E536. Trois sommets et trois couleurs pour un angle droit
Chaque point à coordonnées entières du plan est colorié avec l'une des trois couleurs « bleu », « rouge » et
« jaune ». Les trois couleurs sont utilisées au moins une fois. Démontrer qu'on peut toujours former un triangle rectangle dont les trois sommets sont de couleurs toutes différentes.
On va définir un mappage du plan, pour lequel la solution n’est pas triviale (triangle avec ses cotés // aux axes), puis une solution générale pour les cas restant.
Soit un point B0 bleu que nous définissons comme origine des axes horizontal (Bx) et vertical (By).
1. Cas 1 : il existe un point de (Bx) qui n’est pas bleu
Soit R1, un point de (Bx), qui n’est pas bleu. Mettons que ce point soit rouge.
Il ne peut exister de point jaune J2, sur la verticale (VR1) passant par R1, sinon le triangle B0R1J2 serait tricolore.
Soit J3, un point jaune, situé donc hors(VR1). Soient P4, sa projection orthogonale sur (Bx)
P4 ne peut être ni bleu (triangle P4R1J3 tricolore) ni rouge (triangle P4B0J3). Donc P4 est jaune et nous l’appelons J4.
Soit P5, un point quelconque situé sur (VR1) distinct de R1. P5 ne peut être bleu (triangle P5R1J4), et comme (VR1) ne porte pas de point jaune, P5 est rouge (nous l’appelons donc R5), et tous les points de (VR1) sont rouges.
Soit P6, un point quelconque situé sur (By) distinct de B0. P6 ne peut être ni rouge (triangle P6B0J4), ni jaune (triangle P6B0R1), donc P6 est bleu (nous l’appelons donc B6), et tous les points de (By) sont bleus.
Soit P7, un point quelconque situé sur (VJ4) distinct de J4. P7 ne peut être ni rouge (triangle P7B0J4), ni bleu (triangle P7R1J4), donc P7 est jaune (nous l’appelons donc J7), et tous les points de (VJ4) sont jaunes.
On montre, de la même façon, que tous les points d’une verticale sont de la même couleur que le pied de la verticale sur (Bx).
Soit maintenant 3 verticales de couleur différente V1, V2, V3, d’abscisse H1, H2, H3 dans l’ordre croissant.
Soit n la distance V2-V1 et m la distance V3-V2.
Soit une droite oblique (D) qui coupe V1 en A (d’ordonnée entière a) et V3 en B (d’ordonnée entière b).
Soit d la longueur du segment AB.
Le triangle H2AB est tricolore. Pour qu’il soit rectangle, il faut : ݊² + ܽ² + ݉² + ܾ² = ݀² On a ݀² = (ܾ – ܽ)² + (݉ + ݊)², d’où ܽ. ܾ = ݊. ݉
Il suffit de prendre ܽ = ݊ et ܾ = ݉ pour que le triangle H2AB soit rectangle.
2. Cas 2 : tous les points de (Bx) sont bleus
Tous les points de (By) sont bleus aussi, sinon on fait une rotation pour de -90° pour amener l’axe (By) en (Bx) horizontal, et se ramener au cas précédent.
On définit alors un nouveau système d’axes, en prenant un point rouge (R0) comme origine. Le nouvel axe horizontal (Rx) coupe (By) et possède donc un point bleu (non rouge), et on est ramené au cas précédent.
