E536. Trois sommets et trois couleurs pour un angle droit
Chaque point à coordonnées entières du plan est colorié avec l'une des trois couleurs « bleu », « rouge » et « jaune ».
Les trois couleurs sont utilisées au moins une fois. Démontrer qu'on peut toujours former un triangle rectangle dont les trois sommets sont de couleurs toutes différentes.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il n’existe aucun triangle rectangle dont les trois sommets sont de couleurs toutes différentes.
Il existe au moins un point bleu, un point rouge et un point jaune, qu’on note respectivement , de coordonnées .
Supposons et de même ordonnée. Prenons quelconque à l’abscisse de . Si était rouge (respectivement jaune), il formerait un triangle rectangle tricolore avec et (respectivement et ). Donc tout point de même abscisse que est bleu. De la même façon, tout point de même abscisse que est rouge et tout point de même abscisse que est jaune.
Supposons et de même ordonnée, mais d’ordonnée différente. Prenons à l’abscisse de et à l’ordonnée de et . Si P était rouge (respectivement jaune), il formerait un triangle rectangle tricolore avec et (respectivement et ). Donc est bleu. On est alors ramené au cas précédant (où joue le rôle de ). Tout point de même abscisse que est bleu, tout point de même abscisse que est rouge et tout point de même abscisse que est jaune.
On peut permuter indifféremment le rôle de et . On peut aussi échanger le rôle d’abscisse et ordonnée. On aboutit au résultat plus général suivant. Si au moins deux points parmi et ont même ordonnée (respectivement même abscisse) alors tout point à l’abscisse (respectivement à l’ordonnée) de l’un d’eux en a la même couleur.
B R J
P
B R J
P R J
B
R J
B
B
R
J
Supposons maintenant , et d’ordonnées toutes différentes. Prenons à l’abscisse de et à l’ordonnée de . Si était jaune, il formerait un triangle rectangle tricolore avec et . Si est bleu ou rouge, on est ramené à l’un des cas précédents.
On peut supposer, sans perdre en généralité, que tout point de même abscisse que ou est respectivement bleu, rouge ou jaune. (L’autre cas se traite de façon analogue.)
On pose alors . Le triangle est rectangle tricolore. Contradiction.
On peut toujours former un triangle rectangle dont les trois sommets sont de couleurs toutes différentes.
P R
J B
P R
J B
R’
J’
B’
