Trois sommets et trois couleurs pour un angle droit
Problème E536 de Diophante
Chaque point à coordonnées entières du plan est colorié avec l'une des trois couleurs « bleu », « rouge » et « jaune ». Les trois couleurs sont utilisées au moins une fois. Démontrer qu'on peut toujours former un triangle rectangle dont les trois sommets sont de couleurs toutes différentes.
Solution
De manière alternative, ou il existe un triangle trichrome (dont les trois
sommets sont de couleurs toutes différentes) dont deux cotés sont parallèles aux axes, ou il n’existe aucun triangle trichrome dont deux cotés sont parallèles aux axes.
Dans le premier cas, le problème est résolu.
Dans le second cas, montrons d’abord que la coloration est nécessairement du type : pour un des axes, les fibres parallèles à cet axe sont toutes monochromes.
Si toutes les fibres verticales ne sont pas monochromes, il existe deux points A et B de même abscisse de couleurs a et b différentes. Notons c la troisième couleur.
Manifestement, il n’y a aucun point de couleur c sur les fibres y = yA et y = yB . Soit C un point de couleur c. Si C a même abscisse que A et B, alors tous les points de la fibre y = yA sont de couleur a et tous les points de la fibre y = yB sont de couleur b. Si C n’a pas même abscisse que A et B, soit H le point de coordonnées (xC,yA). Ce point n’est ni de couleur b (ACH serait
trichrome) ni de couleur c (ABH serait trichrome) ; il est nécessairement de couleur a. Par suite, tous les points de la fibre y = yA sont de couleur a. De même, tous les points de la fibre y = yB sont de couleurs b.
De proche en proche, il apparaît que toutes les fibres horizontales sont monochromes.
A
C
H
Dans cette situation, soit B un point bleu. La parallèle menée de B à la première diagonale coupe une ligne rouge en un point R et la parallèle menée de B à la deuxième diagonale coupe une ligne jaune en un point J.
Le triangle trichrome BRJ est rectangle.
R J
B
