Sup PCSI2 — Contrˆole 2010/01
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Ni crayon ni encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement.
Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 : VRAI ou FAUX ?
◮Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est VRAIE (preuve `a l’appui) ou FAUSSE (contre- exemple `a l’appui).
Q1 Le nombre iest ´egal `a sa partie imaginaire.
Q2 Si la somme et le produit de deux complexes uet v sont des r´eels, alorsuet vsont des r´eels.
Q3 Les racines carr´ees du complexe isont√
iet −√ i.
Q4 Les racines cubiques de l’unit´e sont 1, exp³iπ 3
´et exp³−iπ 3
´. Q5 Siez=−1, alorsz=iπ.
Q6 Si le complexeuest solution de l’´equationaz2+bz+c= 0, alors uest l’autre solution.
Q7 Pourn>1, la somme desnracinesn-i`emes de l’unit´e est nulle.
Exercice 2 : trigonom´ etrie (en vrac)
Q1 Donnez les expressions de sin(a+b), sin(a−b), cos(a+b) et cos(a−b) en fonction de sin(a), sin(b), cos(a) et cos(b).
Q2 Exprimez sin5(x) en fonction de sin(x), sin(3x) et sin(5x).
Q3 Rappelez les valeurs de sin(π/6), sin(π/4) et sin(π/3). En d´eduire la valeur de sin(π/12) et de cos(π/12).
Q4 Calculez le module et l’argument du complexe (−1 +i)9 (1−i√
3)5.
Q5 Soit f : x∈R7→sin(x) + sin(3x) + sin(5x). R´esolvez l’´equationf(x) = 0 dans l’intervalle [0, π].
Q6 Soit g : z ∈ C7→ z3−(1 + 8i)z2+ (−7 + 17i)z+ 30−10i. R´esolvez dansC l’´equation g(z) = 0 sachant qu’elle poss`ede une solution imaginaire pure. Source : Bac E, juin 1982, Papeete, Exercice 2.
Exercice 3 : sommations (sans frais)
◮Pourn>1 etp>1, notonsSpn= X
16k6n
kp. On rappelle queS1n=n(n+ 1)
2 et Sn2= n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
Q1 En effectuant le changement d’indicek′ =n+ 1−k dansSn3, obtenez une expression simple deS3n. Q2 Que se passe-t-il si l’on applique ce changement d’indice `aSn4?
Q3 Notons Tn3 = X
16k6n
(2k−1)3 la somme des cubes des npremiers naturels impairs. Donnez une expression simple deTn3.
Exercice 3 : r´ ecurrence
◮Nous nous proposons d’´etablir l’encadrement 4n 2√
n 6 µ2n
n
¶ 6 4n
√3
n pour n∈N∗ Q1 V´erifiez l’encadrement pour n= 1.
Q2 D´emontrez l’encadrement pour n = 2 et n = 3. Attention: les arguments faisant appel `a des hhvaleurs approch´eesiide√
2,√3 2,√
3 ou √3
3 ne seront pas accept´es.
Q3 Montrez que, si l’encadrement est vrai au rangn>1, alors il l’est aussi au rangn+ 1.
Q4 Concluez !
[Contr^ole 2010/01] Compos´e le 18 septembre 2010
