On pose Yn = n Y i=1 Xi, Zn= n+1 Y i=2 Xi

Universit´e de Caen Basse-Normandie Ann´ee 2017-2018 Mercredi 17-05-2017 Christophe Chesneau L3 MATHS

Examen final

ULM6GT Probabilit´es et Statistique Dur´ee : 3h00 (de 14h00 `a 17h00)

Seuls les stylos sont autoris´es

Chaque candidat doit porter son nom dans le coin de la copie qu’il cachera par collage apr`es la signature de la feuille d’´emargement. Il devra porter son num´ero de place sur chacune de ses copies ou intercalaires.

Exercice 1. (4 pts). Soient p ∈]0,1[, n ∈ N− {0,1} et X₁, . . . , X_n+1 n + 1 var iid suivant chacune la loi de Bernoulli B(p) :

P(X₁ = 0) = 1−p, P(X₁ = 1) =p.

On pose

Y_n =

n

Y

i=1

X_i, Z_n=

n+1

Y

i=2

X_i.

1- CalculerP(Y_n 6=Z_n).

2- CalculerC(Y_n, Z_n).

Exercice 2. (4 pts). Soient λ >0 etX unevar suivant la loi exponentielleE(λ),i.e. de densit´e :

f(x) =

(λe^−λx six≥0,

0 sinon.

On pose

Y =e^−X. 1- D´eterminer une densit´e de Y.

2- CalculerE(Y) et V(Y).

3- CalculerV(X+Y).

Exercice 3. (4 pts). Soient X et Y 2 var iid suivant chacune la loi uniforme U([0,1]), i.e. de densit´e :

f(x) =

(1 si x∈[0,1], 0 sinon.

On pose

Z =X²−Y.

1- D´eterminer une densit´e de X² et une densit´e de −Y. 2- D´eterminer une densit´e de Z.

3- CalculerP(Z >0).

4- CalculerE(Z) et V(Z).

Exercice 4. (4 pts). Soient θ >1, et X etY 2 var iidde densit´e commune f(x) =

rln(θ) 2π θ^−x

2

2 , x∈R.

1- Reconnaˆıtre une loi usuelle pourX. Donner, sans calcul, E(X) et V(X).

2- Donner, sans calcul, la loi de X−2Y + 1.

3- On pose

U = (2X+ 3Y, X−2Y + 1)^t. a) Montrer que U est un vecteur gaussien.

b) D´eterminer l’esp´erance et la matrice de covariance de U.

Exercice 5. (4 pts). Soient (X_n)n∈N^∗ une suite de var iid suivant chacune la loi uniforme U([0,1]), i.e. de densit´e :

f(x) =

(1 si x∈[0,1], 0 sinon.

Pour tout n∈N^∗, on pose

Y_n = 1 2n

2n

X

i=1

sinπ 2X_i

.

1- ´Etudier la convergence en probabilit´e de (Y_n)n∈N^∗. 2- ´Etudier la convergence en loi de

Y_n−E(Y_n) σ(Y_n)

n∈N^∗

. 3- Pour tout n∈N^∗, on pose

Z_n = 1 2n

n

X

i=1

sinπ

2X_i

+ sinπ

2(1−X_i) .

a) Comparer E(Y_n) et E(Z_n).

b) Comparer V(Y_n) et V(Z_n).