Sur chaque intervalle]xi, xi+1[, on remplace la fonctionf par une fonction polynomiale

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Informatique - Méthodes de calcul approché d'intégrales Pour calculer numériquement Rb

a f, on subdivisionne le segment [a, b] à pas constant.

Sur chaque intervalle]x_i, x_i+1[, on remplace la fonctionf par une fonction polynomiale.

On note M_i = sup_[a,b](f⁽ⁱ⁾) avec f Cⁱ sur [a, b]. 1. Méthode des rectangles

Sur chaque intervalle ]x_i−1, x_i[, on remplace f par la fonction constante f(x_i−1). Rn(f) = ^b−a_n Pn−1

i=0 f(xi) et

Rb

a f −Rn(f)

≤ ^M¹^(b−a)_2n ² = O _n¹1

(a) Ecrire une fonction rectangles prenant en entrée f, a, b, et n et retournant un graphique avec la courbe représentative de f et "l'aire" de la fonction approximante. Par exemple : rectangles (|sin|,0,2.π,10) retourne :

(b) Ecrire une fonction calculrectangles prenant en entrée f, a, b, et n et retournant R_n(f).

2. Méthode des rectangles médians

Sur chaque intervalle]x_i−1, x_i[, on remplacef par la fonction constantef ^xⁱ⁻¹₂^+xⁱ . R⁰_n(f) = ^b−a_n Pn−1

i=0 f ^xⁱ^+x₂ⁱ⁺¹

et

Rb

a f −R⁰_n(f)

≤ ^M²_24n^(b−a)2 ³ = O _n¹2

De même, écrire une fonction rectanglesmedians

et une fonction calculrectanglesmedians.

3. Méthode des trapèzes

Sur chaque intervalle ]x_i−1, x_i[, on remplace f par la fonction ane coïncidant avec f en x_i−1 et en x_i.

T_n(f) = ^b−a_2n Pn−1

i=0 f(x_i) +f(x_i+1) = ^b−a_n

f(a)+f(b)

2 +Pn−1

i=1 f(x_i)

et

Rb

a f −T_n(f)

≤ ^M²_12n^(b−a)2 ³ = O _n¹2

De même écrire une fonction trapèzes et une fonction calcultrapezes.

4. Méthode de Simpson

Sur chaque intervalle ]x_i−1, xi[, on remplace f par la fonction polynomiale de degré 2 coïncidant avec f en x_i−1, ^xⁱ⁻¹₂^+xⁱ et xi.

S_n(f) = ¹₃(T_n(f) + 2.R⁰_n(f)) et

Rb

a f −S_n(f)

≤ ^M_2880n⁴^(b−a)4⁵ = O _n¹4

De même, érire une fonction simpson et une fonction calculsimpson.

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