E536 Trois sommets et trois couleurs pour un angle droit Solution proposée par Kim Baraka
Les coordonnées en minuscules représentent des entiers. Pour suivre le raisonnnement, un schéma est fortement conseillé.
Soit un point rouge quelconque R(a ;b).
Dans un des cas possibles, il existe au moins un point bleu (ou jaune) d’abscisse a, et au moins un point jaune (ou bleu) d’ordonnée b. On peut ainsi former au moins un triangle rectangle en R qui répond aux conditions de l’énoncé.
Si ce n’est pas le cas, c’est que tous les points de coordonnées (a ;y) avec y décrivant l’ensemble des entiers (ou tous les points de coordonnées (x ;b) avec x décrivant l’ensemble des entiers : le travail suivant devra être fait en tenant compte de cette remarque, les lignes horizontales devenant verticales et vice versa ; nous nous en abstiendrons par souci d’économie) sont rouges.
Ensuite : nous savons qu’il existe au moins un point B(c ;d) de couleur bleue.
S’il existe un point J(c ;t) (t entier) jaune, alors nous pouvons former un triangle rectangle en J. Si ce n’est pas le cas, les autres points colorés d’abscisse c sont soit bleu soit rouge.
S’il s’agit d’un agencement de bleu et de rouge favorable à l’apparition d’un triangle rectangle en B’ ou R’ (points respectivement bleu et rouge d’abscisse c) approprié, alors un tel triangle existe et le problème a une solution ; sinon, intéressons nous aux
combinaisons possibles de deux points de même abscisse (différente de a et c) tel que l’un des deux points soit d’ordonnée t : si l’un des points est bleu et l’autre rouge, c’est
« réglé », si l’un est jaune, l’autre bleu, aussi (en utilisant R(a ;t)), si les deux sont jaunes (donc tout le reste des points disponibles est jaune car ces deux points sont arbitraires), alors il y a certainement deux points jaune et rouge de même ordonnée pour former un triangle rectangle en un R’ avec B ; si ce R’ n’existe pas (que des points bleus d’abscisse c), nous pouvons évidemment trouver un triangle (en utilisant des proportions adéquates pour vérifier Pythagore, ce qui est possible et démontrable), enfin si les deux sont rouges ou les deux sont bleus, il en est de même (vu qu’une infinité [assez spéciale] de rouges ou de bleus seront « disponibles » ).
Dans tous les cas, un triangle répondant à la question est trouvable.
En refaisant la démonstration pour les autres combinaisons de couleurs (par exemple prendre pour point de départ B(c ;d)), nous parvenons à généraliser l’affirmation recherchée.
