Compl ´etude

Universit´e Toulouse III Ann´ee 2019-2020

TD Calculabilit´e et complexit´e Feuille n^◦4

Compl ´etude

Exercice 1 [Relation d’ordre]. Etant donn´e deux langagesL ⊂ A^∗etL⁰ ⊂ B^∗, on dit queLse r´eduit `a L⁰, not´eL ≤_P L⁰si il existe un algorithme fonctionnant en temps polynomial f :A^∗ → B^∗v´erifiant :

x∈ L ⇐⇒ f(x)∈ L⁰

1. Montrer que≤_Pest un pr´e-ordre, c’est `a dire qu’elle est r´eflexive et transitive.

2. Une classe de complexit´eCest close par≤_PsiL ≤_P L⁰etL⁰ ∈ Cimplique queL ∈ C. Montrer queP,NPetco-NPsont closes pour≤_P.

3. Montrer queExpetNExpsont closes pour≤_P.

4. On suppose que P = NP. Soit L ∈ P tel que L 6= _∅ et L 6= A^∗, montrer que pour tout L⁰ ∈ _{NPon a}L⁰ ≤_P L(autrement ditL_estNP-complet). Pourquoi doit-on exclure les langages triviaux ?

5. SoitLun probl`emeNP-complet. Montrer que siL⁰ ∈NPetL ≤_PL⁰alorsL⁰estNP-complet.

Exercice 2 [Exemples de probl`emes complets]. On s’int´eresse aux probl`eme de compl´etude suivant : 1. Montrer que le langage{(hN i,x, 1^t): la machine non d´eterministeN acceptexen temps≤t}

estNP-complet.

2. Montrer que le langage{(hMi,x,t): la machine d´eterministeMacceptexen temps≤t}est Exp-complet (test coder en binaire).

3. Montrer que le langage{(hN i,x,t): la machine non d´eterministeN acceptexen temps≤t} estNExp-complet (test coder en binaire).

Exercice 3 [SATest NP-complet]. Unlitt´eralest soit une variablex_i soit sa n´egation¬x_i. Une clause est une disjonction de litt´erauxC=l₁∨ · · · ∨l_k o `u lesl_isont des litt´eraux. Une formule est dites sous forme normale conjonctivesi elle est la conjonction de clause :

ϕ=^{^}

i

C_i o `u C =^_

j

l_j est une clause

Le probl`eme suivant est connu commeNP-complets.

SAT:

— entr´ee :Une formule bool´eenneϕ´ecrite comme une conjonction de disjonction de litt´eraux.

— question : ϕest-elle une satifaisable, c’est `a dire existe t’il une affectation (a₁, . . . ,a_n)_telle queϕ(a₁, . . . ,an)soit vraie ?

SATprend en entr´ee une formule bool´eenne sans quantificateur ϕ(x₁, . . . ,xn)est on cherche `a savoir s’il existe une affectation des variable qui satisfaitϕ. Le probl`emeSATest connu commeNP-complets.

A l’aide de la technique de r´eduction montrer que le probl`eme suivant estNP-complet.

3SAT:

— entr´ee :Une formuleϕform´ee de conjonction de disjonction de litt´eraux o `u chaque disjonc- tion contient au plus 3 litt´eraux.

— question :ϕest elle satisfaisable ?

Exercice 4. Le probl`emeCliques’´enonce ainsi :

— entr´ee :Un graphe non orient´eGet un entierk.

— question :Existe-t-il un ensemble deksommets deux `a deux adjacents ?

Nous allons monter que ce probl`eme est NP-complet, en le r´eduisant depuis SAT. Pour cela nous allons suivre une preuve propos´ee par Richard Karp en 1972.

1. Montrer queClique∈_NP.

2. SoitFune formule en forme normale conjonctive. On d´efinit le grapheG_F= (V_F,E_F)tel que :

— les sommets de ce graphe sont les paires(l,c)<sub>, o `u</sub>cest une clause deF etlest un litt´eral (c’est `a dire une variable ou sa n´egation) qui apparaˆıt dansc;

— les sommets(l,c)et(l⁰,c⁰)sont reli´es dans le graphe si et seulement sic6= c⁰etln’est pas la n´egation del⁰.

Par exemple siF = c₁∧c₂∧c₃avecc₁ = (x∨y),c₂ = (¬x∨ ¬y)etc₃ = (¬x∨ ¬y),G_Fest le graphe suivant :

y,c3 y,c1 x,c1

¬x,c₂

¬y,c2 ¬x,c3

Montrez que siFest constitu´ee denclauses, alorsFest satisfiable si et seulement siGFcontient une clique de cardinal n. On prouvera soigneusement les deux implications en construisant une clique dans un sens, et une interpr´etation des formules dans un autre.

3. On d´efinit la taille |F| d’une formule F par le nombre de litt´eraux qui la constituent (dans l’exemple ci-dessus, |F| = 6), et la taille |G| d’un graphe comme la somme de son cardinal (nombre de sommets) et de son nombre d’arˆetes. Bornez|G_F|par un polyn ˆome en|F|(c’est-`a- dire trouvez un polyn ˆome ptel que|G_F| ≤p(|F|)_).

4. En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, prouvez queCliqueestNP-complet.

5. On consid`ere le probl`emeEnsemble Ind´ependant:

— entr´ee :Un graphe non orient´eGet un entierk.

— question :Existe-t-il un ensemble dek sommets ind´ependants, c’est `a dire tous non reli´es deux `a deux ?

Montrer que le probl`emeEnsemble Ind´ependantestNP-complet.

Exercice 5 [Coloriages]. Une k-coloration d’un graphe non orient´eG = (_S,A)est une fonction c : S −→ {1, . . . ,k} telle que c(u) 6= c(v) si (u,v) ∈ A. Autrement dit 1, 2, . . . ,k repr´esentent les k couleurs et deux sommets adjacents doivent avoir des couleurs diff´erentes.

On consid`ere les deux probl`emes de d´ecision suivant.

3-Coloriage:

• entr´ee :Un graphe non orient´eG.

• question :Est-il possible de colorier les sommets deGavec 3 couleurs diff´erentes de telle mani`ere que deux sommets reli´es par une arˆete aient des couleurs diff´erentes ?

Coloriage:

• entr´ee :Un graphe non orient´eGet un entierkcod´e en binaire.

• question :Est-il possible de colorier les sommets deG aveck couleurs diff´erentes de telle mani`ere que deux sommets reli´es par une arˆete aient des couleurs diff´erentes ?

Partie I: Quelques questions simples.

1. Montrer que 3-Coloriage∈NPetColoriage∈NP.

2. On suppose que 3-ColoriageestNP-complet. Est ce qu’on peut en d´eduire queColoriage estNP-complet ? Justifiez votre r´eponse.

Partie II: Montrons que3-Coloriage∈NP-complet.

Pour d´emontrer que 3-Coloriage ∈ NP-complet on utilise une r´eduction `a 3-SAT. On ad- mettra que 3-SAT est NP-complet. Etant donn´ee une formule ϕ sur n variables form´ee par une conjonction de mclauses tel que chaque clause est une disjonction de trois variables ou n´egation de variables, on associe un grapheGϕ= (Sϕ,Aϕ).

L’ensemble des sommets Sϕ est compos´e d’un sommet pour chaque variable, d’un sommet pour chaque n´egation de variable, 5 sommets pour chaque clause et de trois sommet sp´eciaux not´eV,FetR(pour vrai, faux et rouge).

L’ensemble des arˆetesAϕest construit de la mani`ere suivante :

— pour chaque variable on relie deux `a deux le sommet qui lui correspond, le sommet qui correspond `a sa n´egation et le sommet R pour former un triangle ;

— on relie deux `a deux les trois sommets sp´eciaux pour former un triangle ;

— pour chaque clauses, on associe 10 arˆetes qui relient les cinq sommets associ´es `a cette clause, les trois variables ou n´egation de variables associ´e `a cette clause et le sommet sp´ecial Vde telle sorte `a avoir le sous graphe suivant (on suppose ici que l’on consid`ere la clause x∨y∨z) :

x

y

z

V

Par exemple la formule ψ = (x∨ ¬y∨z)∧(¬x∨ ¬z∨t) va ˆetre coder par le graphe G_ψ suivant :

¬x x

¬y y

¬z z

t ¬t

V R

F

1. Donner un 3-coloriage deGψ(on pourra colorier directement le graphe donn´e) et en d´eduire une affectation des variables deψqui montre qu’elle est satisfaisable.

2. Nous allons faire le cas g´en´eral. Soitϕune formule etcun coloriage associ´e. Montrez que chaque sommet associ´e `a sa variable ou `a sa n´egation est colori´e par c(V) _ou c(F)_{, les} couleurs des sommets sp´eciauxVetF.

3. Dans le graphe suivant, montrer que si on colore le sommet V avec la couleur 1 et les sommetsx,yetzpar les couleurs 1 ou bien 2 alors il est possible de compl´eter le coloriage

pour obtenir un 3-coloriage si et seulement si au moins un des sommetsx,youzest colori´e avec la couleur 1.

x

y

z

V

4. Montrer que pour toute interpr´etation deϕil existe une 3-coloration deG_ϕ.

5. Montrer que s’il existe une 3-coloration deGϕalorsϕadmet une interpr´etation valide.

6. Montrer qu’il existe un algorithme polynomial qui transforme une formule ϕen graphe G_ϕ. En particulier on donnera le nombre de sommets et d’arˆetes deG_ϕ.

7. Conclure que 3-Coloriage∈NP-complet.

Partie III Un ´etablissement contient 3 salles. On cherche `a construire un algorithme qui prend en argument les plages horaires o `u l’on a besoin d’une salle et r´epond oui si il existe une affectation possible et non sinon (c’est `a dire que l’on a besoin de plus de 4 salles pour satisfaire les contraintes).

Votre directeur vous demande de r´ealiser un algorithme qui r´esout ce probl`eme en temps polynomial. Qu’est ce que vous lui r´epondez ?

Exercice 6. Montrer que si un probl`emeLestNP-complet alorsLestco-NP-complet.

En d´eduire que le probl`eme suivant estco-NP-complet.

TAUTOLOGIE:

— entr´ee :Une formule bool´eenneϕ.

— question :ϕest-elle une tautologie, c’est `a direϕ(a₁, . . . ,a_n)est vraie pour toute affectation (a₁, . . . ,a_n)_?

Exercice 7 [Algorithme polynomial pour r´esoudre SAT si P = NP]. Le but de cet exercice est de donner un algorithme polynomial pour r´esoudre SAT si P = NP. Soit(M_i)_i∈N une ´enum´eration effective des machines de Turing fonctionnant en temps polynomial. On consid`ere l’algorithme sui- vant :

Algorithm 1:Algo polynomial pour les grandes instances deSATsiP=_NP Data: Une formuleϕde taillen

Result:accepterourejeter

fori=1 to ndo

simulerM_i(ψ)pour toute formuleψde taille≤_log(n)_;

si pour toutψ,M_i donne toujours une affectation valide lorsqueψ∈SAT, sortir de la boucle;

simulerM_i(ϕ)produisant une affectationades variablesϕ; siϕ(a) =1acceptersinon rejeter;

Montrer que si P = NP alors l’algorithme pr´ec´edent d´ecide SAT en temps polynomial pour des instances suffisamment grandes.