Exercice 1. On dénit la loi externe ? de R × R

Feuille n

1 MM2

Espaces vectoriels

Exercice 1. On dénit la loi externe ? de R × R

dans R

par :

∀(α, x) ∈ R × R

, α ? x = x

. 1. Démontrer que ( R

, ·, ?) est un R-espace vectoriel.

2. Vérier que tout x ∈ R

tel que x 6= 1 engendre (R

, ·, ?) , c'est-à-dire que :

∀y ∈ R

, ∃α ∈ R t.q. y = α ? x.

Exercice 2. 1. Vérier que l'ensemble F des applications de R dans R est un R-espace vectoriel.

2. Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de F ? (a) L'ensemble des applications continues de R dans R.

(b) L'ensemble E des applications f : R → R telles que f(1) = 1 . (c) L'ensemble F des applications f : R → R telles que f (1) = 0.

(d) L'ensemble G des applications f : R → R telles que f(t) > 0 pour tout t ∈ [−1, 1] .

Exercice 3. Pour tout a ∈ R, on note E(a) l'ensemble des fonctions déri- vables de R dans R satisfaisant la relation :

∀x ∈ R , f

(x) = f (x + a).

1. Montrer que E(a) est un R-espace vectoriel.

2. Montrer que si f ∈ E(a) alors f admet des dérivées de tout ordre et f

∈ E(a) , pour tout k ∈ N.

Exercice 4. Déterminer les nombres complexes λ pour lesquels {(1 + λ, 1 − λ), (1 − λ, 1 + λ)}

est une base de C

.

Exercice 5. Soit F = {(x, y, z) ∈ R

| 2x + y + 3z = 0} . Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R

et déterminer une base de F .

Exercice 6. Donner une base de l'espace des solutions des systèmes linéaires suivants :

(1)

( x

+ x

+ x

= 0 x

− 2x

+ 4x

= 0

1

(2)



 

 

x

− x

+ x

− x

= 0 x

+ 3x

+ x

− x

= 0 x

+ x

− x

= 0

(3)



 

 

x

− x

+ x

= 0 x

+ x

− 5x

= 0 x

+ 3x

+ x

= 0

Exercice 7. Soient u = (1, −1, 1) , v = (0, −1, 2) et w = (1, −2, 3) dans R

. 1. Montrer que {u, v, w} est liée.

2. On note F le sous-espace engendré par {u, v, w} . Déterminer une base de F .

3. Soit G = {(x, y, z) ∈ R

| x + 2y + z = 0} . Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R

. Puis, déterminer une base de G . Enn, en déduire que G = F .

Exercice 8. Dans l'espace vectoriel C des fonctions continues de R dans R, on considère les fonctions suivantes :

id : x 7→ x, exp : x 7→ e

, sin : x 7→ sin(x), cos : x 7→ cos(x).

Montrer que les familles suivantes sont libres :

{id, exp}, {id, sin}, {sin, cos}.

Exercice 9. Dans l'espace vectoriel C des fonctions continues de R dans R, montrer que les fonctions :

f

: x 7→ e

, (α ∈ R )

sont linéairement indépendantes.

Exercice 10. On considère l'espace vectoriel S = R

des suites numériques.

1. Vérier que l'ensemble S

des suites convergentes est un sous-espace vectoriel de S .

2. Vérier que l'ensemble Q des suites constantes et que l'ensemble S

des suites convergentes et de limite nulle sont des sous-espaces vectoriels de S

.

3. Montrer que Q et S

sont supplémentaires dans S

.

Exercice 11. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vec- toriel E . A quelle condition F ∪ G est-il un sous-espace vectoriel de E ?

2

Exercice 12. Soit E l'espace vectoriel des suites numériques. On considère E ⊂ E, l'ensemble des suites vériant la relation de récurrence suivante :

u

= u

+ 2u

, n > 0.

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de E .

2. Montrer que les suites de termes généraux a

= (−1)

et b

= 2

forment une famille libre de E .

3. Montrer que (a

)

et (b

)

forment une base de E . 4. Déterminer les suites de E telles que u

= 1 et u

= 2 .

Exercice 13. Soit E (resp. E

) l'espace vectoriel des suites de nombres réels (resp. des suites de nombres complexes). On considère E ⊂ E , l'ensemble des suites de nombres réels vériant la relation de récurrence suivante :

u

= u

− u

, n > 0.

On considère aussi E

⊂ E

le sous-ensemble des suites de nombres complexes vériant la même relation de récurrence.

1. Montrer que E

est un espace vectoriel sur C. Est-il de dimension nie ? 2. Expliquer pourquoi E

est aussi un espace vectoriel sur R, puis montrer

que E est un sous-espace vectoriel de E

.

3. Montrer que E

est un sous-espace vectoriel de E

. Puis vérier que E est un sous-espace de E

.

4. Montrer que E est un sous-espace de E de dimension nie 2 (sur R).

5. Soient φ et ψ les deux racines complexes conjuguées de l'équation r

= r − 1 . On écrit φ = ρe

et donc ψ = ρe

. Montrer que les suites de termes généraux a

et b

forment une famille libre de E

.

6. Considérons à présent les suites de termes généraux suivants :

a

= Re a

= ρ cos(θ) et b

= Im b

= ρ sin(θ).

Montrer que (a

)

et (b

)

forment une base de E . 7. Déterminer les suites de E telles que u

= 0 et u

= 1 .

Exercice 14. Soit n ∈ N. On dit qu'une famille (P

)

de polynômes à coecients dans R est de degrés échelonnés si

∀ i, j ∈ {0, · · · , n}, i 6= j ⇒ deg P

6= deg P

Montrer que toute famille de polynômes de degrés échelonnés de R[X] est libre dans le R-espace vectoriel R [X] .

3

Exercice 15. Soit a ∈ R et E

= {P ∈ R

[X] | P (a) = 0} . 1. Montrer que E

est un sous-espace vectoriel de R

[X] . 2. Déterminer un supplémentaire de E

.

Exercice 16. Soit E = C

([0, 1], R ) le R-espace vectoriel des fonctions conti- nues sur [0, 1] à valeurs réelles. On pose

F = {f ∈ E | Z

0

f (t) dt = 0}

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.

2. Donner un supplémentaire de F .

4