Math´ematiques 3 TD 3 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020
TD 3 – S´ eries num´ eriques
Premiers exemples
Exercice 1. Divergence et sous-suites des sommes partielles.
On consid`ere les s´eries de terme g´en´eral un= (−1)n√
n, vn =√ n−√
n+ 1 etwn=√
2n−√ 2n+ 1 dont on note respectivement Un,Vn etWn les sommes partielles.
1. Montrer que Wn=U2n+1. 2. Montrer que la s´erieP
un diverge grossi`erement.
3. Montrer que la s´erieP
vn diverge, mais pas grossi`erement.
4. Montrer que la s´erie P
wn diverge, mais pas grossi`erement. On pourra montrer que pour tout >0,√
1 +61 +.
Exercice 2. Une autre s´erie divergente.
On consid`ere la s´erie de terme g´en´eralun= nlog1
2n pourn>2, dont on noteSnles sommes partielles.
1. Montrer que pour tout n>2,S2n+1−S2n > 2(n+1)1 . 2. En utilisant le fait que la s´erie harmoniqueP1
n diverge, conclure que la s´erieP 1
nlog2n diverge.
Exercice 3. Deux s´eries proches.
Pour n∈N, on pose un= (−1)3n+1n et vn= (6n+1)(6n+4)3 . 1. Montrer que la s´erieP
un converge.
2. Montrer que pour tout n∈N,u2n+u2n+1 =vn. 3. Montrer que P
vn converge, et que queP+∞
n=0un=P∞ n=0vn. Exercice 4. ´Equivalents et s´eries altern´ees.
On consid`ere les s´eries de termes g´en´eraux respectifsun= √1n etvn= √1n+(−1)nn, o`un>1. Montrer queun∼vn[n→+∞], mais que
+∞
X
n=1
(−1)nun converge tandis que
+∞
X
n=1
(−1)nvn diverge.
Convergence absolue, ´equivalents, s´eries de Bertrand
Exercice 5. Entrainement intensif.
Etudier la nature des s´´ eries dont voici le terme g´en´eral.
1. nln1n 2. 1+lnn2n
3. 32nn−11+5
4. n+lnn2+1n
5. e−
√n
6. n2sin21n
7. (12 +n1)n 8. (n!)(3n)!3 9.
3n 4n−1
2n+1
10. (n+1)n!+14 11. 1+···+(n−1)!
n!
12. 1+···+(n−2)!
n!
13. n
1 1+n2−1
14. n·nn1 15. 1−cos n1 16. (lnn)nlnnn
17. n2e−
√n
Exercice 6. Entrainement intensif param´etr´e.
Etudier la nature des s´´ eries de terme g´en´eral suivant en fonctions du param`etreα >0.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
Math´ematiques 3 TD 3 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 1. n2−α 1−cos 1n
2. nln(α)
3. (1+n)1 α ln cos n1 4. n! αnn
5. αn+lnn2 6. (−α)lnnn Exercice 7. Un autre exemple de convergence sans convergence absolue.
Montrer que la s´erie X
n>1
sin
nπ+ 1
√n+ 1 n2
est convergente, mais pas absolument convergente.
Exercice 8. Permutation des termes d’une s´erie non absolument convergente.
Soient un= (−1)nn etσ :N∗ →N∗ d´efinie par : pour tout p∈N∗,
σ(3p) = 4p; σ(3p−1) = 4p−2; σ(3p−2) = 2p−1.
1. Montrer que σ est une bijection.
2. Comparer
+∞
X
n=1
un et
+∞
X
n=1
uσ(n).
Un th´eor`eme de Riemann montre la chose suivante : si P
an est une s´erie r´eelle convergente mais pas absolument convergente, alors pour toutl∈R, il existe une permutation σ deN∗ telle queP
aσ(n) converge vers l.
Exercice 9. Autour des s´eries de Riemann.
Soit α un nombre r´eel. Pour tout entiern>1, on pose un= 1
nα, vn= 1
nα − 1
(n+ 1)α etwn= 1
nα − 2
(n+ 1)α + 1 (n+ 2)α. 1. Pour quelles valeurs de α la suite (un) est-elle convergente ?
2. Pour quelles valeurs deαla s´erie de terme g´en´eralvnest-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.
3. Pour quelles valeurs deαla s´erie de terme g´en´eralwnest-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.
Exercice 10. Sondage.
Soit (un)n∈N une suite de nombres r´eels. Les assertions suivantes sont-elles vraies ? On justifiera les r´eponses.
1. Si pour tout n∈N,un>0 et la suite (un) d´ecroit vers 0, alors la s´erie P
un converge.
2. Si pour tout n∈N,un>0 et la s´erie P
un converge, alors (un) est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.
3. Si pour tout n∈N,un>0 et si la s´erie P
un converge, alors P√
un converge.
4. Si pour tout n∈N,un>0 et si la s´erie P
un converge, alors P
u2n converge.
5. Si lim
n→+∞(−1)nnun= 1, alors P
un converge.
6. Si lim
n→+∞(−1)nn2un= 1, alors P
un converge.
Exercice 11. Fonction myst`ere.
Soit f une fonction de classeC2 sur [−1,1] telle que f(0) = 0 et f0(0) =f00(0) = 1. ´Etudier les s´eries de terme g´en´eral suivant :
1. f 1
n
; 2. f
1 n2
; 3. f
(−1)n n
; 4. f
(−1)n
√n
.
Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques
