ =bb⁰

la (B^>,B) - factorisation du morphisme i₁. De l’´egalit´e (5), il r´esulte que i₁ ∈ P₂, et de l’´egalit´e (6), il r´esulte que b⁰ ∈ P₂, comme la classe P₂ est (B^>,B)-h´er´editaire. Ainsi dans l’´egalit´e

p2=bb⁰p1

nous avons p1 ∈ P₁, b ∈ B, et b⁰ ∈ P₂ ∩ B^>. Ainsi b, b⁰, p1 ∈ P₁⁰ ∪ P₂⁰ et bb⁰p₁ ∈ P₁⁰ ∨ P₂⁰

Fig. 5.2.

5.4Th´eor`eme. SoitC une cat´egorie `a carr´es cart´esiens et cocart´esiens, et B - une classe bicompl`ete de morphismes. Supposons que (E_f,Mono) et (Epi,M_f) sont des structures bicat´egorielles dans la cat´egorie C. Alors

1. Les structures bicat´egorielles

(B ◦ E_f,B^x), (B^q,M_f ◦ B) sont r´eciproquement compl´ementaires.

2. La classeM_f ◦ B estEpi-coh´er`editaire.

3. La classeB ◦ E_f estMono-h´er´editaire.

D´emonstration. 1. Les couples correspondants forment des structures bicat´egorielles conform´ement au Th´eor`eme 4.8. Ils sont compl´ementaires con- form´ement au th´eor`eme pr´ec´edent.

2 et 3 r´esultent du Th´eor`eme 5.3.

5.5 Corollaire. Dans la cat´egorie D, il existe une classe propre de structures bicat´egorielles qui poss`ede des compl´ements.

D´emonstration. Conform´ement aux Th´eor`emes 5.4 et 4.7.

REFERENCES

[1] D. Botnaru,Reflective subcategories and right bicategory structures. Soviet. Math. Dokl.

15(1974), 1588–1591.

[2] D. Botnaru, Paires conjugu´ees de sous-cat´egories. Uspehy Mat. Nauk 31 (1976), 3, 203–204. (En russe)

[3] D. Botnaru, Paires conjugu´ees de sous-cat´egories dans la cat´egorie des groupes local- convexes. Analyse fonctionnelle (Ulianovsck) 7(1976), 33–36. (En russe)

[4] D. Botnaru, Sous-cat´egories r´eflectives et structures bicat´egorielles de droite.R´esum´e de la th´ese de docteures science Moscou, 1979. (En russe)

[5] D. Botnaru,Composition et commutativit´e des foncteurs reflectifs.Analyse fonctionnelle (Ulianovsk)21(1983), 53–71. (En russe)

[6] D. Botnaru,Aspects cat´egoriaux des espaces vectorials localement convexes, Annales Sci- entifiques de l’Universit´e d’Etat de Moldova, S´erie “Sciences physico-math´ematiques”, pp. 77–86, 2000.

[7] D. Botnaru et O. Cerbu,Semireflexive product of two subcategories.In preparation.

[8] D. Botnaru et V. Gysin,Monomorphismes stables dans la cat´egorie des espaces local- convexes.Izv. Acad. Nauk M.S.S.R.1(1973), 3–7. (En russe)

[9] D. Botnaru et A. Turcanu,Les produit de gauche et de droite de deux sous-cat´egories.

Acta et commentationes Chisinau V.III (2003), 57–73.

[10] D. Botnaru et A. Turcanu,On Giraux subcategories in locally convex spaces.ROMAI J.

1, (2005), 7–30.

[11] B.S. Brudovski, La topologie nucl´eaire associ´ee, applications du type S et les espaces strict nucl´eaires.Soviet Math. Dokl.178(1968), 271–273. (En ruse)

[12] A. Grothendieck,Topological Vector Spaces.Gordon and Breach, New York, 1973.

[13] G. Gr¨atzer,General Lattice Theory.Akademie-Verlag, Berlin, 1978.

[14] V.A. Geiler et V.R. Gysin, Dualit´e g´en´eralis´ee pour les espaces localement-convexes.

Analyse fonctionnelle (Ulianovsk)11(1978), 41–50. (En ruse)

[15] P. Kenderov,Groupes Vectoriaux Topologiques.Mat. Sbornic81(123) (1970), 580–599.

(En russe)

[16] A.P. Robertson et W. Robertson. Topological Vector Spaces, Cambridge University Press, 1964.

[17] G.E. Strecker,On caracterization of perfect morphisms and epireflective hulls. Lecture Notes in Math.378(1974), 468–500.

Received 28 July 2008 Academie de Transport

145, Muncesti, Chisinau Rep. Moldova, MD 2005 [email protected]