A817– La saga de Méphisto(1) (1er épisode) [** à ***** à la main]
Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto(1) dont le clavier comporte trois touches originales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n
strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) (n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Zig a affiché l’entier 7 à l’écran. Aidez le à obtenir l’entier 5 en appuyant exclusivement sur les trois touches sans utiliser une quelconque autre touche (opérations élémentaires, mise en mémoire, etc..)[**]
Q₂ En partant de l’entier 2 et en opérant comme précédemment, aidez Zig à obtenir successivement tous les entiers de 3 à 25 pas nécessairement dans cet ordre [****]
Q₃ Pour les plus courageux : soient deux entiers p et q distincts > 1. Prouvez que Zig est toujours en mesure de passer de p à q en un nombre fini d’étapes à l’aide des trois touches seulement[*****]
(1)Nota : alias « mes φ σ τau »
Solution proposée par Fabien Gigante
Un petit programme répond facilement aux deux premières questions.
Q₁.
7 σ 8 σ 15 σ 24 σ 60 ϕ 16 τ 5 Q₂.
2 σ 3 σ 4 σ 7 ϕ 6 σ 12 ϕ σ σ 8 σ 15 σ 24 σ ϕ 16 τ 5 σ σ σ σ σ ϕ σ ϕ τ 9 σ 13 σ 14 σ σ σ ϕ τ 10 σ 18 σ ϕ σ σ σ σ ϕ τ 20 σ σ ϕ σ σ σ σ τ 21 σ σ σ σ σ σ σ σ ϕ σ σ ϕ τ 22 σ σ ϕ σ σ σ σ σ σ σ σ ϕ τ 17 σ σ σ σ σ σ ϕ σ σ σ σ ϕ ϕ τ 11 σ σ σ σ σ σ ϕ σ σ σ ϕ σ ϕ τ 25 ϕ σ σ σ σ σ σ ϕ σ σ σ σ σ σ ϕ σ σ ϕ ϕ τ 19 ϕ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ϕ σ ϕ σ σ σ σ ϕ σ ϕ σ σ τ 23
