A4930. Des écarts-types en Diophantie
Déterminer tous les entiers n, 1 < n ≤ 2021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.
Solution proposée par Gaston Parrour Préliminaires
Soit la suite de n entiers {xi} = ( a+1 , a+2 , … , a+n )
→ moyenne arithmétique <xi> = n(2a + n+ 1) /2 /n <xi> = a + (n+1) /2 <xi> entier ==> n impair et ici n < 2022 → écart-type : son carré est la variance V de cet ensemble de n entiers xi
V = < (xi - <xi>)² >
Donc V ne dépend pas de l'entier origine ''a'' , utilisé pour définir la suite des n ''xi'' . Ainsi
==> V est aussi bien la variance des n premiers entiers consécutifs (1 , 2, …, n) D'autre part, en développant les carrés dans l'expression de V ci-dessus, il vient V = <xi>² - <xi>²
Tous les entiers n, 1 < n ≤ 2021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.
→ Avec ce qui précède :
soit la suite de n entiers naturels ''xi'' → {xi} = (1, 2, 3, , n) ( n impair) <xi) = (n+1)/2
<xi²> = (1²+2+ … + n²) / n = (n+1)(2n+1)/6 d'où
V = [(n+1)(2n+1)/6 – (n+1)² /4] = (n+1) (n-1) /12
→ l'écart-type, - noté e -, est entier. Cela conduit, avec V = e² , a
n² – 1 = 12 e² (1) → Recherche de solutions pour cette égalité de Pell
n² – 12e² = 1
Cette égalité a une infinité de solutions construites sur la solution de base → la plus petite solution de (1) avec e > 0 est la solution de base
ici on voit que ce couple ''minimal'' solution est → (n1 , e1) = (7 , 2) → autres solutions, (compatibles avec la contrainte n < 2022)
De façon générale : un couple de rang k , (nk , ek) , est donné par identification des 2 membres de nk + sqrt(12) ek = [n1 + sqrt(12) e1]k
Donc successivement,
n2 = n1² + 12 x e1² = 97
e2 = 2n1 x e1 = 28 → (n2 , e2) = (97 , 28) puis
n3 = 97 x 7 + 12 x 2 x 28 = 1351
e3 = 7 x 28 + 2 x 97 = 390 → (n3 , e3) = (1351, 390)
N.B. La solution suivante conduit à n4 = 1351 x 7 + 12 x 2 x 390 → n4 > 2022 Conclusion
Il y a 3 entiers n1 = 7 n2 = 97 et n3 = 1351 (ni < 2022) tels que pour ces entiers impairs ==> la moyenne arithmétique d'une telle suite de ni entiers successifs est entière
l'écart-type ei associé à de telles suites est entier : avec n1 = 7 e1 = 2 '' n2 = 97 e2 = 28 '' n3 = 1351 e3 = 390
