E536 : Trois sommets et trois couleurs pour un angle droit
Chaque point à coordonnées entières du plan est colorié avec l'une des trois couleurs « bleu », « rouge » et « jaune ». Les trois couleurs sont utilisées au moins une fois. Démontrer qu'on peut toujours former un triangle rectangle dont les trois sommets sont de couleurs toutes différentes.
★ Supposons d’abord que trois points A, B, C, un de chaque couleur, soient alignés selon le quadrillage, par exemple verticalement.
• Si un des points D de l’horizontale passant par A n’est pas de la même couleur que A, par exemple de la couleur de B, la propriété est vérifiée par DAC. Idem pour B et C.
• Si les points des horizontales respectives de A, B, C sont tous de la même couleur, nous pouvons prendre l’origine en B, et si n et -m sont les ordonnées respectives de A et C, les points A‘ (m,n) de la couleur de A, et C‘ (n,-m) de la couleur de C sont bien tels que A’BC‘ vérifie la propriété.
★ Supposons deux des points, B et C alignés, par exemple verticalement; si A est aligné horizontalement avec B ou C, ABC vérifie la propriété; sinon, considérons la projection D de A sur cette verticale : si D n’est pas de la couleur de A, par exemple de celle de B, ADC vérifie la propriété; si D est de la couleur de A, on est ramené au cas précédent avec BCD.
★ Si aucune paire de points parmi A, B, C ne sont alignés suivant le quadrillage, la projection E de B sur la verticale de C est soit de la couleur de A, auquel cas BCE vérifie la propriété, soit de la couleur de B (resp. de C), et on est ramené au cas ci-dessus avec CE (resp. BE) alignés, et A de la troisième couleur.
