Universit´e Paris Diderot, D´epartement de Sciences Exactes, L2 MASS MA3 – Ann´ee 2010/11
Partiel du 23 octobre 2010 ; dur´ ee : 3 heures (suites, s´ eries num´ eriques et s´ eries de fonctions)
Exercice 1 (Suites r´ecurrentes) On d´efinit une suite (un)n>0 en imposantu0= 0 etun+1=√
2un+ 3.
1. Montrer que pour tout entiernon a 06un63 (on pourra proc´eder par r´ecurrence).
2. Montrer que la suiteun est croissante.
3. Montrer que la suiteun est convergente.
4. Conclure que limun= 3.
Exercice 2 (S´eries num´eriques) D´eterminer lesquelles des s´eries suivantes sont convergentes, absolument convergentes ou divergentes.
X
n>1
√n
2; X
n>1
√n+ 1−√ n nlog(n+ 1) ; X
n>1
1 3n + 1
n
; X
n>2
(−1)n logn .
Exercice 3 (Comparaison int´egrale/s´erie) Soita >0 on se propose d’´etudier les s´eries
∞
X
n=2
1
n(logn)a. (1)
1. Montrer que la fonctionf(x) = x(log1x)a est d´ecroissante sur [2,+∞).
2. Calculer l’int´egraleI(X) =RX
2 dx
x(logx)a. Pour quelle valeur deala limite limX→∞I(X) existe-t-elle ? 3. En d´eduire que la s´erie (1) est convergente poura >1 et divergente poura61.
4. En d´eduire l’encadrement : 1 log 2 6
∞
X
n=2
1
n(logn)2 6 1
log 2 + 1 2(log 2)2.
Exercice 4 (S´eries de fonctions : convergence simple) On se propose d’´etudier les valeurs de x ∈ R pour lesquelles la s´erie suivante est convergente :
∞
X
n=0
(2n)!
(n!)2xn. (2)
1. En utilisant le crit`ere de d’Alembert, montrer que la s´erie est absolument convergente si |x| < 1/4 et divergente six >1/4.
2. Que pouvez-vous conclure six <−1/4 ?
3. On poseun= 4n(2(nn)!!)2. Montrer que la suite un est d´ecroissante.
4. En utilisant la formule de Stirling (que l’on ne demande pas de d´emontrer !) : n! =nne−n√
2πn
1 +O 1
n
∼nne−n√ 2πn montrer queun ∼√1πn et en particulier limun= 0.
5. En d´eduire que la s´erie (2) est convergente pourx=−1/4 et divergente pourx= 1/4.
Exercice 5 (S´eries de fonctions : convergence normale) On d´efinit (pourxr´eel) les s´eries de fonctions : S(x) =
∞
X
n=1
sin(nx)
n3+n2 et T(x) =
∞
X
n=1
cos(nx) n2+n.
1. Montrer que ces deux s´eries convergent normalement sur toutRet d´efinissent des fonctions continues.
2. CalculerS(0) etT(0) (on pourra observer pour la deuxi`eme s´erie que n21+n = 1n−n+11 ).
3. Montrer queS(x) est d´erivable et queS′(x) =T(x).
4. Conclure que, au voisinage de 0 on aS(x) =x+o(x).
