E536. Trois sommets et trois couleurs pour un angle droit
Par l’absurde. Considérons le point (0,0). Soit il existe un point d’une autre couleur situé sur la ligne ou la colonne 0. Sinon, puisque les trois couleurs sont utilisées au moins une fois, il existe ailleurs un point d’une autre couleur. Son projeté orthogonal sur la ligne ou la colonne 0 est alors de la première couleur.
Dans les deux cas, nous avons deux points de deux couleurs distinctes situés sur une même rangée, et quitte à réorienter le plan, nous supposerons qu’il s’agit de la ligne 0. Puisque les trois couleurs sont utilisées au moins une fois, il existe un point de la troisième couleur.
S’il est situé sur la ligne 0, alors, modulo une translation et une permutation des couleurs, nous supposerons queB= (−b,0) est bleu,R= (0,0) est rouge et J = (j,0) est jaune où−b <0< j.S’il existait un pointX = (−b, y) rouge (resp.
jaune), alors le triangleXBJ (resp.XBR) serait rectangle en B et tricolore.
Ainsi tout point en colonne−best bleu. De même tout point en colonnej est jaune. Mais alorsS = (−b,−j) est bleu etT = (j,−b) est jaune, et le triangle RST serait rectangle enRet tricolore.
Sinon il n’est pas situé sur la ligne 0, ni d’ailleurs sur une même colonne que l’un des deux points : modulo une translation et une permutation des couleurs, nous supposerons queB = (−b,0) est bleu,R = (0, y) est rouge etJ = (j,0) est jaune où−b <0< j.Le pointO= (0,0) ne peut être bleu (resp. jaune) car sinon le triangleROJ (resp.ROB) serait rectangle enO et tricolore.
Dans tous les cas, nous aboutissons à une contradiction, et cela assure l’existence d’un triangle rectangle tricolore.
1
